2025年中考数学复习--抛物线形问题

抛物线形问题1路径变轨分析 典例精讲 【例】 (2024武汉中考)我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级. (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b 的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35 km，求这两个位置之间的距离. (2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 典题精练 (2024武汉模拟)纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目.纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响(若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为 n 米，则滑行比为1：n).如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点的高度为1.9m，当纸飞机的最大高度达到2.8 m时，它飞行的水平距离为 3m . (1)求这条抛物线的解析式； (2)小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁?(不考虑墙壁的厚度) (3)小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1：2.5(受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过1.4m)，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离为10米? 抛物线形问题2 运动落点求参 典例精讲 【例】 (2024青山区)海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一.在进行跳水训练时，海豚身体(看成一点)在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分.如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y(单位：m)与距离起跳点O的水平距离x(单位：m)之间具有函数关系 海豚在跳起过程中碰到(不改变海豚的运动路径)饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m 的小球. (1)求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m? (2)求当海豚离水面的高度是 时，距起跳点 O 的水平距离是多少 m? (3)在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长 CD=6m，高DE=4m 的长方体泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱(不碰到)，求点 D 的横坐标n的取值范围. 典题精练 (2024汉阳区)某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏.通过实验，收集了小明同学抛出的小球高度h(单位：m)、距离起点的水平距离x(单位：m)随运动时间t(单位：s)变化的数据如表： 运动时间t(s) 0 0.5 1 水平距离x(m) 0 1 2 高度h(m) 1.6 2.2 2.4 其中h 是关于x的二次函数，x是关于t 的一次函数，建立如图所示的平面直角坐标系. (1)直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围) (2)求小球被抛出后到达的最大高度以及所需要的时间； (3)如图所示，水平放置纵截面为矩形 ABCD 的纸箱，( 当小明抛出小球的同时，小亮沿着射线 BA 的方向以v(单位： 的速度移动该纸箱，若小球落在移动的CD 上(不包括端点C，D)，直接写出v的取值范围. 抛物线形问题3 实物距离计算 典例精讲 【例】 如图1，有两根相距10m且等长的立柱AB，CD 垂直立于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，其形状可近似看成抛物线 已知绳子最低点距离地面 以点 B 为坐标原点，直线 BD 为x轴，直线 AB 为y 轴建立平面直角坐标系. (1)求立柱 AB 的长度; (2)一段时间后，绳子被神长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段 BD 之间与AB 相距4m 的地方加上一根立柱MN 撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线. 的最低点相对点A 下降了1m ,距立柱 MN 也是1m ,如图2所示,求 MN 的长. 典题精练 (2024洪山区)一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体 DEC 呈抛物线状(碗体厚度不计)，点E是抛物线的顶点，碗底高 EF=1cm，碗底宽 当瓷碗中装满面汤时，液面宽 ,此时面汤最大深度EG=6 cm.以F 为原点,直线 AB 为x 轴,直线 EF 为y轴,建立如图2 所示的平面直角坐标系. (1)直接写出图2中抛物线的解析式为 ； (2)倒出部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段MN 处，试求此时液面MN 的宽度； (3)将瓷碗绕点 B 缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当 时停止，此时液面 CH 的宽度为 cm；碗内面汤的最大深度是 cm. 抛物线形问题4 双抛物线形路径求参 典例精讲 【例】 (2024江汉区)有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口 P 到桌面MN 的距离MP=a.现以点 M 为原点，MN 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x(dm)表示球与点 M 之间的水平距离，y(dm)表示球到桌面的高度.在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从 P 处发出，落到桌面A处，其解析式为 “间发式”模式下，球从 P 处发出，先落在桌面 B 处，再从B 处弹起落到桌面C处.两种模式皆在同一高度发球，PB 段抛物线可以看作是由 PA 段抛物线向左平移得到. (1)当a=4时. ①求b 的值;②求点 A,B 之间的距离; (2)已知 BC 段抛物线的最大高度为b/₂，且它的形状与 PA 段抛物线相同.若落点 C 恰好与落点A 重合，求a 的值. 典题精练 (2024武昌区)甲，乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动.如图为从侧面看乒乓球台的视图，MN 为球台，EF 为球网，点E 为 MN 的中点， 甲从M正上方的A 处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B 处再弹起到另一侧的C 处，从C 处再次弹起到P，乙再接球.以M 为原点，MN 所在直线为x 轴，MA 所在直线为y 轴，1cm为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，BC段抛物线的解析式为 CP段的解析式为 (1)当球在球网左侧距球网17 cm时达到最高点，求 y₁的解析式； (2)若球从B 处弹起至最高点后的下落过程中，球刚好擦过球网 EF，视为网球重发，求m的值； (3)若球第二次的落点C在球网右侧53 cm处，球再次弹起最高为12.5cm ，乙的球拍(看作线段GH)在 N 的正上方8cm 处, .若将球拍向前水平推出n(cm)可接住球(不包括球刚好碰到边沿点G，H)，求出 n的取值范围. 抛物线形问题5 路径距离分析 典例精讲 【例】 (2024湖北模拟)某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小华在教官的指导下用手榴弹(模拟手榴弹)进行一次试投：如图所示，把小华投出的手榴弹的运行路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA 的坡度为1：5，坡顶A 处的水平距离OB 为30米. (1)求这条抛物线的解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)小华投出的手榴弹能否越过坡顶A?请说明理由； (3)若AC=10米，斜坡AC上趴着几位“敌军”同学，手榴弹落地后会爆炸，爆炸后距落地点1.5米范围内会受波及，问手榴弹落地爆炸后是否会波及斜坡AC?请说明理由. 典题精练 (2023江岸区)鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(如图1)和截面示意图(如图2)，攻方球员位于点O，守门员位于点 A，OA 的延长线与球门线交于点B，且点 A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知( ，足球飞行的水平速度为15 m/s，水平距离s(水平距离=水平速度×时间)与离地高度 h 的鹰眼数据如表： s/m 9 12 15 18 21 h/m 4.2 4.8 5 4.8 4.2 (1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时， (2)求h 关于s 的函数解析式； (3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功.已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度. 抛物线形问题6 路径高度分析 典例精讲 【例】 (2023武汉中考)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表. (1)【探究发现】x 与t,y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x关于t 的函数解析式和y关于t 的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围) 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 飞行高度 y/m 0 22 40 54 64 (2)【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题. ①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； ②在安全线上设置回收区域MN，AM=125m，MN=5m.若飞机落到MN 内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围. 典题精练 (2023东湖高新区)如图1,BC 为地面,AB,AC 为一个小山坡,它的高度OA 为10米,坡比都为1：2，在坡顶有一个自动浇灌装置(其高度忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线形状，现只考虑右侧山坡，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知水柱在与OA 的水平距离为6米处达到最高，且距地面的最高距离为 13米. (1)求抛物线的解析式； (2)求水柱浇灌的最远点 G 离地面的高度； (3)如果给浇灌装置安装一个支架，则可以使水柱覆盖整个山坡，问浇灌装置还要升高多少米，才能使水柱覆盖整个山坡? 抛物线形问题7 运动建模 典例精讲 【例】 (2022武汉中考)在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A 处开始减速，此时白球在黑球前面70 cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位：cm/s)、运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，整理得下表. 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度 v(cm/s) 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y 与运动时间t之间成二次函数关系. (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式； (2)当黑球减速后运动距离为64 cm时，求它此时的运动速度； (3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球?请说明理由. 典题精练 (2024东西湖区)如图1，一名轮滑选手从加速坡道的A 处下滑至点B 处获得最大速度，然后沿水平滑道BC 滑行直至停止.该选手在水平滑道BC上滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)满足二次函数关系，测得相关数据如下表所示： 滑行时间x/s 0 1 2 3 4 滑行距离y/m 0 19.5 38 55.5 72 (1)求水平滑道上的滑行距离y 与x 满足的二次函数解析式； (2)该选手在水平滑道 BC 上滑行多远才停止? (3)如图2，为控制选手滑行距离，现在水平滑道上设置了护栏DE， 为安全起见，选手必须从点B 开始使用鞋后跟的刹车进行制动，刹车制动能力为每秒减少滑行距离n(单位：m)，请直接写出n的取值范围. 抛物线形问题1 路径变轨分析 典例精讲 【例】 (2024武汉中考)我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为 y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级. (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b 的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35 km，求这两个位置之间的距离. (2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 解:(1)①由 解得 由 解得 ②由①得 ∴火箭运行的最高点是 由 解得 (舍去)， 由 解得 答：这两个位置之间的距离为8.4km； (2)当x=9时,y=81a+9,把(9,81a+9)代入 得 当x=15时,y=6+81a>0,解得 时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 典题精练 (2024武汉模拟)纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目.纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响(若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为 n米，则滑行比为1：n).如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点的高度为1.9m，当纸飞机的最大高度达到2.8 m时，它飞行的水平距离为3 m. (1)求这条抛物线的解析式； (2)小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁?(不考虑墙壁的厚度) (3)小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1：2.5(受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过1.4m)，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离为10米? 解： (2)令y=2.5,则 ∴小明至少距离墙壁( 米时，纸飞机才会顺利飞过墙壁； (3)设纸飞机开始滑行时的高度为 h 米时，水平飞行距离为10米，则滑行的水平距离为2.5h 米，故飞机开始滑行时的拐点坐标为(10-2.5h，h)，将其代入抛物线解析式， 得 整理得25h²-100h+84=0,∴h=2.8或h=1.2, ∵h≤1.4,∴h=1.2米. 答：纸飞机开始滑行时的高度为1.2米时纸飞机的飞行距离为10米. 抛物线形问题2 运动落点求参 典例精讲 【例】 (2024青山区)海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一.在进行跳水训练时，海豚身体(看成一点)在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分.如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为 y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y(单位：m)与距离起跳点O的水平距离x(单位：m)之间具有函数关系 海豚在跳起过程中碰到(不改变海豚的运动路径)饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m 的小球. (1)求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m? (2)求当海豚离水面的高度是 时，距起跳点O 的水平距离是多少m? (3)在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD=6m，高DE=4m 的长方体泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱(不碰到)，求点 D 的横坐标n的取值范围. 解:(1)把(3,4.5)代入 得4.5=9a+2×3,解得 ∴海豚此次训练中离水面的最大高度是6m； (2)由 解得 答：此时海豚距起跳点O 的水平距离是8m或4m； (3)若海豚恰好接触到泡沫箱边缘，则点 F 或点E 在抛物线上， 令y=4,则 解得 当点 F 在抛物线上时，D点的横坐标n 为 当点 E 在抛物线上时，D点的横坐标n为( ∴n 的取值范围是 典题精练 (2024汉阳区)某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏.通过实验，收集了小明同学抛出的小球高度h(单位：m)、距离起点的水平距离x(单位：m)随运动时间t(单位：s)变化的数据如表： 运动时间t(s) 0 0.5 1 … 水平距离x(m) 0 1 2 … 高度h(m) 1.6 2.2 2.4 … 其中h 是关于x的二次函数，x是关于t 的一次函数，建立如图所示的平面直角坐标系. (1)直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围) (2)求小球被抛出后到达的最大高度以及所需要的时间； (3)如图所示，水平放置纵截面为矩形 ABCD 的纸箱，( 当小明抛出小球的同时，小亮沿着射线 BA 的方向以v(单位：m/s)的速度移动该纸箱，若小球落在移动的CD上(不包括端点C，D)，直接写出v的取值范围. 解：(1)由题意，设二次函数为 又结合表格数据可得， 又设一次函数为x=kt+n， ∴一次函数解析式为x=2t； (2)由题意,∵h=-0.2x²+0.8x+1.6=-0.2(x-2)²+2.4, ∵又-0.2<0,∴当x=2时,h的最大值为2.4m. 将x=2代入x=2t ,得t=1.∴小球被抛出后1s达到最高点,且最大高度为2.4m; (3)由题意, 解得x=5或x=-1(舍去). ∵OA=5,∴此时小球刚好落在CD上.又x=2t,∴2t=5.∴t=2.5. ∵小球落在移动的CD上,∴移动的距离<AB=0.5,∴移动的最大速度v=AB÷2.5=0.2(m/s). ∴0<v<0. 2m/s. 抛物线形问题3 实物距离计算 典例精讲 【例】 如图1，有两根相距10m且等长的立柱AB，CD 垂直立于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，其形状可近似看成抛物线 已知绳子最低点距离地面 以点 B 为坐标原点，直线 BD 为x轴，直线 AB 为y 轴建立平面直角坐标系. (1)求立柱AB 的长度; (2)一段时间后，绳子被神长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段 BD 之间与AB 相距4m 的地方加上一根立柱MN 撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线 F₁的最低点相对点A 下降了1m ,距立柱MN 也是1m ,如图2所示,求 MN 的长. 解：(1)由题意，得 令x=0,得到y=3,∴AB=3m; (2)设抛物线 F₁的解析式为 则 解得 当x=4时, 典题精练 (2024洪山区)一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体DEC 呈抛物线状(碗体厚度不计)，点E是抛物线的顶点，碗底高EF=1cm，碗底宽 当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD=8 cm,此时面汤最大深度EG=6cm.以F 为原点,直线AB 为x轴,直线 EF 为y轴,建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)直接写出图2中抛物线的解析式为 (2)倒出部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段MN 处，试求此时液面MN 的宽度； (3)将瓷碗绕点B 缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当∠ABK=30°时停止，此时液面CH 的宽度为 ³ cm；碗内面汤的最大深度是 ³ cm. 解:(1)由题意知:F(0,0),E(0,1),C(4 ,7),D(-4 ,7), ∴可设抛物线的解析式为 则 解得 ∴抛物线的解析式为 (2)∵液面下降了1.5cm,∴此时液面距碗底距离为7-1.5=5.5(cm),即y=5.5,当y=5.5时, 解得 ∴液面MN 的宽度为12 cm; (3)如图，以F为原点，直线AB 为x轴，建立平面直角坐标系，设CH 与y 轴交于点s,则 ∴S(0,3),∴可求得直线 CH 的解析式为y= 由 解得 或 设 为CH 下方抛物线上一点,过点 P 作PM⊥CH 于点M,PQ∥y轴交CH 于点Q,则 由 得 ∴碗内面汤的最大深度为 抛物线形问题4 双抛物线形路径求参 典例精讲 【例】 (2024江汉区)有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口 P 到桌面MN 的距离MP=a.现以点M 为原点，MN 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，x(dm)表示球与点 M 之间的水平距离，y(dm)表示球到桌面的高度.在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从 P 处发出，落到桌面A处，其解析式为 “间发式”模式下，球从 P 处发出，先落在桌面 B 处，再从B 处弹起落到桌面C处.两种模式皆在同一高度发球，PB 段抛物线可以看作是由PA 段抛物线向左平移得到. (1)当a=4时. ①求b 的值;②求点 A,B 之间的距离; (2)已知 BC 段抛物线的最大高度为b/₂，且它的形状与 PA 段抛物线相同.若落点 C 恰好与落点A 重合，求a 的值. 解:(1)①由题意,知P(0,4), 解得b=6; ②由 解得 (舍负), 又由题意可得“间发式”模式的解析式为 ∵该抛物线经过P(0,4), 解得m=20. 答:点A ,B 之间的距离为20 dm; (2)∵抛物线 的对称轴是直线x=10. ∴点P(0,a)关于对称轴对称的点为Q(20,a).∴AB=PQ=20. 设C(m，0)，则 BC 段抛物线的解析式为 解得b=4,把P(0,a)代入 得 典题精练 (2024武昌区)甲，乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动.如图为从侧面看乒乓球台的视图，MN 为球台，EF 为球网，点E 为 MN 的中点， 甲从M正上方的A 处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B 处再弹起到另一侧的C 处，从C 处再次弹起到P，乙再接球.以M 为原点，MN 所在直线为x轴，MA 所在直线为y轴，1cm为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，BC 段抛物线的解析式为 CP 段的解析式为 (1)当球在球网左侧距球网17 cm时达到最高点，求 y₁的解析式； (2)若球从B 处弹起至最高点后的下落过程中，球刚好擦过球网EF，视为网球重发，求m的值； (3)若球第二次的落点C在球网右侧53 cm处，球再次弹起最高为12.5cm，乙的球拍(看作线段GH)在N 的正上方8cm处，GH=15cm.若将球拍向前水平推出n(cm)可接住球(不包括球刚好碰到边沿点G，H)，求出n的取值范围. 解:(1)令 得 ,解得m=60, (2)由题意，得 解得 ∵m+60<137,即 (3)由题意可知，CP 段抛物线的解析式为 且C(190,0), 解得h=140(舍去)或h=240, 由 解得 ∴n 的最小值为274-270=4(cm),n 的最大值为274-210=64(cm),∴4<n<64. 抛物线形问题5 路径距离分析 典例精讲 【例】 (2024湖北模拟)某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小华在教官的指导下用手榴弹(模拟手榴弹)进行一次试投：如图所示，把小华投出的手榴弹的运行路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA 的坡度为1：5，坡顶A 处的水平距离OB 为30米. (1)求这条抛物线的解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)小华投出的手榴弹能否越过坡顶A?请说明理由； (3)若AC=10米，斜坡AC上趴着几位“敌军”同学，手榴弹落地后会爆炸，爆炸后距落地点1.5米范围内会受波及，问手榴弹落地爆炸后是否会波及斜坡AC?请说明理由. 解：(1)由题意，设抛物线的解析式为 把(0,0)代入,得( 解得 ∴抛物线的解析式为 (2)小华投出的手榴弹能越过坡顶A.理由： 当x=30时, ∵山坡OA 的坡度为1:5,OB=30米,∴AB=6米, ∵7.5>6，∴小华投出的手榴弹能越过坡顶A； (3)手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡AC.理由：由 解得 ∵AB=6米,AC=10米, (米),∴OC=OB+BC=38(米). ∵40-1.5=38.5>38,∴手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡AC. 典题精练 (2023江岸区)鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(如图1)和截面示意图(如图2)，攻方球员位于点O，守门员位于点A，OA 的延长线与球门线交于点B，且点 A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15 m/s，水平距离s(水平距离=水平速度×时间)与离地高度h 的鹰眼数据如表： s/m … 9 12 15 18 21 h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 (1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时， (2)求h 关于s 的函数解析式； (3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功.已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度. 解:(1)由表格可知,抛物线关于s=15对称,∵当s=0时,h=0,∴s=30时,h=0; (2)由(1)知,抛物线关于s=15对称,设 ,把(12,4.8)代入,得 解得 (3)若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为 vm/s，且ts时，足球位于守门员正上方,则有15t=28-(8-vt), 解得 代入上述解析式， 可得 解得 或v=-85(舍). ∴此过程守门员的最小速度为 抛物线形问题6 路径高度分析 典例精讲 【例】 (2023武汉中考)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度 y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表. (1)【探究发现】x 与t,y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x 关于t的函数解析式和y关于t 的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围) 飞行时间 t/s 0 2 4 6 8 ... 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 ... 飞行高度 y/m 0 22 40 54 64 … (2)【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题. ①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； ②在安全线上设置回收区域MN，AM=125m，MN=5m.若飞机落到MN 内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围. 解： (2)①依题意,得 解得 (舍), 当 t=24时,x=120. 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m； ②设发射平台相对于安全线的高度为 n m，则飞机相对于安全线的飞行高度 ∵125<x<130,∴125<5t<130,∴25<t<26. 在 中,当t=25,y'=0时,n=12.5;当t=26,y'=0时,n=26,∴12.5<n<26. 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 12.5m且小于26 m. 典题精练 (2023东湖高新区)如图1,BC 为地面,AB,AC 为一个小山坡,它的高度 OA 为10米,坡比都为1：2，在坡顶有一个自动浇灌装置(其高度忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线形状，现只考虑右侧山坡，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知水柱在与OA 的水平距离为6米处达到最高，且距地面的最高距离为13米. (1)求抛物线的解析式； (2)求水柱浇灌的最远点 G 离地面的高度； (3)如果给浇灌装置安装一个支架，则可以使水柱覆盖整个山坡，问浇灌装置还要升高多少米，才能使水柱覆盖整个山坡? 解：(1)根据题意知抛物线的顶点坐标为(6，13)，∴可设抛物线的解析式为 把A(0,10)代入,得36a+13=10,解得 ∴抛物线的解析式为 (2)∵坡比为1:2,∴OB=2OA=20,∴B(20,0), 设直线AB 的解析式为y=kx+m,则 解得 ∴直线AB 的解析式为 联立 解得 或 ∴G(18，1).∴水柱浇灌的最远点 G 离地面的高度为1米； (3)设浇灌装置还要升高h 米，则抛物线的解析式为 将(20,0)代入,得 解得 ∴浇灌装置还要升高 米，才能使水柱覆盖整个山坡. 抛物线形问题7运动建模 典例精讲 【例】 (2022武汉中考)在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A 处开始减速，此时白球在黑球前面70 cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位：cm/s)、运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，整理得下表. 运动时间 t/s 0 1 2 3 4 运动速度 v(cm/s) 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y 与运动时间t 之间成二次函数关系. (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式； (2)当黑球减速后运动距离为64 cm时，求它此时的运动速度； (3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球?请说明理由. 解： (2)令 y=64,即 解得t=8或t=32, 当t=8时,v=6;当t=32时,v=-6(舍).∴此时的运动速度为6cm/s; (3)设黑，白两球的距离为 w cm，则 ∴当t=16时，w的最小值为6，∴黑，白两球的最小距离为6cm，故黑球不会碰到白球. 典题精练 (2024东西湖区)如图1，一名轮滑选手从加速坡道的A 处下滑至点B 处获得最大速度，然后沿水平滑道BC滑行直至停止.该选手在水平滑道BC上滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)满足二次函数关系，测得相关数据如下表所示： 滑行时间x/s 0 1 2 3 4 滑行距离 y/m 0 19.5 38 55.5 72 (1)求水平滑道上的滑行距离 y 与x 满足的二次函数解析式； (2)该选手在水平滑道 BC 上滑行多远才停止? (3)如图2，为控制选手滑行距离，现在水平滑道上设置了护栏DE，DE⊥BC，BD=72m，为安全起见，选手必须从点B 开始使用鞋后跟的刹车进行制动，刹车制动能力为每秒减少滑行距离n(单位：m)，请直接写出n 的取值范围. 解:(1)设 则 解得 ∴所求二次函数为 ∴当x=20时,，y最大=200，∴该选手在水平滑道BC 上滑行200米才停止； (3)由题意，得 E 解得8≤n<20. 学科网（北京）股份有限公司 $$