第18章 等腰三角形【单元卷·测试卷】-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第18章 等腰三角形（单元卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，将绕点A逆时针旋转（）得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．为等边三角形 B． C． D．， 4．已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 5．如图，中，，，与的平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E，则的周长等于（    ）． A．12 B．14 C．15 D．18 6．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（   ） A．30° B．42° C．45° D．50° 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．若等腰三角形腰长6，底边长5，则它的周长是 ． 8．等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 9．如图，在中，、的平分线相交于点，交边于点；，交边于点，，那么的周长等于 ． 10．如图，为的角平分线，交于E，若，则 ． 11．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为 ． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 13．如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 14．如右上图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是 ． 15．《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为 °． 16．如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是 ． 17．如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 18．如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为 ． 3、 （本大题共7小题，共64分） 19．如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 20．如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 21．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 22．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 23．已知：如图1在等边三角形中，点D、E分别在边的延长线上，且，联结． (1)求证：； (2)如果将绕着点逆时针旋转（如图2），此时点与点重合，点落在点G处，联结，求证：是等边三角形． 24．如图，已知正方形的边长为，点在边上，（点不与点、重合），，，连接，将绕顶点顺时针旋转一个角度后与重合（点的对应点记作点），连接，设交于点． (1)绕点B旋转的旋转角是______度；是______三角形． (2)若的面积为20，的面积为6，求、的值． (3)求的长（结果用含、的代数式表示）． 25．倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 等腰三角形（单元卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：A． 2．如图，将绕点A逆时针旋转（）得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 根据旋转的性质，得到，，进而得到，三角形内和定理，求出，再利用三角形内角和求出，即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图所示，在中，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．为等边三角形 B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，等边三角形的判定，根据平移的性质可得，，再根据平行线的性质和垂线的定义以及等边三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明为等边三角形， ∴四个选项中，只有A选项的结论不一定成立， 故选：A． 4．已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 5．如图，中，，，与的平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E，则的周长等于（    ）． A．12 B．14 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，根据角平分线的定义和平行线的性质可得与是等腰三角形， 即可得的周长等于解题即可． 【详解】解： ∵平分， 平分， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ， ∴的周长为： . 故选：C． 6．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（   ） A．30° B．42° C．45° D．50° 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质、等角对等边得出AB＝AC．利用等腰三角形的性质得出AP⊥BC．∠PAD＝90°．设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，利用各角之间的数量关系求解即可得出结果． 【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB． ∴AB＝AD． 同理：AC＝AD． ∴AB＝AC． ∵AP平分∠BAC， ∴AP⊥BC． ∵AD∥BC， ∴AP⊥AD． ∴∠PAD＝90°． 设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x， ∴∠ABC＝2x． ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝2x． ∴∠PAC＝90°﹣2x． ∵DP平分∠BDC， ∴设∠BDP＝∠CDP＝y， ∴∠BDC＝2y． ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝x+2y． ∵AC＝DA， ∴∠ACD＝∠ADC＝x+2y． ∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2（x+2y）． ∵∠PAD＝90°， ∴∠PAC+∠DAC＝90°． ∴90°﹣2x+180°﹣2（x+2y）＝90°． 整理得：x+y＝45°， ∵∠ADP＝∠ADB+∠BDP＝x+y， ∴∠ADP＝45°． ∴∠P＝90°﹣∠ADP＝45°． 故选：C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．若等腰三角形腰长6，底边长5，则它的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义求出该三角形的三边长即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形腰长6，底边长5， ∴该三角形的三边长为6，6，5， ∴该三角形的周长为， 故答案为：17． 8．等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形、等边三角形，掌握轴对称图形的定义和等边三角形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的定义和等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：等边三角形三条边上的高所在直线均为对称轴， 等边三角形有3条对称轴． 故答案为：3． 9．如图，在中，、的平分线相交于点，交边于点；，交边于点，，那么的周长等于 ． 【答案】 【分析】根据角平分线定义、平行线内错角相等的关系求解即可． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握平行的性质，角平分线的性质，三角形边长的关系． 10．如图，为的角平分线，交于E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质∶等腰三角形的两腰相等，也考查了三角形三边的关系，分类∶若或，分别求出，然后在满足三角形三边的关系的情况下即可得到腰长． 【详解】解∶如图，   为中线， ． 若， ． ． 若， ． ． ， (舍去)． 故答案为∶9． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 13．如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知，利用，求出，从而利用三角形的内角和求出，也就是的角度，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵是等边三角形， ， 由折叠的性质可知：，， 又， ∴， ∴， 故答案为： 14．如右上图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是网格等腰三角形的特点，分以为腰，以为底边两种情况确定C即可；清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：如图，点C的个数有8个， 故答案为：8 15．《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为 °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、对称的性质、等腰三角形的性质，根据点与点关于直线对称，是的垂直平分线，可知，根据和为两个全等的等腰直角三角形，可知四边形是正方形，根据正方形的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据对称的性质可求． 【详解】解：如下图所示，连接， 点与点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， 又和为两个全等的等腰直角三角形， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 16．如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在上方时，延长交于点D， ∵直线直线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点在下方时， 同理可得 ∴ 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 17．如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 【答案】2或或4． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 分当点Q在上时以及当点Q在上时的有两种情形或满足条件，分别构建方程求解即可． 【详解】解：当点Q在上时，时，， ∴， ∴，解得：． 当点Q在BC上时， 如图：当时，，， ； ∴，解得：； 如图：当时，， ∴，解得， 综上所述，满足条件的t的值为2或或4． 故答案为：2或或4． 18．如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为 ． 【答案】 【分析】连接，，，由轴对称的性质可得，，，进而可得，于是可得是等边三角形，则，，由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为的长，此时由三线合一可得，然后由三角形外角的性质可得，据此即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，，， 点关于直线、的对称点分别为、， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， 由垂线段最短可知：当时，的值最小，最小值为的长， 此时， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，三线合一，三角形外角的性质等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形并熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 3、 （本大题共7小题，共64分） 19．如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，首先根据角平分线的定义得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴为等腰三角形． 20．如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 【答案】；；；，等角对等边；，等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键． 由角平分线的定义得，由等式的性质得，结合外角的性质可得，从而，然后利用三线合一即可求解． 【详解】解：结论： 理由： 因为平分（已知），所以（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以（等角对等边）， 又因为（线段中点的意义） 所以（等腰三角形的三线合一）． 故答案为：；；；，等角对等边；，等腰三角形的三线合一． 21．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，根据得，可得，则，即可得是等腰三角形； （2）根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得，根据的周长为，，可得，即可得，根据可得，即可得； 掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ∵的周长为18，， ， ， ∵， ， ， ∴的周长为． 22．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．已知：如图1在等边三角形中，点D、E分别在边的延长线上，且，联结． (1)求证：； (2)如果将绕着点逆时针旋转（如图2），此时点与点重合，点落在点G处，联结，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转不变性是解题的关键． （1）由等边三角形的性质知、，得出，结合可证可得结论； （2）由得、，由得、，据此知、，由可得答案． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵是等边三角形（已知）， ∴，（等边三角形的性质）． ∴，（邻补角的意义）， ∴（等角的补角相等）． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2中， ∵是绕着点B逆时针旋转得到的， ∴． ∴，． ∵， ∴，． ∴，， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． 即． ∴是等边三角形． 24．如图，已知正方形的边长为，点在边上，（点不与点、重合），，，连接，将绕顶点顺时针旋转一个角度后与重合（点的对应点记作点），连接，设交于点． (1)绕点B旋转的旋转角是______度；是______三角形． (2)若的面积为20，的面积为6，求、的值． (3)求的长（结果用含、的代数式表示）． 【答案】(1)；等腰直角 (2)， (3) 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、乘法公式等知识，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． （1）根据旋转的性质得，，则，进而可判断的形状； （2）由旋转性质得到，根据梯形和三角形的面积公式列等式，结合乘法公式解方程求解即可； （3）根据梯形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵将绕顶点顺时针旋转一个角度后与重合， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：；等腰直角 （2）解：由旋转性质得，， 根据题意，， 又， ∴，即，又， ∴， ∴（负值舍去），又， 解得，，或，， ∵， ∴，； （3）解：根据题意，， 又， ∴， ∴，又， ∴． 25．倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 【答案】（1）；（2）32；（3）见解析 【分析】（1）延长到点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可； （2）延长交延长线于点F，利用平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到：，，，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得，则，再利用解答即可； （3）延长至点F，使得，连接、、，通过证明和，利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长交延长线于点F， ， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，， ∵P为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴； （3）证明：延长至点F，使得，连接、、，如图， 由（1）同理易证：， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，本题是阅读型题目，掌握倍长中线的方法，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$