第5章 分式（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第5章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式与分式方程的新定义运算 【解惑】设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 2．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 3．对于实数，，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 类型二、分式方程的解为参数 【解惑】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【融会贯通】 1．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．若关于x的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 3．若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ． 类型三、分式方程的解为整数 【解惑】关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【融会贯通】 1．已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 3．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 类型四、分式方程的解为无解 【解惑】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 【融会贯通】 1．若分式方程无解，则a的值为（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 3．当 时，解关于的方程会产生增根． 类型五、分式方程的应用——利润问题 【解惑】2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元？ 【融会贯通】 1．孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． (1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ (2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． 2．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒挂件的个数恰好与用360元购进敖丙挂件的个数相同．求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元． 3．某商场用3000元购进一批商品，售完后，第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件． (1)求该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格； (2)若该商场两次购进的商品售价均为70元，且全部售完，求两次售出这种商品的总利润． 类型六、分式中的倒数法 【解惑】【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【融会贯通】 1．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 2．阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 3．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则_________． (2)解分式方程组： (3)已知，，，求的值． 类型七、分数的裂项 【解惑】；；；… (1)根据上面个等式存在的规律写出第个等式； (2)用含的代数式表示出第个等式，并证明． 【融会贯通】 1．读读做做： 教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律． ，，… (1)用正整数n表示这个规律，并加以证明； (2)问题解决 一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由． 2．观察下面的变形规律：，解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想 ． (2)计算： ． (3)解关于n的分式方程． 3．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题： ，，， (1)计算______； (2)探究______；（用含有的式子表示） (3)灵活利用规律解方程：． 类型八、分式与分式方程的规律 【解惑】观察下列各个式子： ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)________________； (2)________________（用含的式子填空），并证明该等式． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ①； ②； ③； ④． 按上述规律，回答以下问题： (1)用含n（n为正整数）的代数式表示第个等式：______； (2)______． 2．下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 3．先阅读下面的材料，然后回答问题： 阅读材料一： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … 阅读材料二： 在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式． 如：； 再如：． (1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________； (2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________； (3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：． 类型九、分式与分式方程的新定义应用 【解惑】在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【融会贯通】 1．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． (1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______________（填序号）． ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)应用：先化简，并回答取什么整数时，该式的值为整数? 3．【阅读材料】 材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再将剩余的部分写成一个真分数．例如：． 材料2：类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：； 材料3：为了研究字母和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 －1 无意义 1 【学以致用】请根据上述材料完成下列问题： (1)将下面的分式写成一个整式与一个真分式的和的形式： ______；______； (2)当时，随着的增大，分式的值______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由； (4)请你将写成一个整式与一个真分式的和的形式． 类型十、分式的加减应用 【解惑】我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为，所以． (1)如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示 _____，_____； ②比较_____（填“＞”、“＜”或“＝”）． (2)已知两个等腰直角三角形（和）边长分别为和如图4放置在一起，连结．如果点是线段的中点，连结、．请比较与的面积大小． (3)甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作．甲队有一半时间每天维修公路千米，另一半时间每天维修公路千米，乙队维修前1千米公路时，每天维修千米；维修后1千米公路时，每天维修千米．问甲、乙两队哪队先完成任务？ 【融会贯通】 1．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式，的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？ 我们不妨设原有糖水克，其中含糖克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢？ 2．【知识背景】（1）比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”． 例如：比较代数式，的大小，若，则；若，则； 若，则． 【知识探究】（2）已知，，当时，比较与的大小， 并说明理由． 【迁移运用】（3）司机甲每次给自己私家车加300元的油（油箱未加满），而司机乙每次都把私家车油箱直接加满．现实生活中油价经常变动，假设两人第一次加油时的油价为元/升，第二次加油时的油价为元/升，其中． ①司机甲两次加油的平均单价为______元/升，司机乙两次加油的平均单价为______元/升；（用含，的代数式表示，结果需化简） ②请通过计算判断，司机甲和司机乙的两种不同的加油方式中，谁的平均单价更低？ 3．综合与探究 【阅读理解】：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若．则． 例如：当时，比较和的大小． 我们采用作差法： ， 【类比运用】（1）当时，请用作差法比较和的大小； 【知识运用】（2）①当时，请用作差法比较和的大小； ②请用①的结论比较大小：______（用“>、=、<”填空）； 【综合运用】（3）边长为a和b（其中）的两个正方形按如图的样子摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，请判断与的大小关系，并说明理由． 【一览众山小】 1．某养殖户饲养猪和羊，其中养猪45头，养羊的数量与饲养总数的比是．设养羊x只，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 2．甲，乙两人分别从、两地同时出发，若相向而行，则相遇；若同向而行，则甲追上乙．甲，乙两人的速度之比为（   ）． A． B． C． D． 3．已知 ，，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．若对任意的，，都有，则 ． 5．若，则代数式的值为 ． 6．若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 7．先化简，再从，0，2三个数中选一个合适的数作为m的值代入求值． 8．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解． (2)计算： ． (3)已知，求的值． 9．若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 10．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式与分式方程的新定义运算 【解惑】设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了分式的化简，各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】解：①根据新定义得，，， ∵， ∴， 即， 故①不成立； ②，， ∵， ∴， 故②不成立； ③，， ∴， 故③成立； ④，， ∵， ∴． 综上，成立的有③． 故选：A． 【融会贯通】 1．定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】B 【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 2．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，涉及到分式有意义的条件的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据新定义，对原分式进行化简整理得到为整数，则可得到，解得或，结合分式分式有意义条件，可得到． 【详解】解： • ， ∵分式的值为整数， ∴2的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∴或， ∵当时，分式无意义， ∴． 故答案为：． 3．对于实数，，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的新定义运算和解分式方程．根据新定义得到，解方程并检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 类型二、分式方程的解为参数 【解惑】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，由分式方程解的情况求参数，先解分式方程，得，由分式方程的解为正数，得，即得，再根据分式的分母不等于，得，即得，据此即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 【融会贯通】 1．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是非负数得，由，得，计算可得答案．此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， 即， 得， ∵， ∴，得， ∴且， 故选：C． 2．若关于x的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，根据“原分式方程的解”和“解是正数”建立关于的不等式是解题的关键．先解关于的分式方程，它的解用含量的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∵原分式方程有解， ∴，即， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：， ∴且， 故答案为：且． 3．若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．解分式方程得到，结合已知可得，同时注意，分式方程中，，所以，则可求的取值范围． 【详解】解：分式方程两边同时乘以，得 ， 整理，得， 解得， 方程有正数解， ， ， 解得， ，， ， ∴且， 的取值范围是且， 故答案为：且． 类型三、分式方程的解为整数 【解惑】关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵方程有整数解，且， ∴整数，，， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 2．若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数， ∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个． 故答案为：3． 3．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先解关于的方程，表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或 当时，． 当时，，原方程分母为0，原方程无解． ∴． 故答案为：． 类型四、分式方程的解为无解 【解惑】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 【融会贯通】 1．若分式方程无解，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 关于x的分式方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即，据此即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 分式方程无解， ， ， ， 解得： 故选：A 2．若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，建立关于a的方程，求解即可． 【详解】解：方程去分母得，， ． 如果原分式方程无解，那么分两种情况： ①当时，方程无解，所以分式方程无解； ②，解方程，得， 当分母即时原分式方程无解． 由，得． 经检验，符合题意， 故当或时，分式方程无解． 故答案为：0或． 3．当 时，解关于的方程会产生增根． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的计算方法是解题的关键；增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解 ：去分母得： 解得：； 因为关于的方程会产生增根，则增根为， 故， 解得：； 故答案为： 类型五、分式方程的应用——利润问题 【解惑】2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元？ 【答案】钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”列方程求解即可． 【详解】解：设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， ∴（元）， 答：前期电话询问时，钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元． 【融会贯通】 1．孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． (1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ (2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． 【答案】(1)康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元 (2)m的值为5 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程或方程组． （1）设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，根据“购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程组，即可解得答案； （2）根据“节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍”可列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元， 由题意，得：， 解得：， 答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元． （2）解：依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 答：m的值为5． 2．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒挂件的个数恰好与用360元购进敖丙挂件的个数相同．求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元． 【答案】该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，数丙挂件的单价是9元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元，根据用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同，列出分式方程，解方程即可 【详解】解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进数丙挂件的单价是元， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，数丙挂件的单价是9元． 3．某商场用3000元购进一批商品，售完后，第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件． (1)求该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格； (2)若该商场两次购进的商品售价均为70元，且全部售完，求两次售出这种商品的总利润． 【答案】(1)该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为元 (2)两次售出这种商品的总利润为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）设第一次购进这种商品时每件商品的价格为元，根据第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于总售价减去总成本，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设第一次购进这种商品时每件商品的价格为元，由题意，得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴； 答：该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为元； （2）由（1）可知，第一次购进商品件，第二次购进商品件， ∴（元）； 答：两次售出这种商品的总利润为元． 类型六、分式中的倒数法 【解惑】【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】（1）B；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 【融会贯通】 1．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； （3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，可知， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 2．阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． （1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （3）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （3）解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴． 3．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则_________． (2)解分式方程组： (3)已知，，，求的值． 【答案】(1)3； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，解分式方程，倒数，理解例题的思路是解答本题的关键． （1）已知等式变形求出的值即可； （2）由 ，解此方程组即可得解； （3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由，得到， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）解：由 得 ∴， 得， ∴， 把代入得， ∴， 经检验，，是原方程的解， ∴原方程组的解为； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ． 类型七、分数的裂项 【解惑】；；；… (1)根据上面个等式存在的规律写出第个等式； (2)用含的代数式表示出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据前个等式特点写出第个等式； （）根据第（）结论归纳出第个等式的规律； 此题考查了数字的变化规律，分式的运算，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； ； ∴第个等式； （2）解：； ； ； ； 第个等式； 证明：左边 右边． 【融会贯通】 1．读读做做： 教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律． ，，… (1)用正整数n表示这个规律，并加以证明； (2)问题解决 一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不能倒完，理由见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律、分式混合运算的应用，熟练掌握裂项相消是解答本题的关键． （1）根据发现的规律写出一般规律并验证即可； （2）根据题意，先求出倒出水总量的代数式，进行化简得到，说明不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1． 【详解】（1）解：规律：， 证明：右侧左侧， ， 等式成立． （2）解：不能倒完，理由： 根据题意，得到次水倒出的总和为： 不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1， 这1升水倒不完， 2．观察下面的变形规律：，解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想 ． (2)计算： ． (3)解关于n的分式方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律类问题，探寻数列规律认真计算观察联想是解决这类问题的关键． （1）根据已知的算式拆项计算得出即可； （2）先根据得出的规律拆项展开，再合并，最后求出即可； （3）先根据得出的规律拆项展开，再合并，最后解方程即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）原式， 故答案为：； （3） 经检验是原方程的解． ∴． 3．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题： ，，， (1)计算______； (2)探究______；（用含有的式子表示） (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程： （1）根据题意得到原式，据此求解即可； （2）根据题意可得规律，据此裂项求解即可； （3）根据（2）的规律可得原方程为，据此解分式方程即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 以此类推，可得， ∴ ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 类型八、分式与分式方程的规律 【解惑】观察下列各个式子： ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)________________； (2)________________（用含的式子填空），并证明该等式． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 【分析】（）根据已知等式写出式子即可； （）根据分式的运算法则对等式的右边进行化简即可求证； 本题考查了数字规律变化问题，分式的运算，由已知等式找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由已知等式可得，， 故答案为：，； （2）解：． 证明：∵ ， ∴， 故答案为：，． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ①； ②； ③； ④． 按上述规律，回答以下问题： (1)用含n（n为正整数）的代数式表示第个等式：______； (2)______． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，正确找出数字的变化规律是解题的关键． （1）根据数字的变化规律得到； （2）根据数字的变化规律得到． 【详解】（1）解：根据式子的变化规律得， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：． 2．下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：方程变形得：， ∴， 可得或， 解得：，． 3．先阅读下面的材料，然后回答问题： 阅读材料一： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … 阅读材料二： 在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式． 如：； 再如：． (1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________； (2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________； (3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了分式方程求解，读懂材料并且灵活运用是解题关键． （1）根据材料一的规律直接得出答案即可； （2）根据材料一的规律可得，结合已知，即可得出结果； （3）根据材料一的规律可得，进一步求出结果即可． 【详解】（1）解：根据上面材料一的规律，可知 x的方程的解是，， 故答案为：，； （2）根据材料二： ， ，即， ，， ， 故答案为：，； （3）， ，即， ，， 解得：． 类型九、分式与分式方程的新定义应用 【解惑】在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 【融会贯通】 1．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． (1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】本题主要考查新定义运算，分式的混合运算法则，理解“和谐分式”的定义，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （2）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （3）先根据分式的混合运算法则先化简得，再根据该式的值为整数，得到或，最后根据分式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”； ②，不属于“和谐分式”； ③，属于“和谐分式”； ④，属于“和谐分式”； ∴属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ． （3）解： ． ∵该式的值为整数， ∴或， 解得或或1或． 又∵， ∴， ∴． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______________（填序号）． ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)应用：先化简，并回答取什么整数时，该式的值为整数? 【答案】(1)①③④ (2) (3)时，该式的值为整数． 【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答； （2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答； （3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ． （3）解： ， 当或时，分式的值为整数， ，0，或， 分式有意义时，，，，， ， 时，该式的值为整数． 3．【阅读材料】 材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再将剩余的部分写成一个真分数．例如：． 材料2：类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：； 材料3：为了研究字母和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 －1 无意义 1 【学以致用】请根据上述材料完成下列问题： (1)将下面的分式写成一个整式与一个真分式的和的形式： ______；______； (2)当时，随着的增大，分式的值______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由； (4)请你将写成一个整式与一个真分式的和的形式． 【答案】(1)， (2)减小 (3)3，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了分式的化简以及有关运算，解题关键是理解已知条件中的真假分式的定义． （1）把所求分式分别写成分子和分母相同的分式与另一个分式的形式，再把分子和分母相同的分式写成整式即可； （2）根据（1）中的结果，先判断分式的增减性，从而判断真分式的增减性即可； （3）把分式 写成整式与真分式和的形式，然后根据所写分式的增减性，从而进行判断即可； （4）分式分子的前两项当作分子，把分式写成分母是的两个分式相加，把第一个分式约分，第二个分式写成整式与真分式和的形式，再进行化简即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2），是随的增大而减小， 是随的增大而减小， 故答案为：减小； （3）分式 的值无限趋近3，理由如下： ， 随着的增大， 越来越小，无限趋近于0， 随着的增大，分式 的值无限趋近3； （4）， ． 类型十、分式的加减应用 【解惑】我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为，所以． (1)如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示 _____，_____； ②比较_____（填“＞”、“＜”或“＝”）． (2)已知两个等腰直角三角形（和）边长分别为和如图4放置在一起，连结．如果点是线段的中点，连结、．请比较与的面积大小． (3)甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作．甲队有一半时间每天维修公路千米，另一半时间每天维修公路千米，乙队维修前1千米公路时，每天维修千米；维修后1千米公路时，每天维修千米．问甲、乙两队哪队先完成任务？ 【答案】(1)①；②＜ (2) (3)甲队 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键． （1）①根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值； ②然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可； （2）根据和表示三角形的面积，然后运用比差法解题即可； （3）表示出甲、乙队完成任务的时间，然后运用比差法解题即可． 【详解】（1）解：①，， ②， ∴； 故答案为：，；； （2）解：， ， ， ， ， ， （3）解：甲队完成任务需要的时间， 乙队完成任务需要的时间， ， ，，， ，， ， ， ， 甲队先完成任务． 【融会贯通】 1．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式，的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？ 我们不妨设原有糖水克，其中含糖克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢？ 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，，可得，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）； ∵， ∴ ∴， ∴； （2）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又∵，， ，， ∴， ∴ ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 2．【知识背景】（1）比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”． 例如：比较代数式，的大小，若，则；若，则； 若，则． 【知识探究】（2）已知，，当时，比较与的大小， 并说明理由． 【迁移运用】（3）司机甲每次给自己私家车加300元的油（油箱未加满），而司机乙每次都把私家车油箱直接加满．现实生活中油价经常变动，假设两人第一次加油时的油价为元/升，第二次加油时的油价为元/升，其中． ①司机甲两次加油的平均单价为______元/升，司机乙两次加油的平均单价为______元/升；（用含，的代数式表示，结果需化简） ②请通过计算判断，司机甲和司机乙的两种不同的加油方式中，谁的平均单价更低？ 【答案】（2），理由见解析；（3）①， ；②司机甲两次加油的平均单价更低 【分析】本题考查了列代数式，分式的减法，能根据题意用含，的代数式分别表示出两个司机加油的平均单价及理解“作差法”是解题的关键． （2）根据题中所给“作差法”进行计算即可． （3）①根据加油量费用油的单价，平均单价两次加油花的钱两次加油的总量，列代数式即可； ②根据题中所给“作差法”进行计算即可． 【详解】解：（2），理由如下： ，          ，即 （3）①司机甲两次加油的平均单价为：元/升 设司机乙油箱加满能加升 司机乙两次加油的平均单价为元/升 ② ， 又     即   司机甲两次加油的平均单价更低 3．综合与探究 【阅读理解】：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若．则． 例如：当时，比较和的大小． 我们采用作差法： ， 【类比运用】（1）当时，请用作差法比较和的大小； 【知识运用】（2）①当时，请用作差法比较和的大小； ②请用①的结论比较大小：______（用“>、=、<”填空）； 【综合运用】（3）边长为a和b（其中）的两个正方形按如图的样子摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3），理由见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算，整式的加减计算，乘法公式，因式分解，正确利用作差法比较大小是解题的关键． （1）利用整式加减计算化简，再判断差值正负即可； （2）①利用异分母分式减法法则进行计算，再判断差值正负即可；②利用①结论即可判断； （3）先表示，由完全平方公式表示，然后作，差因式分解可得，再根据平方非负性即可判断正负． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：① ， ； ②， ∴， 故答案为：； （3），理由如下： 由题意得， ． 【一览众山小】 1．某养殖户饲养猪和羊，其中养猪45头，养羊的数量与饲养总数的比是．设养羊x只，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程，设养羊x只，依题意列出方程即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设养羊x只，依题意可得： ， 故选：C． 2．甲，乙两人分别从、两地同时出发，若相向而行，则相遇；若同向而行，则甲追上乙．甲，乙两人的速度之比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相遇问题和追击问题，涉及分式的混合运算，正确理解题意，建立方程组是解题的关键．设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，根据题意，得，解方程组解得即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S， 根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 3．已知 ，，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，分式的化简，完全平方公式，根据题意得，则，再代入选项中计算，化简即可求解．利用等式的基本性质得，再代入求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴，故B正确； ， ∵， ∴，故C正确； ∵，则， ∴，故D正确； ∵，则 ∴当，时，，此时，故A错误； 故选：A． 4．若对任意的，，都有，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，先由，则有，然后解出方程组即可，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 5．若，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简和代数式求值，熟练掌握分式化简方法和整体法求代数式值是解题的关键． 先化简分式得，再将变形，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：3 6．若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m 的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3 7．先化简，再从，0，2三个数中选一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简,再选择一个使分式有意义的m的值代入求值即可．本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵当或0时，原式无意义， ∴． 故原式． 8．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解． (2)计算： ． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． （1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将看成一个整体，令， 则原式． （2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． （3）解：∵， ∴ ． 9．若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出、、关于的表达式，再将代入的表达式，得出的值． （2）先求得，，的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到；最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为 ，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出的值． 【详解】（1）已知，， 将代入可得，， 把代入得． ∵， ∴， 解得． （2）， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 将代入得 ． 故答案为：，，； （3）由（2）知， ， ． ． ∵为整数， ∴能整除，即或． ∴或或或 ∵， ∴． 10．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)，理由见详解；证明见详解 (3) 【分析】本题考查了整式的加减、分式的运算和分式方程，读懂题意是解题关键． （1）根据“臻美数对”的定义即可求解； （2）结合“臻美数对”的定义及整式的加减即可求解； （3）由（2）的结合分式的加减即可求解． 【详解】（1）解：将与各自的十位数字和个位数字交换位置可得：， ， 与是“臻美数对； （2），理由如下： 由题意得： ， 移项合并同类项可得： ， 左右两边同时除以9可得： ； 两“臻美数对”的和为： 两“臻美数对”的和是的倍数； （3）这两个数为“臻美数对”， 即 解得：， ，； ，， 这两个数分别为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$