精品解析：2025年河北省廊坊市广阳区中考一模数学试题

2025年河北省廊坊市广阳区中考一模数学试题 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项：1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上点A与点B关于原点对称，则m＝（ ）. A. 2 B. －2 C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（ ） 0 1 2 4 0 A. B. C. D. 5. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 6. 实数， ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程，配方后可形为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接 ， ， ，，若，四边形的面积为，则 的长为（    ） A. B. C. D. 9. 在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①②④ 10. 如图，正六边形的边长为2，以点B为圆心，以 长为半径作弧，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 某半径为1的圆形游乐设施在运行过程中，圆心从A点运动至B点．若该设施的运动轨迹可看作双曲线在第一象限的部分，与 轴相切、与 轴相切．若此时 的直线距离，那么圆心的运动轨迹满足的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 12. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形 的底边 取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边 的延长线交于点F，这样就把正方形 延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题4个小题，13-15题每题3分，16题4分，共13分） 13. 一元一次不等式组的解集为_________． 14. 小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要___________小时．（用含 的代数式表示） 15. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 16. 如图①，将边长为 的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 三、解答题（本大题共8题，共计71分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 18. 小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验， 是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 19. 甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：）的函数图象． （1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式； （2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间． 20. 在庙会上，佳佳和琪琪看到这样一个游戏．商家准备一枚硬币，每局游戏参与者投硬币3次，每局报名费30元．如果3次全部正面朝上，则参与者得50元奖品；如果2次正面朝上，1次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果1次正面朝上，2次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果3次全部反面朝上，则参与者得50元奖品．佳佳说，投3次硬币，共4种可能，全正，二正一反，一正二反，全反．其中全正全反占两种，正好是所有情况的一半，得的奖品价值却比另两种情况多，这种游戏挺划算．琪琪却说，首先，这种游戏就是赌博根本就不能玩．其次，这种游戏肯定是不划算的．请你用数学知识解释这种游戏到底划算不划算． 21. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，其中，，， 在 上，．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，请你根据该图计算的长，并标明限制高度.（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）（精确到0.1m） 22. 已知直角三角形．点O是直角三角形的斜边 的中点．连接，作直线于点于E，的延长线交直线 于点 ． （1）尺规作图：作直角三角形的外接圆； （2）在（1）的基础上试判断和的大小关系，并说明理由； （3）在（1）的基础上若，求的长． 23. 如图，抛物线与 轴交于点，点，与 轴交于点，直线，且与抛物线交于M，N两点． （1）求抛物线和直线 的函数表达式； （2）设点M，N的横坐标分别为，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； （3）若直线 在直线 上方运动，交点 在点 的左侧．作直线与交于点 ，如图2所示．在直线 运动的过程中，试说明：点 的横坐标是一个定值． 24. 【模型呈现】 （1）如图1， 中，，直线经过点 ，过点 作于点 ，过点作于点 ，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点 的坐标是______； （3）如图3，直线分别交 轴、 轴于点A、B．点 的坐标为，点 为直线 上一动点，连接，将线段绕点 顺时针旋转 得到线段，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省廊坊市广阳区中考一模数学试题 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项：1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，先将各项式子化简，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 四个选项中最小的数是， 故选C． 2. 如图，数轴上点A与点B关于原点对称，则m＝（ ）. A. 2 B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上两点关于原点对称的点互为相反数，即可求出m的值． 【详解】解：已知A表示的数是2， ∵数轴上两点关于原点对称的点互为相反数， ∴点B表示的数是-2． ∴m=-2， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上两点关于原点对称的点互为相反数，比较简单． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的约分可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据分式的加法运算可判断C，根据零指数幂的含义可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，运算正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查分式的约分，幂的乘方运算，分式的加法运算，零指数幂，熟记运算法则是解本题的关键． 4. 整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（ ） 0 1 2 4 0 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将整式作为整体看成未知数是解题的关键． 