精品解析：2025年新疆乌鲁木齐九年级数学4月份测评卷

2025年九年级4月学业测评 数学试卷（问卷） 注意： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷由问卷和答卷两部分组成，其中问卷共4页，答卷共4页，要求在答卷上答题，在问卷上答题无效； 3．答题时不能使用科学计算器． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 如图是由 5个形状大小完全相同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A. 16小时、15小时 B. 8小时、8.5小时 C. 10小时、8.5小时 D. 8小时、9小时 5. 如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 6. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 7. 在人体血液中，红细胞直径约为，数据用科学记数法表示为__________. 8. 某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为_________．（结果精确到0.01） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 9. 如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是______． 10. 如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11. 如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形． 12. 小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座的高为，，支架长为，面板长为，为（厚度忽略不计）． （1）求支点离桌面的高度． （2）当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足，当面板与桌面的夹角增大时，点离桌面的高度也随之增大，问当面板绕点转动过程中，点离桌面最大高度与最小高度的差是多少？（计算结果保留根号） 13. 在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连． （1）如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______； （2）如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H． 求证：； （3）在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级4月学业测评 数学试卷（问卷） 注意： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷由问卷和答卷两部分组成，其中问卷共4页，答卷共4页，要求在答卷上答题，在问卷上答题无效； 3．答题时不能使用科学计算器． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 如图是由 5个形状大小完全相同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行判断即可． 【详解】解：根据立体图可知该俯视图是： ． 故选：C． 2. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，求一个角的余角，根据平行线的性质得出，再根据余角的定义求解即可． 【详解】解：如下图： ∵直尺的两边平行， ∴， ∴， 故选：A 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 4. 小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A. 16小时、15小时 B. 8小时、8.5小时 C. 10小时、8.5小时 D. 8小时、9小时 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数的知识，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．众数是一组数据中出现次数最多的数；将一组数据从小到大排列，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数即可． 【详解】解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8； 将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9， 所以，这组数据的中位数是． 故选：D． 5. 如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及根与系数的关系，解直角三角形，解答此题的关键根据题意作出辅助线，根据锐角三角函数的定义沟通各线段之间的关系． 设直线与轴交于点，作轴于，轴于．先求出直线与轴和轴的两交点与的坐标，根据与的长度求出比值即可得到角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出角的度数，联立直线与双曲线方程，消去后得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出与的积，然后在直角三角形中利用表示出与的关系，同理在直角三角形中，利用表示出与的关系，根据列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：设直线与轴交于点，作轴于，轴于． ， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点坐标为， ，． 在中，， ． 直线与双曲线在第一象限交于点、两点， ， 整理得，， 由韦达定理得：，即， ， ， 同理可得：， ， 解得：． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 6. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 7. 在人体血液中，红细胞直径约为，数据用科学记数法表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n正整数，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为_________．（结果精确到0.01） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 【答案】0.41 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.41，所以该市初中生近视的概率为0.41； 故答案为0.41． 9. 如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．记长方形的长为，宽为，根据题意，可得，，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：记长方形的长为，宽为， 由题知，，，即， ， 即， ，解得， 长方形的面积是． 故答案为：． 10. 如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点，先求出，然后证明△，，可求出，，最后由勾股定理即可求出． 【详解】解：连接交于点，如图， 在中，，，， 由勾股定理，得， 点是边的中点， ， ，， 将沿着折叠，使点落在边的中点处， ，， ，， 又，， ，， ，， 即，， 解得，， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11. 如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先根据角平分线性质与平行线性质证明∠CDF=∠ABE，再根据平行四边形性质证出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定△ABE≌△CDF； （2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可． 【详解】（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E， ∴∠ABE=∠ABD， ∵∠CDB的平分线DF交BC于点F， ∴∠CDF=∠CDB， ∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， ∴∠CDF=∠ABE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，∠A=∠C， 即， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴DE∥BF，DE=BF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵AB=DB，BE平分∠ABD， ∴BE⊥AD，即∠DEB=90°． ∴平行四边形DFBE是矩形． 考点：1.平行四边形的性质和判定，2.矩形的判定，3.全等三角形的性质和判定 12. 小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座的高为，，支架长为，面板长为，为（厚度忽略不计）． （1）求支点离桌面的高度． （2）当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足，当面板与桌面的夹角增大时，点离桌面的高度也随之增大，问当面板绕点转动过程中，点离桌面最大高度与最小高度的差是多少？（计算结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形是矩形，可得，从而得到，再利用锐角三角函数，解答即可求解； （2）过点CC作，过E作于点H，则，分别求出所成的角为和时，的值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点F，过点B作于点M， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即支点C离桌面l的高度为；； 【小问2详解】 解：如图，过点C作，过E作于点H， 则， ∵， ∴， 当时， ； 当时，； ∴当面板绕点C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是． 13. 在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连． （1）如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______； （2）如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H． 求证：； （3）在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3） ，理由如下： 如图，连接，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，推出，，得到，，据此即可得到答案； （2）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，推出，据此即可证明； （3）连接，，推出，，证明得到，得到，利用勾股定理求得，，得到，从而证明，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设与相交于点， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $