精品解析：北京市北京中学2024—2025学年下学期八年级数学科期中检测题

初二年级数学学科期中调研试卷 满分100分 考试时间90分钟 考生须知 1.本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合同意； B．不是最简二次根式，不符合同意； C．不是最简二次根式，不符合同意； D．不是最简二次根式，不符合同意； 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 2. 若、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较正比例函数的函数值大小，根据，可得y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，且， ∴， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列曲线中，表示y是x的函数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义解答即可． 【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 5. 下列判断错误的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，正方形的判定定理，菱形的判定定理和矩形的判定定理，根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形也符合，原说法错误，符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 6. 下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A. 正方形的面积S随边长x的变化而变化 B. 面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C. 正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D. 水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：）的变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是正比例函数，故此选项符合题意； D、设水箱有水，则，不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 7. 如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上中线的性质求出的长，进而求出的长，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：在中，,点E是的中点，， ∴ ∵， ∴， ∵D、E分别是的边、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选D. 【点睛】本题考查是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结，，则的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】连接，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接， 矩形中，，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ， 是的垂直平分线， ， ， 连接，则， ，， ． 的最小值为13． 故选：C． 【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 已知正比例函数的图象过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法把点代入正比例函数中即可算出k的值 【详解】把点代入正比例函数，得 解得 故答案为： 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是图象经过的点都能满足解析式． 11. 一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____． 【答案】4或 【解析】 【详解】解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34； ②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42， 故答案是：4或． 12. 已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________． 【答案】（且即可） 【解析】 【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴k<0， 当经过时，k=-1， 由题意函数不经过，说明k≠-1， 故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)． 【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限． 13. 如图，中，，，平分交于点，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；由平行四边形的性质得出，，得出，证出，得出，即可得出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________． 【答案】22.5°##22.5度 【解析】 【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC． 【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， ∴∠BAC=45°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数． 15. 如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求得，结合点M是中点可得，由翻折可知，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 点M是中点， ， 由翻折可知， 在中， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，并运用勾股定理正确计算． 16. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先结合图①由图2为等腰梯形可得a的值，则可求得与的值；再根据三角形的面积公式可得b的值；然后结合图形可知当时，点P运动到点D处；最后根据图1及图2中的b值，可得当时，点P在线段或上，从而问题得解． 【详解】解：动点P从点B出发，沿的路径匀速运动， ∴图2为等腰梯形， ，故①正确； ， 在矩形中，， ，故②错误； 点P运动的路程为x，当时， ， 时，点P运动到点D处，故③正确； ， 在图2中等腰梯形的两腰上分别存在一个y值等于， 结合图1可知，当时，故④正确； 综上，正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，明确矩形的性质、数形结合并分段讨论是解题的关键． 三、解答题（共52分，第18、20、21、24每题4分，第17、19、22题5分，第23题6分，第25题7分，第26题8分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】先将二次根式化成最简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 18. 已知，，求的值． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式把所求式子变形为，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 19. 阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C（），若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数． 我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P，则点P就是线段的黄金分割点． 根据材料回答下列问题： （1）根据作图，写出图中相等的线段：　 　； （2）求点P在数轴上表示的数，并写出的值． 【答案】（1）， （2）点P在数轴上表示的数为， 【解析】 【分析】（1）根据作图步骤可知半径相等，即可解答； （2）根据垂直定义可得，根据已知可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再根据作图可得：，，从而求出的长，进而求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：根据作图步骤可知半径相等，图中相等的线段：，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 由作图得：，， ， ， ， ∴点P在数轴上表示的数为，． 【点睛】本题考查了黄金分割，实数与数轴，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 20. 已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； ②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； ③画射线OP． 射线OP即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接PC，PD． 由作法可知OC=OD=PC=PD． ∴四边形OCPD是 ． ∴OP平分∠AOB（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）图见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据作法的步骤②和③补全图形即可； （2）连接，先根据作图可得，再根据菱形的判定与性质即可得证． 【详解】解：（1）如图，射线即为所求． （2）证明：连接． 由作法可知，． ∴四边形是菱形． ∴平分（菱形的每条对角线平分一组对角）． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 21. 如图，在平行四边形中，、分别是上的点且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于O，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 22. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF； （2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）要证明AB=CF可通过△AEB≌△FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明； （2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由△AEB≌△FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED⊥AF ． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠BAE=∠F， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△AEB和△FEC中， ， ∴△AEB≌△FEC（AAS）， ∴AB=CF； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵AB=CF，DF=DC+CF ， ∴DF=2CF， ∴DF=2AB， ∵AD=2AB， ∴AD=DF， ∵△AEB≌△FEC， ∴AE=EF， ∴ED⊥AF ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 23. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 【答案】（1）详见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是中位线，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 是的中位线， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 24. 水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线； （2）结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式______（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______mL． 【答案】（1）见解析 （2）y=3t （3）4320 【解析】 【分析】（1）根据表格描点、连线即可； （2）根据5min漏水量15mL可得解析式； （3）将t=24×60代入计算即可． 【小问1详解】 解：描点、连线如下： 【小问2详解】 滴水量y关于时间t的函数解析式为y=3t； 故答案为：y=3t； 【小问3详解】 一天的漏水量约为y=3×（24×60）=4320（mL）， 故答案为：4320． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据表格写出函数关系式． 25. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）． 【答案】（1），，；（2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】解：（1）当时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 26. 在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．图1为点，的“相关矩形”的示意图． 　　 　　 已知点A的坐标为 （1）如图2，点的坐标为． ①若，则点A，的“相关矩形”的面积是_____________； ②若点A，的“相关矩形”的面积是8，则的值为_____________． （2）如图3，点在过点且平行轴的直线上，若点A，的“相关矩形”是正方形，直接写出点的坐标； （3）如图4，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）6，或5 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或5； （2）由题意可知点A到直线l的距离为，即得出点A，的“相关矩形”是正方形时的边长为3．分类讨论：当点C在点A左侧时和当点C在点A右侧时，画出图形，结合正方形的性质和“相关矩形”的定义即可得出点C的坐标； （3）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案． 【小问1详解】 解：①当时，点的坐标为，如图． ∵， ∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为． 故答案为：6； ②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：； 当点B在点A右侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：． 综上可知的值为或5． 故答案：或5； 【小问2详解】 解：∵点在过点且平行轴的直线上，， ∴点A到直线l的距离为， ∴点A，的“相关矩形”是正方形时的边长为3． 分类讨论：当点C在点A左侧时，如图点C， ∴，，即； 当点C在点A右侧时，如图点， ∴，，即． 综上可知点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点M的坐标为， ∴点M在直线上． ∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当点N在边上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ②当点N在边上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ③当点N在边上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2， 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或． 综上可知的取值范围是或． 【点睛】本题考查矩形性质，正方形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理等知识．理解”相关矩形”的定义，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二年级数学学科期中调研试卷 满分100分 考试时间90分钟 考生须知 1.本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，那么与的大小关系是（ ） A B. C. D. 无法确定 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列曲线中，表示y是x的函数的是 （ ） A. B. C. D. 5. 下列判断错误的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6. 下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A. 正方形的面积S随边长x的变化而变化 B. 面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C. 正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D. 水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：）的变化而变化 7. 如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 4 8. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结，，则的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 已知正比例函数的图象过点，则______． 11. 一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____． 12. 已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________． 13. 如图，中，，，平分交于点，则长为__________. 14. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________． 15. 如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为______． 16. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是________． 三、解答题（共52分，第18、20、21、24每题4分，第17、19、22题5分，第23题6分，第25题7分，第26题8分） 17. 计算：． 18. 已知，，求的值． 19. 阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C（），若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数． 我们可以这样作图找到已知线段黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P，则点P就是线段的黄金分割点． 根据材料回答下列问题： （1）根据作图，写出图中相等的线段：　 　； （2）求点P在数轴上表示的数，并写出的值． 20. 已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； ②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； ③画射线OP． 射线OP即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接PC，PD． 由作法可知OC=OD=PC=PD． ∴四边形OCPD是 ． ∴OP平分∠AOB（ ）（填推理的依据）． 21. 如图，在平行四边形中，、分别是上的点且，求证：四边形为平行四边形． 22. 如图，在▱ABCD中，E是BC中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF； （2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF． 23. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 24. 水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线； （2）结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式______（不要求写自变量的取值范围）； （3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______mL． 25. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）． 26. 在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．图1为点，的“相关矩形”的示意图． 　　 　　 已知点A的坐标为 （1）如图2，点的坐标为． ①若，则点A，的“相关矩形”的面积是_____________； ②若点A，的“相关矩形”的面积是8，则的值为_____________． （2）如图3，点在过点且平行轴的直线上，若点A，的“相关矩形”是正方形，直接写出点的坐标； （3）如图4，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$