重庆市南开中学校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

重庆南开中学高2027届高一（下）期中考试数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I卷和第II卷都答在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知复数满足，则的最大值为（ ） A B. C. D. 4 7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10 已知函数，则（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 11. 重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（ ） A B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）． 12. 已知，，且，则_____． 13. 如图，已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则_____． 14. 在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为_____． 四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）． 15. 已知是方程的一个根． （1）求的值； （2）设，若为纯虚数，且，求复数． 16. 已知向量，，，，且向量与共线． （1）求； （2）若，求实数的值． 17. 如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近三等分点，为线段上靠近的三等分点． （1）求证：平面平面； （2）求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比． 18. 如图，在四边形中有，，，对角线、相交于点． （1）若，求； （2）若， ①求的取值范围； ②若为的外心，且，当①中的取最大值时，求实数的值． 19. 在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，且，，求； （3）若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围． 重庆南开中学高2027届高一（下）期中考试数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I卷和第II卷都答在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1 四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）． 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）① ；②. 【19题答案】 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $