精品解析：安徽省2025年初中毕业学业检数学测预测卷（四）

安徽省2025年初中毕业学业检测预测卷（三）数学 一、单选题 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 据华夏时报报告，经综合研判，预计2024年全国国内旅游人数将超过60亿人次，将60亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 图1是由9个相同的小正方块组成的几何体，只移动其中一个小正方块，变成图2所示的几何体，以下说法正确的是（ ） A. 主视图不变，俯视图改变 B. 俯视图不变，主视图改变 C 左视图改变，主视图不变 D. 左视图改变，俯视图不变 6. 一组数据：5，3，5，6，5若去掉一个数据5，则下列统计量中发生变化的是（ 　 ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流与电阻是反比例函数关系，它的图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数表达式为 B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当时， 8. 已知三个实数，，满足，，，则（ ） A. B. , C. , D. 9. 如图，已知中，，以为直径作半圆（圆心为点O），交，于点D，E若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或 二、填空题 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ． 13. 已知，是方程的两个实数根，则________ 14. 如图，正方形中，点E是的中点，连接，与以为直径的半圆交于点F，连接并延长交于点P，则的值 ___________． 三、解答题 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）仅用无刻度直尺做出的中线，保留作图痕迹． 17. 当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价x（元） 20 25 30 销售量y（件） 200 150 100 （1）求y与x之间函数关系式； （2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 18. 某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 （1）当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； （2）当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； （3）若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 19. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 20. 如图，在中，，D为边上点，以为直径作交于点E，与相切． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 21. 为了提高学生的安全意识，珍爱生命，某学校制作了8条安全出行警句，倡导全校1200名学生进行背诵，并在活动之后举办安全知识大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查他们安全警句的背诵情况，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束一个月后，再次抽查这部分学生安全警句背诵情况，并根据调查结果绘制成如下统计表． 数量 3条 4条 5条 6条 7条 8条 人数 10 m 15 40 25 20 请根据调查的信息，完成下列问题： （1）补全条形统计图． （2）活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为_______，表格中m的值为________． （3）估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数． （4）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校安全警句背诵系列活动的效果． 22. 如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线一动点，连AC，BD，连AE交DC于F，交BD于G． （1）若AC＝EC时，求∠DAE的大小； （2）求证：AG2＝GF•GE； （3）连DE，求的最小值． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）求二次函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； （3）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，请直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省2025年初中毕业学业检测预测卷（三）数学 一、单选题 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 据华夏时报报告，经综合研判，预计2024年全国国内旅游人数将超过60亿人次，将60亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解：亿=， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，二次根式的性质，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式性质，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 如图，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题平行线的性质，垂直的定义．根据平行线的性质得，再根据垂直定义得，即可由求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 5. 图1是由9个相同的小正方块组成的几何体，只移动其中一个小正方块，变成图2所示的几何体，以下说法正确的是（ ） A. 主视图不变，俯视图改变 B. 俯视图不变，主视图改变 C. 左视图改变，主视图不变 D. 左视图改变，俯视图不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 结合题意，根据三视图的性质，分别得到正方体变化前后的三视图，依此即可得到答案． 【详解】图1的三视图分别为： 图2的三视图分别为： ∴俯视图不变，左视图不变，主视图改变． 故选：B． 6. 一组数据：5，3，5，6，5若去掉一个数据5，则下列统计量中发生变化的是（ 　 ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是众数、中位数、极差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．依据平均数、中位数、众数、极差的定义和公式分别进行求解即可． 【详解】解：A、原来数据的众数是5，去掉一个数据5后众数仍为5，众数没有发生变化，故选项A不符合要求； B、将5，3，5，6，5从小到大排列得：3，5，5，5，6，则原来数据的中位数是5，去掉一个数据5后中位数仍为5，中位数没有发生变化，故选项B不符合要求； C、原来数据的平均数是，去掉一个数据5后平均数为，平均数发生变化，故选项C符合要求； D、原来数据的极差是：，去掉一个数据5后，极差是，极差没有发生变化，故选项D不符合要求； 故选：C. 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流与电阻是反比例函数关系，它的图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数表达式为 B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数实际应用，根据图象求出解析式，然后根据性质即可求解，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】、设函数表达式为， ∵图象经过点， ∴， 则， ∴函数表达式为，此选项说法错误，不符合题意； 、∵， ∴蓄电池的电压是，此选项说法错误，不符合题意； 、由得，当时，， 根据图象可知，当时，，此选项说法正确，符合题意； 、由得，当时，，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 8. 已知三个实数，，满足，，，则（ ） A. , B. , C. , D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可整理得到和，再结合即可得到a、b、c的关系． 【详解】①．②，①-②，得， ①x②，得，整理，得． 又∵，，，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质，解题的关键是通过，整理得到和，再结合不等式的性质得到a、b、c的取值与关系． 9. 如图，已知中，，以为直径作半圆（圆心为点O），交，于点D，E若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．连接，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，再根据相似三角形的判定和性质得出，利用弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 10. 已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值2， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或， 故选：C． 二、填空题 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红球 白球 蓝球 红球 （红球，红球） （白球，红球） （蓝球，红球） 白球 （红球，白球） （白球，白球） （蓝球，白球） 蓝球 （红球，蓝球） （白球，蓝球） （蓝球，蓝球） 由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果， 所以两次摸到球的颜色相同的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 已知，是方程的两个实数根，则________ 【答案】 【解析】 【分析】，是方程的两个实数根，可得 再把降次化为，从而可得答案. 【详解】解： ，是方程的两个实数根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握“利用一元二次方程的解把代数式进行降次”是解题的关键. 14. 如图，正方形中，点E是的中点，连接，与以为直径的半圆交于点F，连接并延长交于点P，则的值 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设正方形的边长是，可以证明，得到，因此，即可求出，得到的长，由，得到，因此，得到，即可求出． 【详解】解：连接，设正方形的边长是， ∵是半圆的直径， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；运用相似三角形确定线段间的数量关系是解题的关键． 三、解答题 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案． 【详解】解：原方程可化为． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）仅用无刻度直尺做出的中线，保留作图痕迹． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别找到点A、B、C关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据点的坐标为与点的坐标为，可知与位似比为2，分别找到的对应点，顺次连接即可； （3）利用矩形的性质得到线段的中点，连接即可； 此题考查了位似的作图、轴对称的作图、平行四边形性质的应用，熟练掌握作图方法，找到对应点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 【小问3详解】 如图所示，即为所求， 17. 当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价x（元） 20 25 30 销售量y（件） 200 150 100 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为： （2）应将销售单价定为22元 【解析】 【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将值代入函数关系式，即可求出答案． （2）由题意将利润用含的式子表示出来，求出的值，再从中选取最小值即可． 【小问1详解】 解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系， 根据题意可得：， 解得：， 故y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 整理得：， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：应将销售单价定为22元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出等量关系是解题的关键． 18. 某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 （1）当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； （2）当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； （3）若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】（1）60，5 （2），n （3）当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据一直推行进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可． 小问1详解】 解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． 【小问2详解】 解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数． 曲线围成的封闭图形有个； 【小问3详解】 解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 19. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，在运用数学知识解决问题过程中，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题，解答的关键是构造直角三角形． 过点A作于，过点作于，利用矩形的判定与性质求得，，，在Rt中，利用锐角三角函数定义求得，，进而求得，再在中，利用正切定义求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作于，过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ，， 在Rt中，，， ，， ，， 中，， ， ， 答：的长约为． 20. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作交于点E，与相切． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见详解 （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据等边对等角，得出，结合平角概念以及直角三角形两个锐角互余得出，因为等角对等边，所以，即可作答． （2）先结合直角三角形两个锐角互余得出，因为，，所以，，结合勾股定理列式计算得，，最后根据垂径定理，得出，则，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点C作，过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ 解得（负值已舍去） ∴ ∵， ∴ 在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 则， ∴， 则． 【点睛】本题考查了切线性质，等角对等边，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 为了提高学生的安全意识，珍爱生命，某学校制作了8条安全出行警句，倡导全校1200名学生进行背诵，并在活动之后举办安全知识大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查他们安全警句的背诵情况，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束一个月后，再次抽查这部分学生安全警句的背诵情况，并根据调查结果绘制成如下统计表． 数量 3条 4条 5条 6条 7条 8条 人数 10 m 15 40 25 20 请根据调查的信息，完成下列问题： （1）补全条形统计图． （2）活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为_______，表格中m的值为________． （3）估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数． （4）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校安全警句背诵系列活动的效果． 【答案】(1)画图见解析；(2)4.5，10；(3)450；(4)分析见解析，活动效果好． 【解析】 【分析】(1)根据题意可知背诵5条的学生占扇形统计图圆心角，结合条形统计图信息计算出抽查总人数，总人数减去其他已知人数就是背诵4条安全警句的人数；画出条形统计图即可． (2)根据上一小题可知抽查总人数为120人，活动启动之初第60名同学背诵4条，第61名同学背诵5条，中位数为，表格中m的值为抽查总人数减去其他条数背诵人数，计算得出答案即可． (3)用全校总人数乘活动后抽查背诵出安全警句至少7条的人数占抽查人数的比例，计算得出答案即可． (4)可以从中位数、众数角度计算、分析，从而得出结论． 【详解】解：(1)∵背诵5条安全警句的有20人，在扇形统计图中圆心角为， ∴抽查总人数为（人）， ∴背诵4条安全警句的人数为：（人）． 补全条形统计图，如图． (2)根据上一小题可知抽查总人数为120人，活动之初按背诵条数由少到多排列，第60名同学背诵4条，第61名同学背诵5条， ∴活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为； 表格中m的值为：． (3) 抽查学生背诵出安全警句至少7条的人数为：（人）， 估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数， （人）． (4)大赛活动启动之初中位数为，众数为4条； 大赛活动启动之后中位数为6条，众数为6条． 从大赛活动前后抽查的中位数、众数来看，学生安全警句的背诵情况明显提高，活动效果好． 【点睛】本题考查了画条形统计图，求中位数、众数，由样本频数估计总体频数，从条形统计图和扇形统计图中关联数据信息，根据所学知识进行数据获取、分析并计算是解题关键． 22. 如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线一动点，连AC，BD，连AE交DC于F，交BD于G． （1）若AC＝EC时，求∠DAE的大小； （2）求证：AG2＝GF•GE； （3）连DE，求的最小值． 【答案】（1）22.5°； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质∠DAC=45°，AD∥BC，再根据平行线的性质和等边对等角证得∠DAE=∠CAE即可求解； （2）根据平行线分线段成比例和比例性质即可证得结论； （3）如图，作∠ADP=∠CDE，过点A作AP⊥DP于P，根据相似三角形的判定与性质证明△PDA∽△CDE，△PDC∽△ADE，证得，取AD的中点O，连接PO、CO，则PO=AD，设PO=x，则AD=DC=2x，CO=x，根据两点之间线段最短求得PC的最大值即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC=45°，AD∥BC，CD∥AB，AD=CD，∠ADC=∠DCB=∠DCE=90°， ∴∠DAE=∠E， ∵AC=EC， ∴∠CAE=∠E， ∴∠DAE=∠CAE， ∴∠DAE=∠DAC=22.5°； 【小问2详解】 证明：∵AD∥BC，CD∥AB， ∴，， ∴， ∴AG2＝GF·GE； 【小问3详解】 解：如图，作∠ADP=∠CDE，过点A作AP⊥DP于P， ∴∠APD=∠DCE=90°，又∠ADP=∠CDE， ∴△PDA∽△CDE， ∴，即， ∵∠ADP+∠ADC=∠CDE+∠ADC， ∴∠PDC=∠ADE， ∴△PDC∽△ADE， ∴，即， 取AD的中点O，连接PO、CO，则PO=DO=AD， 设PO=x，则AD=DC=2x， ∴CO= =x， ∵PC≤PO+CO=(1+)x， ∴PC的最大值为(1+)x， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、直角三角形的斜边的中线性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当辅助线构造相似三角形求解是解答的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）求二次函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； （3）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，请直接写出m的值． 【答案】（1），， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）联立方程组或即可求解； （2）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，设这个完美点是二次函数与的交点；第二种情况，设这个完美点是二次函数与直线的交点；联立方程组即可求解． 【小问1详解】 解：完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点，即完美点在直线或直线上， 联立得：， 解得，； 或联立得：， 解得，， 二次函数图象的完美点分别是：，，，； 【小问2详解】 解：二次函数的图象上有且只有一个完美点， 在直线上， ， 有且只有一个完美点， ， 把点代入，得， 解得：，， ； 【小问3详解】 解：二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，即完美点在直线或直线上， ①当时，， 整理得：有实数根， ， ， ， ， 当时，，如图1， 将代入， 解得， 当时，，如图2， 将代入， 解得，， ， 或； ②当时，如图3，， 整理得有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得， 当时，， 将代入， 解得，，， ， ， 综上所述，或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$