2025年中考数学一轮复习讲义--板块十九 尺规作图

板块十九 尺规作图 专题突破1 识图与计算 典例精讲 类型一 作等线段 【例】 (2024武汉中考)小美同学按如下步骤作四边形ABCD.(1)画∠MAN;(2)以点A 为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN 于点 B，D；(3)分别以点 B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD 的大小是( ) A.64° B.66° C.68° D.70° 典题精练 类型二 作垂直平分线 1.如图，线段AB 是半圆O的直径，分别以点A 和点O 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M,N两点,作直线MN,交半圆O于点C,交AB 于点E,连接AC,BC.若AE=1,则BC 的长是( ) A.2 B.4 C.6 D.3 类型三 作角平分线 2.(2024青山区)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点 B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB,BC 于点E,F,分别以点E,F为圆心,以大于 EF 长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点 P,作射线 BP,交AD 于点G,交CD 的延长线于点 H.若AB=AG=4,GD=5,则CH的长为( ) A.6 B.8 C.9 D.10 3.(2024湖北中考)如图,AB 为半圆O的直径,C为半圆上一点,且∠CAB=50°.①以点 B 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点 D，E；②分别以点 D，E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P；③作射线 BP，则∠ABP 的度数为( ) A.40° B.25° C.20° D.15° 专题突破2 作图与证明、计算 典例精讲 类型一 与三角形有关的证明与计算 【例】 (2024中山)如图,在△ABC 中,AC>AB. (1)在线段 BC 上作点P，使得点 P 到AB 的距离与到AC 的距离相等；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若 PA=PC,求证: 典题精练 类型二 与四边形有关的计算 1.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O. (1)尺规作图：过点C 作AB 的垂线，垂足为E；(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)所作图形中,若. ,求 sin∠BCD 的值. 类型三 与圆有关的计算 2.(2024广州)如图,已知⊙O 经过A,C,D 三点,点 D 在BA 边上, (1)求作⊙O；(请保留尺规作图痕迹，不写作法) (2)求证:BC 是⊙O 的切线. 板块十九 尺规作图 专题突破1 识图与计算 典例精讲 类型一 作等线段 【例】 (2024武汉中考)小美同学按如下步骤作四边形ABCD.(1)画∠MAN;(2)以点A 为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN 于点 B，D；(3)分别以点B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD 的大小是( C ) A.64° B.66° C.68° D.70° 解:由作图得四边形ABCD 是菱形,∴∠ABD=∠ADB=∠CBD.∵∠A=44°, ∴∠ABD+∠ADB=180°-∠A=180°-44°=136°, ∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=68°,故选 C. 典题精练 类型二 作垂直平分线 1.如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A 和点O 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M,N两点,作直线MN,交半圆O于点C,交AB 于点E,连接AC,BC.若AE=1,则BC 的长是( A ) B.4 C.6 解:连接OC.根据作图知CE 垂直平分AO,∴AC=OC,AE=OE=1,∴OC=OB=AO=AE+EO=2,∴AC=OC=2,∴AB=AO+BO=4.∵线段AB 是半圆O 的直径,∴∠ACB = 90°. 在 Rt△ACB 中,根据 勾股定理,得 BC = 故选 A. 类型三 作角平分线 2.(2024青山区)如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，以点 B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB,BC 于点E,F,分别以点E,F为圆心,以大于 EF 长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P,作射线 BP,交AD 于点G,交CD 的延长线于点H.若AB=AG=4,GD=5,则CH的长为( C ) A.6 B.8 C.9 D.10 解:由作图可知BH 平分∠ABC,∴∠ABH=∠CBH,∵AB=AG=4,∴∠ABG=∠AGB,∴∠AGB=∠CBH,∴AD∥CB,∵AB∥CD,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴BC=AD=AG+DG=4+5=9,∵AB∥CH,∴∠ABG=∠CHB,∴∠CBH=∠CHB,∴CH=CB=9.故选C. 3.(2024湖北中考)如图,AB 为半圆O的直径,C为半圆上一点,且∠CAB=50°.①以点 B 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC 于点D，E；②分别以点 D，E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P；③作射线 BP，则∠ABP 的度数为( C ) A.40° B.25° C.20° D.15° 解：由作图知 ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=50°,∴∠ABC=40°,∴∠ABP=20°. 专题突破2 作图与证明、计算 典例精讲 类型一 与三角形有关的证明与计算 【例】 (2024中山)如图,在△ABC 中,AC>AB. (1)在线段BC 上作点P，使得点 P 到AB 的距离与到AC的距离相等；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若 PA=PC,求证: 解：(1)如图，点P 即为所求； (2)∵PA=PC,∴∠PAC=∠C,由(1)知 PA 平分∠BAC,∴∠PAC=∠PAB, ∴∠PAB=∠C.∵∠B=∠B,∴△PAB∽△ACB,∴ABC=BPAB, 典题精练 类型二 与四边形有关的计算 1.如图,在菱形 ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O. (1)尺规作图：过点 C 作AB 的垂线，垂足为E；(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)所作图形中,若AC=4,BD=2,求 sin∠BCD的值. 学科网（北京）股份有限公司 解：(1)如图所示，CE 即为所作； (2)∵四边形ABCD 是菱形,∴OA=OC=2,OB=OD=1,AB=BC,AC⊥BD, ∴AB·CE=AC·OB, ∵AB∥CD,∴∠BCD=∠CBE,在 Rt△BCE 中, 类型三 与圆有关的计算 2.(2024广州)如图,已知⊙O经过A,C,D 三点,点 D 在BA 边上,CD⊥AC,∠A=∠BCD. (1)求作⊙O；(请保留尺规作图痕迹，不写作法) (2)求证:BC 是⊙O 的切线. 解:(1)∵⊙O 经过A,C,D 三点,CD⊥AC,∴AD 为⊙O 的直径.如图，作线段AD 的垂直平分线，交AD 于点O，再以点 O 为圆心，OA 的长为半径画圆，则⊙O 即为所求； (2)连接OC.∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°, ∴∠OCA+∠OCD=∠A+∠OCD=90°.∵∠A=∠BCD, ∴∠BCD+∠OCD=90°,∴OC⊥BC,∵OC为⊙O 的半径,∴BC 是⊙O 的切线. 学科网（北京）股份有限公司 $$