精品解析：湖南省怀化市通道县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2025年上期八年级期中质量监测卷 数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（　　） A B. C D. 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 5，12，17 3. 一个正八边形的内角是（ ） A. B. C. D. 4. 平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（ ）． A. 61º B. 63º C. 65º D. 67º 5. 如图，，平分，P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 4 6. 在学习平行四边形时，我们先学习了平行四边形的性质定理、判定定理，再通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系，并根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理．在学习这些知识的过程中，主要体现的数学思想是（ ） A. 方程思想 B. 数形结合思想 C. 从特殊到一般思想 D. 从一般到特殊思想 7. 如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,EF经过对角线的交点O,则图中阴影部分的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 24 8. 如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　） A. 1.5米 B. 1.7米 C. 1.8米 D. 0.6米 10. 如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为________米． 12. 如图，直线，直线．若，则的度数为______． 13. 已知平行四边形的两条对角线长分别为和，则此平行四边形最长边x的范围是_______________ 14. 如图所示，在四边形中，，且，对角线和相交于，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形为矩形，则还需增加一个条件是________． 15. 如图，是菱形的对角线，若，则的度数为______． 16. 如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则______ 17. 如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm． 18. 如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为24，则的长为____________．． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图所示，求出图中x的值． 20. 如图，在中，点在的延长线上，且．求证：． 21. 如图，在四边形中，． （1）求证： （2）求四边形的面积． 22. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 23. 如图，是矩形的对角线，过的中点O作，交于点E，交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 24. 项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 25. 综合与实践 【教材情境】 数学活动课上，老师提出这样一个问题：在八年级上册我们遇到了这样一个问题，如图，和都是等边三角形．求证．我们可以证明，得到． 【观察思考】 在八年级下册，我们学习了平行四边形这一章后，有如下问题：如图①，在正方形中，以边在正方形外作矩形，连接，且． （1）我们能从以上【教材情境】得到启发，证明矩形是正方形，请写出证明过程． 【实践探究】 （2）希望小队提出：若P边上一个动点（P与C，D不重合），在图①中，连接，当点P在什么位置时，，请写出证明过程． 【拓展迁移】 （3）冲锋小队再次提出：若将图①中的正方形绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到图②的情形（与交于点G，与交于点O），此时，请猜想图②中线段与线段的关系？请写出你的猜想结果，并证明你所得到的结论． 26. 在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=6cm，AB=8cm，有一动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，向终点A运动，连接PQ，并且PQ⊥BC，以CP、CQ为邻边作平行四边形CQMP，设动点P的运动时间为t（s）（0＜t＜2）． （1）BP=________（用含t的代数式表示）； （2）当点M在∠B的平分线上时，求此时的t值； （3）当四边形BPQM是平行四边形时，求CM的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上期八年级期中质量监测卷 数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 5，12，17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最大边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，故是不直角三角形，故本选项不符合题意； C、，故是直角三角形，故本选项符合题意； D、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意， 故选：C． 3. 一个正八边形的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和公式，正多边形的性质，设这个正八边形的每一个内角的度数为x，则内角和为，结合多边形内角和公式列方程，即可求解． 【详解】解：设这个正八边形的每一个内角的度数为x， 则， 解得． 故这个正六边形的每一个内角的度数为． 故选C． 4. 平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（ ）． A. 61º B. 63º C. 65º D. 67º 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠BCA=∠DAC=42°，即∠BCO=42°， ∴∠COD=∠BCO+∠CBO=42°＋23°=65°， 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形外角性质．掌握三角形的外角等于与它不相邻的内角的和是解题关键． 5. 如图，，平分，P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】作于，根据角平分线的定义得到，根据直角三角形的性质求出，根据垂线段最短解答． 【详解】解：作于， ∵平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，的最小值是4.5， 故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、垂线段最短以及角所对直角边等于斜边的一半，掌握垂线段最短是解题的关键． 6. 在学习平行四边形时，我们先学习了平行四边形的性质定理、判定定理，再通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系，并根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理．在学习这些知识的过程中，主要体现的数学思想是（ ） A. 方程思想 B. 数形结合思想 C. 从特殊到一般思想 D. 从一般到特殊思想 【答案】D 【解析】 【分析】依据学习过程并结合选项可作出判断． 【详解】解∶在学习平行四边形时，先学习平行四边形的性质定理、判定定理，再通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理．学习这些知识的过程主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选∶ D． 【点睛】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键． 7. 如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,EF经过对角线的交点O,则图中阴影部分的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在△AOE和△COF中， ∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA， ∴△AOE≌△COF，则△AOE和△COF面积相等， ∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等， 又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分， ∴阴影部分的面积为=12． 故选B． 考点：矩形的性质． 8. 如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：还需要添加的条件是， 理由是：∵，， ， 和中， ， ∴， 故选：C． 9. 如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　） A. 1.5米 B. 1.7米 C. 1.8米 D. 0.6米 【答案】A 【解析】 【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m， 在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2， 解得x=1.5． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 10. 如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为________米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据角所对直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得： ，，米， ∴(米)， 故答案为：10． 12. 如图，直线，直线．若，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，平行线的性质，根据垂直得出，再求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知平行四边形的两条对角线长分别为和，则此平行四边形最长边x的范围是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．就可以转化为三角形的三边的关系的问题．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：对角线的一半是，， 再根据三角形的三边关系，得平行四边形边的范围是：． 即， ，当取最小值， ， 最长边的范围是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和三角形三边关系，注意平行四边形的性质和三角形的三边关系的综合运用． 14. 如图所示，在四边形中，，且，对角线和相交于，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形为矩形，则还需增加一个条件________． 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理可解，常用的方法有三种：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此分析判断． 【详解】解：因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD， 所以四边形ABCD是平行四边形， 要判断平行四边形ABCD是矩形， 根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等． 故答案为：∠A=90°或AC=BD． 【点睛】此题是一道几何结论开放题，全面的考查了矩形的判定定理，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神． 15. 如图，是菱形的对角线，若，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．根据菱形的性质即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ． 故答案为： 16. 如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则______ 【答案】8 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴CM=AM=BM=， ∵、分别为、的中点， ∴EF为△BCM的中位线， ∴CM=2EF， ∵， ∴CM=2EF=4， ∴CM==4， ∴AB=8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形中位线定理的应用，关键在于熟练掌握知识点． 17. 如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm． 【答案】 ①. 平行四边形 ②. 56 【解析】 【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 18. 如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为24，则的长为____________．． 【答案】 【解析】 【分析】由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、 BG、 CH的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形EFGH面积的 ，从而阴影部分总面积为正方形 EFGH面积的3倍，即可得正方形EFGH面积为8，继而得DH= EH=AE=，由勾股定理可求得AD的长 【详解】解：由四边形 ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，且AE=EH= DH= HG= CG=FG=BF=EF= BE ∴S△AEH = S△DHG= S△CGF= S△RFE= S正方形EFGH ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图所示，求出图中x的值． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，根据四边形的内角和等于列方程求解即可． 【详解】解：由四边形的内角和定理得，， 解得． 20. 如图，在中，点在的延长线上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形是平行四边形． 【详解】解：证明：是平行四边形， ，，即， 又， 四边形是平行四边形． ． ． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 21. 如图，在四边形中，． （1）求证： （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2）234 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理计算出长，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可得到结论； （2）利用和的面积求和，即可． 【小问1详解】 连接， ∵ ， ， ∵ ，即， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积=． 故面积为：234． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理．关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 22. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可； （2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 如图，∵四边形为菱形， ∴；而，， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴，，， 由勾股定理得： ，而， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23. 如图，是矩形的对角线，过的中点O作，交于点E，交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论； （2）由四边形ABCD是矩形，则∠D，根据DF求出CF即可解答． 小问1详解】 证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC， ∴AF=CF，AE=CE，OA=OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFO=∠CEO， 在△AOF和△COE中， ∵， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF=CE， ∴AF=CF=CE=AE， ∴四边形AECF是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∵DF=3，∠DCF=30°， ∴CF=6， ∵四边形AECF是菱形， ∴AE=EC=CF=FA， ∴四边形AECF的周长为24． 【点睛】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键． 24. 项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】（1）此时风筝离地面的垂直高度为8.5米 （2）他应该朝射线方向前进4米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【小问1详解】 解：中， 米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米． 【小问2详解】 解：米 由题意可得：米 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 25. 综合与实践 【教材情境】 数学活动课上，老师提出这样一个问题：在八年级上册我们遇到了这样一个问题，如图，和都是等边三角形．求证．我们可以证明，得到． 【观察思考】 在八年级下册，我们学习了平行四边形这一章后，有如下问题：如图①，在正方形中，以为边在正方形外作矩形，连接，且． （1）我们能从以上【教材情境】得到启发，证明矩形是正方形，请写出证明过程． 【实践探究】 （2）希望小队提出：若P是边上一个动点（P与C，D不重合），在图①中，连接，当点P在什么位置时，，请写出证明过程． 【拓展迁移】 （3）冲锋小队再次提出：若将图①中的正方形绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到图②的情形（与交于点G，与交于点O），此时，请猜想图②中线段与线段的关系？请写出你的猜想结果，并证明你所得到的结论． 【答案】（1）见解析；（2）点P是的中点，证明见解析；（3），，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定条件是解题关键． （1）由正方形的性质可知．再根据，即可由“”证明，即得出，从而即得出矩形是正方形； （2）当点P是的中点时，．由正方形的性质可知，再由点P是的中点，即，可利用“”证明，结合（1）可得，从而得出； （3）由正方形的性质可知，即得出，从而可利用“”证明，得出，再根据，可证明，即． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∴． 又∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形． （2）当点P是中点时，． 证明：连接． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵点P是的中点， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． （3），． 证明：∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26. 在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=6cm，AB=8cm，有一动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，向终点A运动，连接PQ，并且PQ⊥BC，以CP、CQ为邻边作平行四边形CQMP，设动点P的运动时间为t（s）（0＜t＜2）． （1）BP=________（用含t的代数式表示）； （2）当点M在∠B的平分线上时，求此时的t值； （3）当四边形BPQM是平行四边形时，求CM的值； 【答案】（1）6-3t （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由路程=速度×时间可求解； （2）过点M作MN⊥BC于N，由平行四边形的性质和角平分线的性质可求CP，NP，BN的长，即可求解； （3）先判断点M在AB上，再由四边形BPQM是矩形，四边形CQMP是平行四边形，可得MQ=PC=BP=3tcm，进而得到BM=PQ=4cm，再由勾股定理可求解； 【小问1详解】 解：∵动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动， ∴CP=3tcm， ∴BP=（6-3t）cm， 故答案为（6-3t）cm； 【小问2详解】 解：如图1，过点M作MN⊥BC于N， ∵动点Q以5cm/s的速度也从点C出发， ∴CQ=5tcm， ∴PQ=cm， ∵四边形CQMP是平行四边形， ∴MQ=CP=3tcm，MQ∥CP， ∵MN⊥BC，QP⊥BC， ∴MN∥PQ， ∴四边形MNPQ是平行四边形， ∴MN=PQ=4t（cm），MQ=NP=3t（cm）， ∵BM平分∠ABC， ∴∠MBC=45°=∠ABM， ∵MN⊥BC， ∴∠MBC=45°=∠BMN， ∴BN=MN=4tcm， ∵BN+NP+PC=BC， ∴4t+3t+3t=6， ∴t=； 【小问3详解】 解：∵四边形BPQM是平行四边形，PQ⊥BC， ∴四边形BPQM是矩形， ∴∠MBP=90°， 又∵∠ABC=90°， ∴点M在AB上， 如图2，连接CM， ∵四边形BPQM是矩形，四边形CQMP是平行四边形， ∴MQ=PC=BP=3tcm， ∴3t+3t=6， ∴t=1， ∴BM=PQ=4×1=4cm， ∴CM=cm． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$