第四章因式分解同步练习2024-2025学年浙教版数学七年级下册

第四章因式分解 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．对于任意的有理数,我们规定  ,如  ．求的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．多项式各项的公因式是 A． B． C． D． 4．不能用十字相乘法分解的是（    ）. A． B． C． D． 5．把10a2(x+y)2-5a(x+y)3因式分解时，应提取的公因式是(    ) A．5a B．(x+y)2 C．5(x+y)2 D．5a(x+y)2 6．多项式8x2n﹣4xn的公因式是（　　） A．4xn B．2xn﹣1 C．4xn﹣1 D．2xn﹣1 7．因式分解：（    ） A． B． C． D． 8．如果多项式的一个因式是，那么另一个因式是（    ） A． B． C． D． 9．下列各式是完全平方公式的是（  ） A．16x²-4xy+y² B．m²+mn+n² C．9a²-24ab+16b² D．c²+2cd+c² 10．下列四个多项式：①﹣a2+b2；②﹣x2﹣y2；③1﹣（a﹣1）2；④m2﹣2mn+n2，其中能用平方差公式分解因式的有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 11．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 12．已知为任意实数，则多项式的值为（    ） A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．正数或负数或零 二、填空题 13．把多项式-16x3+40x2y提出一个公因式-8x2后，另一个因式是 ． 14．分解因式 ． 15．分解因式：3x+15= ． 16．若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是 ． 17．分解因式：x2-2x+1= ． 三、解答题 18．把下列各式分解因式： （1）（a+b）-（a+b）2；              （2）x（x-y）+y（y-x）； （3）6（m+n）2-2（m+n）；            （4）m（m-n）2-n（n-m）2； （5）6p（p+q）-4q（q+p）． 19． 20．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 21．因式分解： （1）x2-4 （2）a3b-2a2b+ab 22．把下列各式因式分解： (1) (2) 23． 24．计算： (1)； (2)． 《第四章因式分解》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B D A C A C B 题号 11 12 答案 C B 1．A 【分析】根据新规定得出再根据提公因式法分解因式即可得出答案． 【详解】解：   故选A 【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 2．D 【分析】先求出（a-b）、（b-c）、（a-c）的值，再把所给式子整理为含（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，代入求值即可． 【详解】解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005， ∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2， ∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca）， =[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]， =[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]， =×（1+1+4）， =3． 故选D． 【点睛】本题主要考查公式法分解因式，达到简化计算的目的，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键． 3．D 【分析】本题考查多项式的公因式，先找出系数的公约数，再找出相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：∵系数的公约数是，相同字母的最低指数次幂是， ∴多项式各项的公因式是， 故选D． 4．B 【分析】根据十字相乘法逐一判断可得． 【详解】A、x2+x-2=（x-1）（x+2），此选项不符合题意； B、3x2-10x2+3x不能利用十字相乘法分解，此选项符合题意； C、x2-3x+2=（x-1）（x-2），此选项不符合题意； D、x2-6xy-7y2=（x-7y）（x+y），此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】此题考查因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 5．D 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：10a2（x+y）2-5a（x+y）3因式分解时，公因式是5a（x+y）2 故选D． 6．A 【分析】本题考查公因式的定义．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【详解】8x2n﹣4xn＝4xn（2xn﹣1）， ∴4xn是公因式．故选A． 【点睛】本题考查公因式的定义，难度不大，要根据找公因式的要点进行． 7．C 【分析】先提公因式，进而根据平方差公式因式分解即可． 【详解】 故选C． 【点睛】本题考查了综合运用提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．A 【分析】多项式先提取公因式，提取公因式后剩下的因式即为所求． 【详解】解：， 故另一个因式为， 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．也是解本题的难点，要注意符号． 9．C 【详解】A.16x²-4xy+y²，不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误； B.m²+mn+n²不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误； C.9a²-24ab+16b²=(3a-4b)2，故本选项正确； D.c²+2cd+c²不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误. 故选C. 10．B 【分析】能用平方差公式分解的式子的特点是：二项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可． 【详解】①﹣a2+b2，③1﹣(a﹣1)2，符合公式特点，能用平方差公式分解因式； ②﹣x2﹣y2中两项的符号相同，④m2﹣2mn+n2有3项，不符合公式特点，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握a2-b2=(+b) (a-b)是解答本题的关键． 11．C 【分析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．根据多项式的公因式的确定方法，即可求解． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选C． 12．B 【分析】利用完全平方公式进行转化即可得出结果． 【详解】解： ∵ ∴ 故选： 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． 13．2x-5y /-5y+2x 【详解】解：﹣16x3+40x2y =﹣8x2•2x+（﹣8x2）•（﹣5y） =﹣8x2（2x﹣5y） 所以另一个因式为2x﹣5y 故答案为2x﹣5y 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，把多项式的各项写成公因式与另一个因式相乘的形式是解题的关键． 14．（x-6y）2 【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式=（x-6y）2． 故答案为：（x-6y）2． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 15．3（x+5） 【分析】原式提取3进行因式分解即可． 【详解】解：3x+15=3（x+5）． 故答案为3（x+5）． 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式--提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 16． 【分析】利用因式分解得到，利用非负性，求出的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设：， ∵直角三角形的斜边大于直角边， ∴边上高， ∴当时，的面积最大，最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键． 17．（x-1）2 【详解】由完全平方公式可得： 故答案为． 【点睛】错因分析  容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底. 18．（1）（a+b）（1-a-b）;（2）（x-y）2 ;（3）2（m+n）（3m+3n-1）;（4）（m-n）3 ;（5）2（p+q）（3p-2q） 【分析】根据提公因式法进行因式分解，据此计算求解. 【详解】(1)原式＝(a＋b)[1－(a＋b)] ＝(a＋b)(1－a－b)， (2)原式＝x(x－y)－y(x－y) ＝(x－y)(x－y) ＝(x－y)2， (3)原式＝2(m＋n)[3(m＋n)－1] ＝2(m＋n)(3m＋3n－1)， (4)原式＝m(m－n)2－n(m－n)2 ＝(m－n)2(m－n) ＝(m－n)3， (5)原式＝2(p＋q)(3p－2q). 故答案为 (1)(a＋b)(1－a－b)； (2)(x－y)2； (3)2(m＋n)(3m＋3n－1)； (4)(m－n)3； (5)2(p＋q)(3p－2q). 【点睛】本题考查了提公因式法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 19．． 【分析】综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解即可得． 【详解】原式， ， ． 【点睛】本题考查了综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键． 20．（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可； （2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）； （3）同（2）； （4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 21．(1)(x+2)(x-2)；（2）ab(a-1)2 【分析】（1）利用平方差公式分解因式得出即可；（2）先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式得出即可. 【详解】（1）原式=(x+2)(x-2) （2）原式=ab(a2-2a+1) =ab(a-1)2 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.熟练应用乘法公式是解题关键． 22．(1) (2) 【分析】（1）原式提取公因式后，再利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式后，再利用完全平方公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 23． 【详解】试题分析：观察可得：10=2×5，2+5=7，由此即可进行因式分解. 试题解析：a2+7a+10=(a+2)(a+5). 24．(1)； (2)． 【分析】（1）提取公因式，再将剩余的一项合并同类项化简即可； （2）根据平方差公式展开，再将完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握提公因式，完全平方公式，平方差公式对式子进行简便计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$