由，解得，根据表格中数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴关于 的方程的解为 ， 故选：A． 5. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论． 【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置． 故选：B 6. 实数， ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 7. 一元二次方程，配方后可形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可 【详解】解： x2-8x=2， x2-8x+16=18， （x-4）2=18． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 8. 如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接 ， ， ，，若，四边形的面积为，则 的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得 故选：B． 9. 在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，正确计算阴影部分的面积是解题的关键． 分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：①左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意； ②左边阴影图形面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意； ③左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意； ④左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，不符合题意； ∴能够验证平方差公式的有图①②③， 故选：A． 10. 如图，正六边形的边长为2，以点B为圆心，以 长为半径作弧，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积等知识，连接，过点 作于点 ，连接 ，先求出的长，再通过勾股定理分别求出的长，则，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，过点 作于点 ，连接 ，如图： ∵正六边形的边长为2， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴ 为的高， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11. 某半径为1的圆形游乐设施在运行过程中，圆心从A点运动至B点．若该设施的运动轨迹可看作双曲线在第一象限的部分，与 轴相切、与 轴相切．若此时 的直线距离，那么圆心的运动轨迹满足的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，反比例函数，两点间距离公式，用含k的式子表示出A，B坐标是解题的关键． 设圆心的运动轨迹满足的函数解析式为，用含k的式子表示出A，B坐标，再根据两点间距离公式列方程，解方程求出k的值即可． 【详解】解：设圆心的运动轨迹满足的函数解析式为， 与 轴相切、与 轴相切，圆的半径为1， ，， ， ，， ， ， 解得，负值舍去， 圆心的运动轨迹满足的函数解析式为， 故选C． 12. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形 的底边 取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边 的延长线交于点F，这样就把正方形 延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形 是正方形， ， ∵点 为 中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：(舍去)， ， 故选：D． 二、填空题（本大题4个小题，13-15题每题3分，16题4分，共13分） 13. 一元一次不等式组的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 故答案为：． 14. 小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要___________小时．（用含 的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式，理解题意，根据题意列出分式，是解题的关键．根据时间总数工作效率，列出分式即可． 【详解】解：按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要的时间为： ． 故答案为：． 15. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误． 故答案为：①②． 16. 如图①，将边长为 的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 【答案】 ①. 12 ②. 144 【解析】 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 三、解答题（本大题共8题，共计71分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【答案】周一到周日佳佳有 天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六 【解析】 【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案． 【详解】解：根据表格数据得， 周一：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周二：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周三：最高气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周四：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周五：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周六：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周日：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周一到周日佳佳有 天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六． 18. 小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验， 是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】 小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】略 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 19. 甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：）的函数图象． （1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式； （2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间． 【答案】（1）甲：，乙：；（2） 【解析】 【分析】（1）分别设出甲乙的函数解析式，利用待定系数法求解解析式即可； （2）由题意得利用甲乙的函数解析式列方程，解方程并检验可得答案． 【详解】解：（1）设甲气球上升过程中：， 由题意得：甲的图像经过：两点， 解得： 所以甲上升过程中： 设乙气球上升过程中： 由题意得：乙的图像经过：两点， 解得： 所以乙上升过程中： （2）由两个气球的海拔高度相差， 即 或 解得：或（不合题意，舍去） 所以当这两个气球的海拔高度相差时，上升的时间为 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，考查利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键． 20. 在庙会上，佳佳和琪琪看到这样一个游戏．商家准备一枚硬币，每局游戏参与者投硬币3次，每局报名费30元．如果3次全部正面朝上，则参与者得50元奖品；如果2次正面朝上，1次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果1次正面朝上，2次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果3次全部反面朝上，则参与者得50元奖品．佳佳说，投3次硬币，共4种可能，全正，二正一反，一正二反，全反．其中全正全反占两种，正好是所有情况的一半，得的奖品价值却比另两种情况多，这种游戏挺划算．琪琪却说，首先，这种游戏就是赌博根本就不能玩．其次，这种游戏肯定是不划算的．请你用数学知识解释这种游戏到底划算不划算． 【答案】不划算，理由如下： 由题意知，三次投硬币共有8种等可能的结果，分别是：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反， 其中：“全正”的情况有1种，概率为； “全反”的情况有1种，概率为； “一正二反”的情况有3种，概率为； “二正一反”的情况有3种，概率为； 参与者平均每次的期望收益为：（元）， 扣除报名费30元，亏损（元）， 所以这种游戏肯定是不划算的． 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过列举法写出所有等可能的情况，得出“全正”“全反”“一正二反” “二正一反”的概率，计算出平均每次的期望收益，与报名费进行比较即可判断． 【详解】略 21. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，其中，，， 在 上，．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，请你根据该图计算的长，并标明限制高度.（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）（精确到0.1m） 【答案】2.7m．2.6m． 【解析】 【详解】试题分析：根据锐角三角函数的定义，可在Rt△ABD中解得BD的值，进而求得CD的大小；在Rt△CDE中，利用正弦的定义，即可求得CE的值． 试题解析：在△ABD中，∠ABD=90°，∠BAD=18°，BA=10m， ∵tan∠BAD=， ∴BD=10×tan18°， ∴CD=BD-BC=10×tan18°-0.5≈2.7（m）． 在△CDE中，∠CDE=90°-∠BAD=72°， ∵CE⊥ED， ∴sin∠CDE=， ∴CE=sin∠CDE×CD=sin72°×2.7≈2.6（m）， ∵2.6m＜2.7m，且CE⊥AE， ∴CE为2.6m，即限制高度为2.6m． 考点：解直角三角形的应用． 22. 已知直角三角形．点O是直角三角形的斜边 的中点．连接，作直线于点于E，的延长线交直线 于点 ． （1）尺规作图：作直角三角形的外接圆； （2）在（1）的基础上试判断和的大小关系，并说明理由； （3）在（1）的基础上若，求的长． 【答案】（1）如图， 即为所求； （2）， 理由如下：点O是 的斜边 的中点， ， ， 直线，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质可得，，因此以点O为圆心，为半径作圆即可； （2）由可得，再根据直线，，可得，等量代换可得； （3）由勾股定理解 求出 ，再证，根据对应边长成比例列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 中， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查直角三角形外接圆，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 23. 如图，抛物线与 轴交于点，点，与 轴交于点，直线，且与抛物线交于M，N两点． （1）求抛物线和直线 的函数表达式； （2）设点M，N的横坐标分别为，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； （3）若直线 在直线 上方运动，交点 在点 的左侧．作直线与交于点 ，如图2所示．在直线 运动的过程中，试说明：点 的横坐标是一个定值． 【答案】（1）， （2）不变， （3） 证明：设直线 的解析式为：， 联立，则：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 联立，则：， 解得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为：， 联立，则：， ∵ ，不重合， ∴， 解得：， ∴，即：点 的横坐标是一个定值． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点坐标，待定系数法求出直线 的解析式； （2）根据两直线平行 值相等，设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出结果； （3）设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点 的横坐标，进而得到两条直线的 值的数量关系，联立两条直线的解析式求出 点的横坐标，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与 轴交于点，点， ∴； 解得：， ∴抛物线为； 当时，则：， 解得：，， ∴， 设直线 的解析式为，把代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：不会改变：理由如下： ∵直线， ∴设直线 的解析式为：， ∵直线 与抛物线交于 ， 两点， ∴令， 整理，得：， 则：是方程的两个实数根， ∴，为定值； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 24. 【模型呈现】 （1）如图1， 中，，直线经过点 ，过点 作于点 ，过点作于点 ，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点 的坐标是______； （3）如图3，直线分别交 轴、 轴于点A、B．点 的坐标为，点 为直线 上一动点，连接，将线段绕点 顺时针旋转 得到线段，请直接写出的最小值． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等证明，再证； （2）同（1）可证，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）过点D作轴，过点E作轴，设，则，，同（1）可证，用含t的式子表示出点E的坐标，再用含t的二次函数表示出，将二次函数化为顶点式，即可求出的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：点的坐标为， ，， 同（1）可证， ，， 点 的坐标是， 故答案为：； （3）过点D作轴，过点E作轴， 设，则，， 轴，轴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，二次函数的应用，勾股定理等，第3问有一定难度，用二次函数表示出的值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $