精品解析：四川省成都金苹果锦城第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

成都金苹果锦城一中2023~2024学年（下）高2023级期中考试试题（数学） （考试时间120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，题卷由学生自行保管，答卷由监考老师收回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】运用复数除法法则化简，再结合共轭复数概念，虚部概念求解. 【详解】由于，，则. 则虚部为. 故选：A. 2. 已知向量，，，若，，则（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量平行，垂直的坐标结论即可求解. 【详解】,向量，,则，则； ，向量，，则，则. 则. 故选：B. 3. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球体、圆柱体体积公式和球体表面积，圆柱体侧面积公式可得答案. 【详解】由球的半径为R，则圆柱体的高为R 此鼎主体部分的容积约为： 此鼎主体部分外表面积约为： 所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为： 故选：D 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，三角函数两角差公式以及三角函数的诱导公式即可得到答案. 【详解】根据正弦定理边角互化若， 则， 又根据诱导公式可知， 将上式可变形为， 根据三角函数两角差公式可化简， 所以 三角形内角和，代入即可求得 所以是直角三角形. 故选：A 5. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算将所求数量积转化可得答案. 【详解】 . 故选：B. 6. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据算出即可. 【详解】由题意知：，，所以，， 中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，m. 故选：C 7. 英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助泰勒公式，进行适当放缩再比较即可. 【详解】， ， ，则， 因此. 故选：C. 8. 已知函数．若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 若关于实数不等式有解，则 D. 若函数在上有且仅有4个零点，则 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，利用辅助角公式及得到，得到，计算出，根据，故，A错误；B选项，代入检验得到，B错误；C选项，根据得到，由有解，故，只需，求出的范围；D选项，时，，根据零点个数得到不等式，求出. 【详解】A选项，，其中， ，， 故， 所以，故，解得， 故， 则， 由于，故，A错误； B选项，，故的图象不关于直线对称，B错误； C选项，因为，所以，故， 又，若关于实数不等式有解， 即有解， 故只需，解得， 又，故，故C错误； D选项，， 时，， 在上有且仅有4个零点，故， 解得，D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分． 9 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过切化弦，得到，后运用两角和差的正弦，余弦求解ABC即可. 对于最后一个选项化为，结合同角三角函数关系式，整体思想可解 【详解】，，则. ,则A正确; ,则B正确; ,则，即，联立解得， ，则C错误； ，则，则. ，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 等式恒成立 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 【答案】AB 【解析】 【分析】由余弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化可以判断出B，利用正、余弦定理分析判断C，对于选项D，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解. 【详解】对于选项A. ,故选项A正确. 对于选项B. 在中，若，则，由正弦定理则，故选项B正确. 对于选项C. 若， 由正弦定理可得则， 则角为锐角,但不能确定角A，B是锐角.故选项C不正确. 对于选项D. 由于 ，此时三角形无解，故选项D不正确. 故选：AB 11. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，即．在坐标系Oxy中，设，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用向量的加法运算，数量积运算法则，垂直和平行的结论，模长公式逐个求解即可. 【详解】由于Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则. ，A对； ，B错； ，则， 则， 即，C错； ，则，则， 消去化简得到.D对. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数__________． 【答案】-7 【解析】 分析】求出，设，得到方程组，得到. 【详解】， A，C，D三点共线，设，则， 故，解得. 故答案为：-7 13. __________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，代入题意运算求解即可. 【详解】因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AC边的中线，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设设，用正弦定理将边长全部用表示，，，再用余弦定理，借助三角恒等变换，化为三角函数，求最值即可. 【详解】如图， 设，则 ．，，. 由于AC边的中线，， 用余弦定理，知道， . ,则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据结合诱导公式即可求解. （2）先判断的取值范围，从而求出的正弦值和余弦值，进而结合倍角公式求出的正弦值和余弦值，接着根据结合两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得. 【小问2详解】 ， 而，所以， 所以， ， 所以. 16. 直角梯形ABCD中，，，为CD的中点，BE与AC交于点. （1）用表示； （2）设，求实数的值； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算，用表示； （2）用表示，由三点共线，求实数的值； （3）利用向量数量积求向量的夹角. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，由三点共线，有，得. 【小问3详解】 ， ， ， 则，所以. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，角的平分线交BC于，求AD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量垂直的坐标运算，结合余弦定理可解； （2）运用余弦定理，结合等面积法，用三角形面积公式可解. 【小问1详解】 由得 由余弦定理得：，， 【小问2详解】 由余弦定理：，解得： 又， 所以， 所以． 18. 已知函数在区间的最小值为4． （1）求实数的值； （2）把函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，的图像关于轴对称．当取得最小值时，求在区间上的单增区间； （3）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】(1)先对进行化简，然后根据给定区间的最小值即可确定实数的值； (2)把函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，利用对称性求出的最小值，进而可以确定，并求出其在给定区间的单调区间； (3)对三角形中的问题，利用三角函数的值和三角形的性质以及正弦定理可求解. 【小问1详解】 ， 当时，， 解得： 【小问2详解】 由已知得： 因为的图像关于轴对称，所以， ，，当时，取得最小值 ， 因为， 所以当，时，单调递增 解得在上的单调递增区间为 【小问3详解】 由，得 因为是锐角，所以，故， 由正弦定理： 因为是锐角三角形，，所以，， 所以． 19. 我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． （1）计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； （2）现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； （3）已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由复数的除法运算化简，再结合向量间的关系得出复数除法的几何意义. （2）设出点对应的复数为，坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍，即，从而可得出答案. （3）由（2）知：，解出，代入方程从而得出答案. 【小问1详解】 令，，，则，，，，， 复数相当于将复数缩短了倍，顺时针旋转了得到 【小问2详解】 设点对应的复数为：，设：， 点对应的复数为，则 所以 【小问3详解】 由（2）知：，， 代入反比例函数得到，化简得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都金苹果锦城一中2023~2024学年（下）高2023级期中考试试题（数学） （考试时间120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，题卷由学生自行保管，答卷由监考老师收回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 2. 已知向量，，，若，，则（ ） A. B. 8 C. D. 6 3. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 平行四边形中，，，，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 6. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（ ） A. B. C. D. 7. 英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图象关于直线对称 C. 若关于实数不等式有解，则 D. 若函数在上有且仅有4个零点，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分． 9 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ） A 等式恒成立 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 11. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，即．在坐标系Oxy中，设，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数__________． 13. __________． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AC边的中线，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 直角梯形ABCD中，，，为CD的中点，BE与AC交于点. （1）用表示； （2）设，求实数的值； （3）求. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，角的平分线交BC于，求AD的长． 18. 已知函数在区间的最小值为4． （1）求实数的值； （2）把函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，的图像关于轴对称．当取得最小值时，求在区间上的单增区间； （3）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的取值范围． 19. 我们知道，复数可以用形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． （1）计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； （2）现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； （3）已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$