1.3.2 等比数列的前n项和 课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.3.2 等比数列的前n项和 第一章 数列 1 学习目标 1.理解等比中项的概念,并能够利用等比中项进行解题.（数学运算） 2.熟悉等比数列的相关性质,并能够应用该知识进行灵活运算.（逻辑推理） 学习目标 2 1.已知等比数列的第项为,公比为,求通项公式 . [答案] 由,得,所以 . 2.若,,,,,在等差数列中有 ,则在等比数列中, 你能得出什么结论？ [答案] 在等比数列中,若,,,,,则 . 3.在等比数列中,若,则 是递增数列吗？ [答案] 不一定,还需看的符号,只有当,时, 才是递增数列. 自主预习 3 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） 当时, 为递增数列.( ) × （2） 当时, 为常数列.( ) √ （3） 若是等比数列,且,则 .( ) × （4） 若等比数列的公比是,则 .( ) × 自主预习 4 2.已知在等比数列中，,,则 ( ). C A. B. C. D. [解析] 在等比数列中,,所以 . 自主预习 5 3.若在等比数列中,,则 ( ). C A.4 B.8 C.16 D.32 [解析] 是等比数列, . 自主预习 6 4.已知在等比数列中,,则 ____. [解析] 是等比数列, , . 自主预习 7 探究1 等比中项 关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒都是前一 个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,因此各个格子里的麦粒数依次是1,2,, , , . 问题1: 观察上面这个数列,这个数列的任意连续三项之间有什么样的关系？ [答案] 前一项与后一项的积是中间项的平方. 合作探究 8 问题2: 结合情境设置,若任意选取4项,且满足,请你猜测与 之间存在什么样的关系. [答案] . 合作探究 9 1.如果在与之间插入一个数,使得,,成等比数列,那么称为与 的等比中项,且 或 . 2.在等比数列中,若,则; 若 ,则 合作探究 10 例1（1） 已知数列为等比数列,若,则 的值为 ( ). C A.10 B.20 C.100 D.200 [解析] . 合作探究 11 （2） 在等比数列中,若,,则 ____. [解析] 因为, , 由等比数列的性质知 , 所以 . 合作探究 12 方法总结 在应用等比数列的性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变 形.此外,解题时要注意设而不求思想的运用. 合作探究 13 巩固训练1 在等比数列中,和是一元二次方程 的两个根,则 的值为( ). A A. B. C. D.25 [解析] 由根与系数的关系得,又因为,所以 ,所 以 . 巩固训练2 若等比数列的各项均为正数,且 为自然对数的底 数,则 ____. [解析] 由题意得 ,所以 . 合作探究 14 探究2 等比数列的性质 将一根长为1米的木棒截去一半后,再从剩下的一半中截去一半,以此类推,可以得到 数列:,,,, , . 问题1: 结合情境设置,你能归纳出一般的等比数列的通项公式吗？ [答案] ,所以一般的等比数列的通项 公式为 . 问题2: 若从上述的等比数列中按序等距离取出若干项,能否构成一个新的等比数列？ [答案] 能. 合作探究 15 （1）通项公式的推广:_________________________. （2）若,均为等比数列,且公比分别为,,则数列, , , 仍为等比数列,且公比分别为____________. （3）在等比数列中,按序等距离取出若干项,也构成一个等比数列,即,,, 仍为等比数列,公比为____. ,,, 合作探究 16 例2 已知 为等比数列. （1）若数列满足,求 ; （2）若,,求 ; （3）若,,求 . 合作探究 17 [解析] （1）在等比数列中,,, . （2）由等比中项的性质,得,即 , , . （3）由等比数列的性质知 , . 合作探究 18 方法总结 利用等比数列的性质解题的基本思路:（1）充分发挥项的“下标”的指导作用,分析 等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.（2）在等比数列的有关运算中,常常 涉及次数较高的指数运算,往往是建立关于<m></m>,<m></m>的方程组求解,但这样解起来很麻烦.此 时,常利用等比数列的性质求解,可使问题简单明了.另外,在应用等比数列的性质解题时, 需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 合作探究 19 巩固训练1 将公比为的等比数列依次取相邻两项的乘积组成新的数列 ， ，， ，则此数列是( ). B A.公比为的等比数列 B.公比为 的等比数列 C.公比为 的等比数列 D.不一定是等比数列 [解析] ，且 ， 是以 为公比的等比数列.故选B． 合作探究 20 巩固训练2 在等比数列中，若，，则公比 ( ). D A. B. C.或 D.或 [解析] ， 由 解得或 若，，则有 ， ； 若，，则有 ， . 故选D． 合作探究 21 巩固训练3 在等比数列中,,,则公比 ___. [解析] , , . 合作探究 22 探究3 等比数列的判定与证明 问题1: 利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么？ [答案] 关键是能够证明 是一个非零常数. 问题2: 在数列中,若,则数列 是等比数列吗？ [答案] 不一定.当时,数列是等比数列;当时,数列 不是等比数列. 合作探究 23 问题3: 若数列是公比为的等比数列,则它的通项公式为, 为非零 常数,.反之,能说明数列 是等比数列吗？ [答案] 能.根据等比数列的定义可以判断. 问题4: 如何证明数列 是等比数列？ [答案] 证明 即可. 合作探究 24 判断一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法:若数列满足,为常数且不为零或 且,为常数且不为零,则数列 是等比数列. （2）通项公式法:若数列的通项公式为 ,则 数列 是等比数列. （3）等比中项法:若且,则数列 为等比数列. （4）构造法:在条件中出现 关系时,往往构造数列,方法是把 与对照,求出 即可. 合作探究 25 例3 已知是数列的前项和,且 . （1）求 的值; （2）若,试证明数列 为等比数列. 合作探究 26 [解析] （1）因为 , 所以当时,,解得 . （2）因为 , 所以当时, , , 即 , 所以 , 又,所以,且,所以 , 所以数列 是以2为首项,2为公比的等比数列. 合作探究 27 方法总结 证明一个数列是等比数列的常用方法有定义法与等比中项法,注意不管用哪种方法 判定等比数列都要先强调任一项不等于零. 合作探究 28 巩固训练 已知是数列的前项和,且,求证: 为等比数列. [解析] 因为,所以 . 所以 , 所以 . 又因为,所以 , 又由知 , 所以,所以 , 所以数列是首项为1,公比为 的等比数列. 合作探究 29 1.对任意等比数列 ,下列说法一定正确的是( ). D A.,,成等比数列 B.,, 成等比数列 C.,,成等比数列 D.,, 成等比数列 [解析] 因为,所以,, 成等比数列. 随堂检测 30 2.（多选题）若在等比数列中,,,则公比 可以为 ( ). AC A. B.2 C. D. [解析] 因为数列是等比数列,所以,解得 ,所以 ,即,所以 或 . 随堂检测 31 3.若1,,,4成等差数列,1,,,,4成等比数列,则 的值等于( ). A A. B. C. D. [解析] ,, ,4成等差数列, , . 又,,,,4成等比数列,设其公比为,,且 , , . 随堂检测 32 4.在数列中,已知,,且数列是等比数列,则 _____________. [解析] 数列是等比数列, , ,解得, 公比 , , . 随堂检测 33 5.从盛满 升纯酒精的容器里倒出1升,然后添满水摇匀,再倒出1升混合溶液后又 用水添满摇匀,如此继续下去,问: （1）第 次操作后溶液的浓度是多少？ （2）当时,至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于 ? [解析] （1）由题意知,开始时溶液的浓度为1,设第次操作后溶液的浓度为 ,则第1次 操作后溶液的浓度为,第次操作后溶液的浓度为 , 所以是首项为,公比为 的等比数列, 所以,即第次操作后溶液的浓度是 . （2）当时,令,得 . 故至少应操作4次后才能使溶液的浓度低于 . 随堂检测 34 $$