2025年中考数学复习--板块十七 圆———突破中考第1问 证切线

板块十七 圆———突破中考第1问 专题突破1 证切线 典例精讲 类型一 无公共点 证半径 【例1】 (2024武汉中考)如图,△ABC 为等腰三角形,O是底边 BC 的中点,腰AC 与半圆O相切于点 D,底边 BC 与半圆O交于E,F 两点.求证:AB 与半圆O 相切. 类型二 有公共点 证垂直 【例2】 (2024武汉三调)如图,AB 是半圆O的直径,D 是 中点，过点 D 作AC 的垂线，垂足为E，交AB 的延长线于点F.求证：EF 是半圆O的切线. 典题精练 1.如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,F 是AD 延长线上一点,连接CD,CF,且∠DCF=∠CAD.求证:CF 是⊙O 的切线. 2.(2019武汉元调)如图,在四边形ABCD 中, ,⊙O分别与边AB,AD 相切,切点分别为E,G,其中E 为AB 的中点.求证:BC 与⊙O 相切. 专题突破2 证角度关系 典例精讲 类型一 角度倍分 【例1】 (2023武汉中考)如图,OA,OB,OC 都是⊙O 的半径, 求证：∠AOB=2∠BOC. C 【例2】 (2024通辽)如图,在△ABC 中. ，O为AC 边上一点，以点O为圆心，OC 为半径作⊙O与AB 相切于点 D,连接CD.求证:∠ABC=2∠ACD. 典题精练 类型二 角度相等 1.(2024临夏州)如图,直线l 与⊙O 相切于点D,AB 为⊙O的直径,过点 A 作. 于点E，延长AB 交直线l于点C.求证:AD 平分∠CAE. 类型三 角度和差 2.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,D 是 上一点,P 是AB 延长线上一点,连接AD,DC,CP.求证: 专题突破3证线段关系 典例精讲 类型一 线段相等 【例1】 (2023武汉四调)如图,AB 是半圆O 的直径,C 是 的中点，过点C作弦BD 的垂线,垂足为E.求证:CE=DE. 【例2】 (2020武汉五调)如图,⊙O过正方形ABCD 的顶点A,D,且与BC 相切于点M,连接MO 并延长交AD 于点 N.求证:AN=DN. 典题精练 类型二 线段位置 1.(2024安徽)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,D 是直径AB 上一点, 的平分线交AB于点E,交⊙O 于另一点F,FA=FE.求证:CD⊥AB. 2.(2024乐山)如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作⊙O的切线CD,交BA 延长线于点 D,E 为( 上一点，且 求证:DC∥AE. 专题突破4 求弧长或面积 典例精讲 类型一 求面积 【例1】 (2024南通)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,⊙A 与BC 相切于点D.求图中阴影部分的面积. 【例2】 (2023 武汉二调)如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦, 若∠AOB=120°,CD=6,习求图中阴影部分的面积. 典题精练 类型二 求弧长 1.如图,在△ABC 中,AB=4,以 AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点D,E 为 上一点，且 求 的长. 2.(2024辽宁改)如图,⊙O 是 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,点 D 在. 上， 过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E.若∠CEA=2∠DAB,OA=8,求 的长. 板块十七 圆———突破中考第1问 专题突破1 证切线——2024武汉中考热点 典例精讲 类型一 无公共点 证半径 【例1】 (2024武汉中考)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC 的中点，腰AC 与半圆O相切于点D，底边 BC 与半圆O交于E，F 两点.求证：AB 与半圆O相切. 证明:连接OD ,OA,作 OH⊥AB 于点H. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC,AO 平分∠BAC, ∵AC 与⊙O 相切于点D,∴OD⊥AC, ∵OH⊥AB,∴OH=OD,即OH 是⊙O的半径, ∴AB 是⊙O 的切线. 类型二 有公共点 证垂直 【例2】 (2024武汉三调)如图,AB 是半圆O的直径,D 是 中点，过点 D 作AC 的垂线，垂足为E，交AB 的延长线于点F.求证：EF 是半圆O的切线. 证明:连接OD,AD. ∵DE⊥AC,∴∠E=90°. ∵D 是BC 中点,∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD, ∴∠BAD=∠ADO,∴∠CAD=∠ADO, ∴OD∥AC,∴∠ODF=∠E=90°,∴OD⊥EF, ∵OD 为⊙O 的半径,∴EF 为半圆O的切线. 典题精练 1.如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O的直径,F 是AD 延长线上一点,连接CD,CF,且∠DCF=∠CAD.求证:CF 是⊙O 的切线. 证明：连接OC. ∵AD 是⊙O 的直径,∴∠ACD=90°,∴∠ADC+∠CAD=90°. ∵OC=OD,∴∠ADC=∠OCD. ∵∠DCF=∠CAD,∴∠DCF+∠OCD=90°, ∴OC⊥FC,∵OC 是⊙O 的半径,∴CF 是⊙O 的切线. 2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,⊙O分别与边AB,AD 相切,切点分别为E,G,其中E 为AB 的中点.求证:BC与⊙O 相切. 证明:连接OG,OE,作OH⊥BC 于点H, ∵AB⊥BC,AD∥BC,∴∠A=∠B=90°. ∵⊙O 分别与边AB,AD 相切,∴∠OEA=∠OGA=90°. ∵OE=OG,∴四边形OEAG 是正方形,∴AE=OE. ∵E 是AB 的中点,∴AE=EB,∴EB=OE. ∵∠B=∠OEB=∠OHB=90°,∴四边形OEBH 是正方形, ∴OH=OE,即OH 为⊙O 的半径,∴BC 与⊙O 相切. 专题突破2 证角度关系 典例精讲 类型一 角度倍分 【例1】 (2023武汉中考)如图,OA,OB,OC 都是⊙O 的半径, 求证：∠AOB=2∠BOC. 证明：∴ ∴∠AOB=2∠BOC. 【例2】 (2024通辽)如图,在△ABC 中.∠ACB=90°,O为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作⊙O与AB 相切于点D,连接CD.求证:∠ABC=2∠ACD. 证明：连接OD. ∵AB 为⊙O 的切线,∴OD⊥AB,∴∠ODB=90°, ∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠COD=180°, ∵∠AOD+∠COD=180°,∴∠ABC=∠AOD, ∵∠AOD=2∠ACD,∴∠ABC=2∠ACD. 典题精练 类型二 角度相等 1.(2024临夏州)如图,直线l与⊙O 相切于点D,AB 为⊙O 的直径,过点A 作AE⊥l于点E,延长AB 交直线l于点C.求证:AD 平分∠CAE. 证明：连接OD. ∵直线l 与⊙O 相切于点D,∴OD⊥CE, ∵AE⊥CE,∴OD∥AE,∴∠ODA=∠EAD. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD, ∴∠OAD=∠EAD,∴AD 平分∠CAE. 类型三 角度和差 2.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,D 是 上一点,P 是AB 延长线上一点,连接AD,DC,CP.求证:∠ADC-∠BAC=90°. 证明：连接BD. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°, ∵∠ADC-∠BDC=∠ADB,∠BDC=∠BAC, ∴∠ADC-∠BAC=90°. 专题突破3 证线段关系 典例精讲 类型一 线段相等 【例1】 (2023武汉四调)如图,AB 是半圆O 的直径,C 是 的中点，过点C 作弦BD 的垂线,垂足为E.求证:CE=DE. 证明:连接AC,BC. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∵C 是AB 的中点, ∴∠CAB=∠CBA=45°.∵BC=BC,∴∠CDE=∠CAB=45°, ∵CE⊥BD,∴∠CED=90°,∴∠DCE=∠CDE=45°,∴CE=DE. 【例2】 (2020武汉五调)如图,⊙O 过正方形ABCD的顶点A,D,且与BC 相切于点M,连接 MO并延长交AD 于点 N.求证:AN=DN. 证明:∵⊙O与BC 相切于点M,∴∠BMN=90°. ∵四边形ABCD 是正方形,∴AD∥BC, ∴∠ONA=∠BMN=90°,由垂径定理得AN=DN. 典题精练 类型二 线段位置 1.(2024安徽)如图,⊙O是△ABC 的外接圆,D 是直径AB 上一点,∠ACD 的平分线交AB 于点E,交⊙O 于另一点F,FA=FE.求证:CD⊥AB. 证明:∵FA=FE,∴∠FAE=∠AEF, ∵∠FAE=∠BCE,∠AEF=∠CEB,∴∠CEB=∠BCE. ∵CE 平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE. ∵AB 是直径,∴∠ACB=90°, ∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=90°, ∴∠CDE=90°,∴CD⊥AB. 2.(2024乐山)如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C作⊙O的切线CD,交BA 延长线于点 D,E 为CB 上一点,且 求证:DC∥AE. 证明：连接OC. ∵CD 为⊙O 的切线,∴∠OCD=90°,∴∠DCA+∠OCA=90°. ∵AB 为直径,∴∠ACB=90°,∴∠B+∠OAC=90°. ∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,∴∠B=∠DCA. ∵AC=CE,∴∠B=∠CAE,∴∠CAE=∠DCA,∴CD∥AE. 专题突破4 求弧长或面积 典例精讲 类型一 求面积 【例1】 (2024南通)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,⊙A 与BC相切于点D.求图中阴影部分的面积. 解:∵ 90°, ∵⊙A 与BC 相切于点 D, 【例2】 (2023 武汉二调)如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦, 若∠AOB=120°,CD=6,求图中阴影部分的面积. 解:过点O 作OM⊥AB 于点M. ∵∠AOB+∠COD=180°,∠AOB=120°,∴∠COD=60°.∵OC=OD, ∴△OCD 是等边三角形,∴OA=OC=CD=6.∵OM⊥AB,∴AM=BM. 在 Rt△OAM 中, . 典题精练 类型二 求弧长 1.如图,在△ABC 中,AB=4,以AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点 D,E 为 上一点，且∠ADE=40°.求 的长. 解:连接OE.∵∠ADE=40°,∴∠AOE=2∠ADE=80°, ∵AB=4,∴⊙O 半径是2, 的长 2.(2024辽宁改)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,点 D 在. 上， 过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E.若∠CEA=2∠DAB,OA=8,求 的长. 解:连接OC,OD. 设 ∴∠ABC=∠DAB=x,∴∠COE=2∠ABC=2x. ∵∠CEA=2∠DAB,∴∠CEA=∠COE=2x. ∵CE 是⊙O 的切线,∴OC⊥CE, ∴∠COE+∠CEO=90°,∴2x+2x=90°,∴x=22.5°,∴∠BOD=2∠DAB=45°, 的长为 学科网（北京）股份有限公司 $$