1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §3　等比数列 第一章 3．2　等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和公式 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路． 2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 (1－q)Sn＝a1－a1qn a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn na1 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 已知 量 首项a1，项数n 与公比q 首项a1，末项 an与公比q 公式 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C A 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点　等比数列前n项和公式的基本运算 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ Sn＝ 当q≠1时，Sn＝_____________． 1．等比数列的前n项和公式的推导 对首项为a1、公比为q(q≠0)的等比数列{an}， 设Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 则qSn＝__________________________，② ①－②，_____________________． 又因为an＝a1qn－1，所以上式还可以写成Sn＝_____________． 当q＝1时，Sn＝_______． 2．等比数列的前n项和公式 ①Sn＝ ②Sn＝ (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论． (2)公式①中的n表示的是所求数列的项数(例如1＋2＋22＋…＋2n＝). (3)公式②中的an在求和时，表示数列的最后一项(例如1＋2＋22＋…＋2n＝). 角度1　等比数列的基本运算 [例1] 求下列等比数列{an}的前n项和． (1)a1＝1，q＝3，n＝10； (2)a1＝6，q＝2，an＝192. (1)由a1＝1，q＝3，n＝10得 S10＝＝＝29 524. (2)由a1＝6，q＝2，an＝192得Sn＝ ＝＝378. 等比数列的前n项和的求法 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立． [练1] 求下列等比数列{an}的前n项和． (1)a1＝，q＝－，n＝6； (2)a1＝，q＝，an＝. (1)由a1＝，q＝－，n＝6得S6＝＝[1－()6]＝. (2)由a1＝，q＝，an＝得Sn＝＝＝ ×(1－)＝. [例2] (1)在等比数列{an}中，S3＝3a3，则其公比q的值为(　　) A．－ B． C．1或－ D．－1或 (2)已知等比数列{an}满足a3＝12，a8＝，若{an}的前n项和Sn＝93，则n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 (1)∵在等比数列{an}中，S3＝3a3， ∴当q＝1时，成立； 当q≠1时，＝3a1q2，整理得2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(舍去)， ∴其公比q的值为1或－.故选C. (2)设等比数列{an}的公比为q， 因为a3＝12，a8＝，所以q5＝＝＝，解得q＝，所以a1＝＝＝48. 因为Sn＝93，所以＝96[1－()n]＝93，所以()n＝＝，解得n＝5. 等比数列基本运算的方法 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解． [练2] (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝a5－a1，则{an}的公比q为(　　) A．2 B．－1 C．2或－1 D．1或－2 (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝8，S6＝9S3，则a1＝(　　) A． B．1 C．2 D．4 (1)若q＝1，由S4＝a5－a1，则4a1＝a5－a1＝0，不符合题意． 若q≠1，因为S4＝a5－a1，可得＝a1q4－a1，因为a1≠0，所以＝q4－1，解得q＝－1或q＝2. (2)当q＝1时，S6＝9S3，即6a1＝27a1，a1≠0，不成立； 当q≠1时，S6＝9S3，即a1＝9a1·，解得q＝2. 由a4＝a1q3＝8a1＝8，解得a1＝1. 由a4＝a1q3＝8a1＝8，解得a1＝1. 角度2　等比数列前n项和的应用 [例3] 如图，一个小球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的. (1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？ (2)小球第几次落地时，经过的路程为 m? (1)设小球从第(n－1)次落地到第n次落地时经过的路程为an m， 则a1＝10，a2＝10××2，a3＝10××2，…. 当n≥2时，可以得到递推关系an＋1＝an，a2＝. 数列{an}是首项为，公比为的等比数列，且n≥2. 故an＝a2·()n－2＝(n≥2)，且a1＝10. 所以小球第10次落地时，经过的路程为 S10＝a1＋a2＋…＋a10＝10＋20[＋()2＋…＋()9]＝10＋20×＝20－ (m). (2) 设小球第n次落地时，经过的路程为 m， 因为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝10＋20[＋()2＋…＋()n－1]＝20－， 所以20－＝，解得n＝4. 所以当小球第4次落地时，经过的路程为 m． 解答等比数列前n项和公式的 实际应用问题的注意事项 (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型． (2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释． (3)实际问题解答完成后一定要有结论． [练3] 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这个女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为__________. 答案： 设该女子每天分别织布尺数形成数列{an}，则数列{an}为公比为2的等比数列且前5项和S5＝5，则由题意得＝5，解得a1＝，所以前3天织布的总尺数为×＝. ◎随堂演练 1．数列1，5，52，53，54，…的前10项和为(　　) A．(510－1) B．(510－1) C．(59－1) D．(511－1) 因为数列是以1为首项，5为公比的等比数列，所以S10＝＝(510－1). 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是(　　) A．86里 B．172里 C．96里 D．192里 设此人第n天走的路程为an，n∈{1，2，3，4，5，6}，所以此人每天走的路程可形成等比数列{an}，依题可知，公比为，所以378＝，解得a1＝192.故此人等一天，走的路程为192里． 3．在等比数列{an}中，若a1＝3，an＝48，Sn＝93，则q＝______． 答案：2　 在等比数列{an}中，若a1＝3，an＝48，则公比不为1，由Sn＝＝＝93，解得q＝2. 4．在等比数列{an}中，若S6＝，q＝，则a1＝______. 答案：1 ∵S6＝＝＝，∴a1＝1. $$