精品解析：四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024~2025学年度下期高中2024级期中考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，且，则的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示列出方程求解. 【详解】由， 可得：，即， 所以，. 故选：A 2. 下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正余弦函数的周期性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，因， 所以函数为奇函数，故A不符题意； 对于B，函数的最小正周期， 因为， 所以函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，因为， 所以函数为奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的最小正周期，故D不符题意. 故选：B. 3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得，即. 故选：D. 4. 的三个顶点的坐标分别为，，，则（ ） A. 角为直角 B. 角为锐角 C. 角为钝角 D. 角为钝角 【答案】C 【解析】 【分析】由两点间距离公式及余弦定理即可判断. 【详解】由三点坐标易得：， 所以， 又为三角形内角， 所以角为钝角，所以ABD错，C对， 故选：C 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两角和的正切公式求出，再根据二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切即可得解. 【详解】由，解得， 所以. 故选：C. 6. 某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度与时间的部分数据如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6 用函数模型近似刻画与之间对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表格中的数据求得函数解析式为，代入计算可得结果. 【详解】根据表格数据可知最大高度为9m，最小高度为3m， 不妨取，因此可得，解得； 数据完成一个周期用时为12秒，因此周期，可得； 因此函数模型为， 代入，可得. 故选：A 7. 在中，，，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得为的中点，为的重心，再根据结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由，得， 即，即，所以， 又为公共点，所以三点共线，且为的中点， 由，得， 所以， 又为公共点，所以三点共线，且， 由，，得，， 则 . 故选：D. 8. 已知函数，对任意都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对任意都有恒成立，只需要即可，利用三角恒等变换将化简，求出函数在上的最值，即可得解. 【详解】对任意都有恒成立， 只需要即可， 只需要即可， ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 即实数取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式即可判断A；根据二倍角的余弦公式即可判断B；先利用商数关系化弦为切，再根据两角和的正切公式即可判断C；先化切为弦，再根据二倍角的正弦公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数的图象的一个对称中心为 B. 当时，函数的图象的一条对称轴方程为 C. 若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围为 D. 将函数的图象向右平移个单位所得图象关于轴对称且在区间上为单调函数，则的值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性即可判断AB；由求出的范围，再根据正弦函数的图象即可判断C；根据正弦函数的奇偶性和单调性即可判断D. 【详解】对于A，当时，， 因为，所以不是函数的图象的一个对称中心，故A错误； 对于B，当时，， 因为，所以是函数的图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，由，得， 因为函数在区间上有且仅有5个零点， 所以，解得，故C正确； 对于D，由，得， 因为在区间上为单调函数， 所以，解得， 将函数的图象向右平移个单位，得， 因为函数的图象关于轴对称， 所以，解得， 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若函数的定义域为，且满足，当时，，则 B. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的取值范围为 C. 在中，若，则角的最大值为 D. 在中，若，，直线与交于点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的周期，再根据函数的周期性即可判断A；利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换化简结合三角函数的性质求出的范围，再根据三角形的面积公式即可判断B；先利用正弦定理和余弦定理化角为边得出的关系，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最值，进而可判断C；根据平面向量共线定理结合其推论即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 则，故A错误； 对于B，因为， 所以， 则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为， 由正弦定理得，则， 所以，所以， 则， 则， 又因为函数在上单调递减， 所以角的最大值为，故C错误； 对于D，设， 由，， 得， 所以， 因为三点共线， 所以，解得， 所以，故D错误. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，，且，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】由， 得 ， 所以. 故答案为：. 13. 已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛5海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距7海里，则岛与岛的距离为________海里. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，由题意得， 由余弦定理得， 即，解得（舍去）， 所以岛与岛的距离为海里. 故答案为：. 14. 函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式可得，令，利用换元法结合二次函数的性质即可得解. 【详解】 ， 令，则， 故，， 当时，，当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知向量，，若，求实数的值； （2）已知向量，满足，求与的夹角的大小. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示即可求解；（2）先求得，进而得到，，再由夹角公式即可求解. 【详解】（1）， 由， 可得：， 解得：， （2）由， 可得：， 可得：， 所以，即， ， 设与的夹角为， 则， 所以， 即与的夹角为. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角的对边分别为，，，且，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出。再利用正弦函数性质由整体代换解不等式求得结果； （2）根据解析式可求得，再由余弦定理计算求得，利用三角形面积公式计算可得其面积. 【小问1详解】 易知； 令， 解得； 所以函数的单调递增区间为 【小问2详解】 由可得，即； 又因为，可得； 所以，解得； 又，; 由余弦定理可得, 解得， 因此的面积为. 17. 已知矩形. （1）如图1，若，，点为线段的中点，记，，请用，表示，，并求向量与的夹角的余弦值； （2）如图2，矩形是半径为1，圆心角为的扇形的内接矩形，点，在半径上，设，求当矩形的面积最大时的值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量得线性运算即可求出，，分别求出，再根据夹角公式即可得解； （2）分别求出，再求出，即可得，再利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 ，， 因为，所以， 则， ， ， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 由题意， ， 则， 所以矩形的面积 ， 由题意知，则， 所以当，即时， 矩形的面积取得最大值，为. 18. 在中，角的对边分别为，，，且. （1）若，求角； （2）若，，求边的中线的长； （3）若角的内角平分线的长为2，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）根据题意由正弦定理可得，再由可求得，即可得； （2）由正弦定理计算可得，，再以为基底表示出，由数量积的运算律计算可得结果； （3）由角平分线利用等面积法可得，再由基本不等式中“1”的应用计算可得最小值. 【小问1详解】 由利用正弦定理可得； 又，因此可得， 又，可得； 由利用正弦定理可得； 即，因此， 即，可得； 所以. 【小问2详解】 设的外接圆半径为， 由可得； 即，又，因此可得； 由利用正弦定理可得，可得，如下图： 易知，且； 因此， 因此边的中线的长为 【小问3详解】 若角的内角平分线的长为2， 由等面积法可得， 即，可得， 即， 又，所以； 当且仅当，即时，等号成立， 即最小值为18. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数在区间上的值域； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式，诱导公式可得，据此可得答案； （2）令，则可得，然后由可得答案； （3）由题可得，令，可得，据此可得答案. 【小问1详解】 ， 则 ， 当且仅当时取等号，所以函数的最小值为； 【小问2详解】 ， 令，则，因， 则，又在上单调递增，在上单调递减. 则，又. 则，因在上单调递增， 则， 即函数在区间上的值域为； 【小问3详解】 ， . 则 恒成立， 又， ， 则 恒成立，则 ， 令，因，函数在 上递减，在上单调递增，则. 则 ，当且仅当时，即时取等号. 则. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：对于三角函数值域问题，常转化为二次函数，或利用辅助角公式，和差化积公式，倍角公式结合题意可解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度下期高中2024级期中考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，且，则值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 的三个顶点的坐标分别为，，，则（ ） A. 角为直角 B. 角为锐角 C. 角为钝角 D. 角为钝角 5. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 6. 某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度与时间的部分数据如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6 用函数模型近似刻画与之间的对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为（ ） A B. C. D. 7. 在中，，，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 已知函数，对任意都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数的图象的一个对称中心为 B. 当时，函数的图象的一条对称轴方程为 C. 若函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围为 D. 将函数的图象向右平移个单位所得图象关于轴对称且在区间上为单调函数，则的值为4 11. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若函数的定义域为，且满足，当时，，则 B. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的取值范围为 C. 在中，若，则角的最大值为 D. 在中，若，，直线与交于点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，，且，则实数________. 13. 已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛5海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距7海里，则岛与岛的距离为________海里. 14. 函数的值域为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知向量，，若，求实数的值； （2）已知向量，满足，求与的夹角的大小. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角对边分别为，，，且，，，求的面积. 17. 已知矩形. （1）如图1，若，，点为线段的中点，记，，请用，表示，，并求向量与的夹角的余弦值； （2）如图2，矩形是半径为1，圆心角为的扇形的内接矩形，点，在半径上，设，求当矩形的面积最大时的值. 18. 在中，角的对边分别为，，，且. （1）若，求角； （2）若，，求边的中线的长； （3）若角内角平分线的长为2，求的最小值. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数在区间上的值域； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$