精品解析：2025年广东省江门市蓬江区杜阮镇杜阮中心初级中学中考第一次模拟考试数学试题

2025年中考数学科练习试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果收入100元记作元，则元表示（ ） A. 支出70元 B. 收入70元 C. 支出80元 D. 收入80元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据收入为正，则支出为负，进行判断即可． 【详解】解：由题意，元表示支出80元； 故选C． 2. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 圆 【答案】C 【解析】 【详解】正方形、等腰三角形、圆一定是轴对称图形，等腰直角三角形是轴对称图形，直角三角形不一定是直角三角形 故选C 3. 中国载人航天工程办公室透露，神舟飞船是由专门为其研制的“长征二号”火箭发射升空，火箭的起飞质量为497000千克，数据497000．用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 左视图与俯视图相同 C. 主视图与左视图相同 D. 都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，解题的关键是熟记三视图的概念：俯视图（从上面观察物体所得到的视图）、主视图（从正面观察物体所得到的视图）和左视图（从左面观察物体所得到的视图）． 【详解】解：该几何体的主视图：底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形； 左视图：底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形； 俯视图：底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；； 所以主视图与俯视图相同， 故选A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意； 故选D． 6. 不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次移项、合并同类项、系数化为1即可得． 【详解】解：3x﹣1＞5， 3x＞5+1， 3x＞6， x＞2， 故选A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 7. 如图，，，三点在上，，则为（ ） A. 30° B. 40° C. 20° D. 10° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是关键；由得的度数，再由圆周角定理即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 8. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 9. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成为长为，宽为的矩形， 由题意得，， 故选：． 10. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案． 【详解】解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； ∴正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件：分母不等于0． 【详解】由题意，，解得 故答案为： 【点睛】本题考查分式的有意义的条件，需理解分式有意义的前提是分母不等于0． 12. 因式分解________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 已知扇形的半径是3、圆心角，则这个扇形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形的面积公式，根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的半径是3、圆心角， ∴扇形的面积． 故答案为：． 14. 若一元二次方程有两个实数根，，则的值是 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得． 【详解】解：∵有两个实数根，， ∴，， ∴ ． 故答案为：8． 15. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，在下方作，过点P作于E，则由含30度角的直角三角形的性质得到，故当当三点共线，且时最小，即此时最小，由矩形的性质得到，，则可证明是等边三角形，则，，，再求出，得到，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，在下方作，过点P作于E， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时最小，即此时最小， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定当三点共线，且时，最小是解题的关键． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】把两个方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1个方程求解y即可． 【详解】解： ①+②，得． ∴． 把代入①，得． ∴这个方程组的解是． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练的利用加减消元法解方程组是解本题的关键． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键． 18. 如图，已知锐角三角形，． （1）尺规作图： ①作的垂直平分线l； ②作的平分线，且交于点M． （2）若l与交于点P，，求的度数． 【答案】 （1）①如图直线l为所求作的图形；②射线为所求作图形． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据尺规作图作BC的垂直平分线l即可；②根据尺规作图作∠B的平分线BM即可； （2）根据垂直平分线和角平分线的性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵BC的垂直平分线为l， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB＝32°， ∵BM平分∠ABC， ∠ABP＝∠CBP＝32°， ∵∠A＝60°， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法和线段垂直平分线、角平分线的性质． 三、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 【答案】（1）100； （2）估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人 （3）刚好抽中两名同学为一男一女的概率为 【解析】 【分析】本题主题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可； （2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案； （3）根据题意列表，结合表格即可获得答案． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生共有（人）； 研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为． 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人． 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2女1 男2女2 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种， 刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）． 答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为． 20. 某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． （1）第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】（1） （2）①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【解析】 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【小问1详解】 解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． 【小问2详解】 解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 21. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）秋千绳索的长度为尺 （2）能， 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解； （2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，，，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． 【小问2详解】 能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． 三、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． （1）如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”． （2）中，，点是边上的“中项点”，求线段的长． （3）如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． ①求证：； ②若，的半径为，且，求的值． 【答案】（1） 取格点，连接交于，如图： （2） （3）①证明：由圆周角定理得，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是中边上的“中项点”， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（）如图，取格点，连接交于，点即为所求； （）过作于，由可得，，设，则，，可得，即得，得到，，，设，则，，由可得，进而即可求解； （）①证明可得，再根据点是中边上的“中项点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证；②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解． 【小问1详解】 解：取格点，连接交于，如图： 则点即为边上的一个“中项点” ，理由如下： 由图可知，， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， 即， ∴为边上的一个“中项点”； 【小问2详解】 解：过作于，如图： ∵， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， 设，则，， ∵， ∴， 解得(负值已舍去)， ∴， ∴线段的长为； 【小问3详解】 ①略 ②解：连接，如图： 由①知，， ∵， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵，设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理的推论，正切的定义，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据顶点为．设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点C为的中点，得到，当时，，得到．结合，垂足为H，得到的长． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，设，结合点F落在抛物线上，得到，解得即可； ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的顶点坐标为． 设抛物线， 把代入解析式，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 ∵顶点为．点C为的中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． 【小问3详解】 ①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)； 故． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，， 则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考数学科练习试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果收入100元记作元，则元表示（ ） A. 支出70元 B. 收入70元 C. 支出80元 D. 收入80元 2. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 圆 3. 中国载人航天工程办公室透露，神舟飞船是由专门为其研制的“长征二号”火箭发射升空，火箭的起飞质量为497000千克，数据497000．用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 左视图与俯视图相同 C. 主视图与左视图相同 D. 都不相同 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，，，三点在上，，则为（ ） A. 30° B. 40° C. 20° D. 10° 8. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 9. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则的取值范围为___________． 12. 因式分解________． 13. 已知扇形的半径是3、圆心角，则这个扇形的面积是___________． 14. 若一元二次方程有两个实数根，，则的值是 _____． 15. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为_____． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程组： 17. 计算：． 18. 如图，已知锐角三角形，． （1）尺规作图： ①作的垂直平分线l； ②作的平分线，且交于点M． （2）若l与交于点P，，求的度数． 三、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 20. 某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． （1）第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 21. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 三、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． （1）如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”． （2）中，，点是边上的“中项点”，求线段的长． （3）如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． ①求证：； ②若，的半径为，且，求的值． 23. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $