精品解析：浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

杭州二中2024学年第二学期高一年级期中考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，，且，则. 故选：D. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部. 【详解】因为，则， 因此，复数的虚部为. 故选：A. 3. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设向量与向量的夹角为，根据投影向量的定义求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】设向量与向量的夹角为，因为， 所以向量在向量上的投影向量为，则， 所以 . 故选：D. 4. 已知正四面体的表面积为，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正面体的棱长，将正四面体补成正方体，即可求出该正四面体的体积. 【详解】设正四面体的棱长为， 则该正四面体的表面积为，可得， 将正四面体补成正方体，则该正方体为棱长为， 因此正四面体的体积为. 故选：B. 5. 在中，，，其面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：C. 6. 已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件可得正三棱锥的侧棱两两垂直，再补形成正方体，进而求出外接球的体体积. 【详解】正三棱锥，，，则，即， 因此正三棱锥的侧棱两两垂直， 以线段为棱的正方体的外接球即为正三棱锥的外接球， 该球的直径为，半径， 所以该三棱锥的外接球的体积. 故选：A 7. 如图，圆内接四边形中，，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，然后判断出旋转体的结构，从而求得旋转体的表面积. 【详解】在圆内接四边形中，， 所以是四边形外接圆的直径，所以，则， 延长，过作，垂足为；过作，垂足为， 则，所以三角形是等腰直角三角形， 所以， 由于，，所以四边形是矩形，， 在等腰直角三角形中，， 所以， 将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体是圆台挖掉一个圆锥， 其表面积为. 故选：C 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下复数运算一定成立的是（ ） A. B. （、均不为） C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，，可得出，，再利用复数的运算与复数的模长公式逐项判断即可. 【详解】对于A选项，令，， 则，，， 所以， ，， 所以，A对； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，，，故，C对； 对于D选项，不妨取，则，，故，D错. 故选：ABC. 10. 在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ） A. 为直角三角形 B. ，，，依次连起来是一个四边形 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 存在点，使得直线与共面 C. 的最小值为 D. 若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；利用反证法可判断B选项；将沿直线翻折，使其与平面共面，连接，再在中，利用余弦定理求解判断C选项；过作于点，连接，则，从而平面，再由平面，得到平面平面，从而平面求解，可判断D选项. 【详解】对于A选项，在正方体中，，，如图1， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，A对； 对于B选项，假设存在点，使得直线与共面， 由A选项知，点、直线可确定平面， 若直线与共面，则平面，矛盾，假设不成立， 因此，不存在点，使得直线与共面，B错； 对于C选项，将沿直线翻折，使其与平面共面， 记翻折后点对应的点为，连接，如图2，则， 在中，由余弦定理可得： ， 即的最小值为，C错； 对于D选项，如图3，过作于点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面， 所以平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 设，，则，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长，可求得圆锥的母线长. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知O为所在平面内一点，且点P满足，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义及运算律，结合向量的夹角公式计算得解. 【详解】由，得， 则， 整理得，即， 解得，而，所以. 故答案为： 14. 复数，满足，，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【详解】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由平面向量线性运算的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出向量的坐标，然后平面向量的模长公式可求得的值. 【小问1详解】 因为，，则， 因为，故. 【小问2详解】 因为向量满足， 所以，解得，所以，故. 16. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，，是的中点. （1）求； （2）若，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）取定基向量，表示出向量，再利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 在中，，， 由，得， 由是的中点，得， 由，得 ， 所以. 17. 在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，. （1）要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？ （2）求烧烤区占地面积的最大值. 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）在中，应用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件可求出、的长度，即可得出结论； （2）设米，则米，设，利用余弦定理、三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得烧烤区占地面积的最大值. 【小问1详解】 在中，米，， 由余弦定理可得 ， 所以，， 当且仅当米时，等号成立， 所以，要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，米. 【小问2详解】 设米，则米，设， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 所以， ， 当且仅当时，等号成立， 所以，烧烤区面积的最大值为平方米. 18. 如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面. （1）在上，，求证：平面平面； （2）若，且，求的值； （3）求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可证得平面，再结合已知条件与面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）过点在平面内作交于点，连接，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出，然后在平面内，利用平面向量的基本定理和共线向量的基本定理可求得的值； （3）分析可得，求出的面积以及点到平面的距离，利用锥体的体积公式结合基本不等式可求得三棱锥体积的最大值. 【小问1详解】 如下图所示： 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，，、平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 过点在平面内作交于点，连接， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，，、平面， 所以平面平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 因为为的中点，，则为的中点， 因为，且正三棱锥的棱长均为， 则，，， 所以，， ， 因为，所以，，则存在，使得， 即， 因为、不共线，则，解得. 综上所述，. 【小问3详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 设点在平面上的射影为点，则为等边的中心， 由正弦定理可得，则， 所以， 因为，所以，点到平面的距离， 点到直线的距离为， 所以，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故三棱锥体积的最大值为. 19. 设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. （1）设，，计算和； （2）设，，求证：； （3）设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值； （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则，设，，则，，利用题中定义结合两角差的正弦公式化简可证得结论成立； （3）建立合适的平面直角坐标系，利用向量叉乘将三角形的面积转化为，最后利用基本不等式即可求出其最大值. 【小问1详解】 如下图所示： 由平面向量数量积的坐标运算可得， 则为锐角，且， 结合图形可知，， . 【小问2详解】 不妨设射线、分别为角、的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故. 【小问3详解】 以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2024学年第二学期高一年级期中考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正四面体的表面积为，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，其面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆内接四边形中，，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下复数运算一定成立的是（ ） A. B. （、均不为） C. D. 10. 在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ） A. 为直角三角形 B. ，，，依次连起来是一个四边形 C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 存在点，使得直线与共面 C. 的最小值为 D. 若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______. 13. 已知O为所在平面内一点，且点P满足，，则_______． 14. 复数，满足，，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量满足，求的值. 16. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，，是的中点. （1）求； （2）若，，，求的值. 17. 在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，. （1）要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？ （2）求烧烤区占地面积的最大值. 18. 如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面. （1）在上，，求证：平面平面； （2）若，且，求的值； （3）求三棱锥体积的最大值. 19. 设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. （1）设，，计算和； （2）设，，求证：； （3）设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $