精品解析：2025年安徽省亳州市蒙城县中考二模数学试题

2025年初中毕业学业考试模拟试卷 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 7. 如图，矩形 的两条对角线相交于点，，，则的周长是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 18 8. 某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论错误的是（ ） A. 无论取何值，总是负数 B. 抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C. 当时，随着的增大，的值先增大后减小 D. 若依次连接、、、，则四边形为正方形 10. 如图，在中， ，，点为斜边 上的中点，点，分别在直角边 ，上运动（不与端点重合），且保持，连接 ， ， ．设 ，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论： ①；②；③最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 13. 如图，函数的图像经过矩形的边 的中点，交 于点，则四边形的面积为 ______ ． 14. 如图，矩形 ，，，点H为 上一点，将 沿着翻折至，与交于点E，连接交于点F， ．则_______；的长为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中 ． 16. 列方程(组)解应用题： 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱，问有多少人？该物品价值多少元？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为 ． （1）画出将先向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到的； （2）画出将绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 18. 如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， （1）则第5个图案中有______个六边形； （2）用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； （3）若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量教学楼高度 图示 测得数据 ，，． 参考数据 ，，，，，． 请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）． 20. 如图，已知点E在直角的斜边 上，以为直径的与直角边 相切于点D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 近期，动画电影《哪吒2》的热映激发了同学们对中国古代神话传说的兴趣．某中学为了丰富学生们的知识，组织全校学生进行中国古代神话传说知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表： 分数 60 70 80 90 100 频数 2 7 15 16 10 （1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是______； （2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数； （3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，点、分别为 、 上一点，连接、交于点，若，且 ． （1）当 时，求的长； （2）当，时，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的右侧），与轴相交于点，且，点是抛物线的顶点． （1）求二次函数的关系式； （2）点为线段 上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业学业考试模拟试卷 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解： 的绝对值是 故选： A． 2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据科学记数法表示即可． 【详解】， 故选C 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．由俯视图判断出组合的正方体的几何体的列数即可． 【详解】解：根据给出的俯视图，这个立体图形的左上边有2个叠放在一起的正方体，右边一列上有各有1个正方体． 故选：D 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算以及二次根式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的运算法则，幂的乘方，合并同类项法则以及二次根式的性质． 分别对每个选项根据相应的运算法则进行计算，判断其正确性． 【详解】A、与不是同类项，根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项），不能直接合并，所以不能化简为，该选项错误； B、，该选项正确； C、与不是同类项，不能直接合并，所以不能化简为，该选项错误； D、，而不是 ，该选项错误． 故选：B． 5. 如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得，在中，由勾股定理可得，由圆的半径均相等，结合代值求解即可得到答案． 【详解】解： 是的半径，交于点，， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， 故B错误，不符合题意；C正确，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 当时，，故D错误，不符合题意， 故选：C． 7. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的周长是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的相关性质是解题的关键． 由矩形得到，然后由勾股定理求出，即可求解的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长为：， 故选：D． 8. 某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法求出概率，根据题意，用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列表如下： A B C A A，B A，C B B，A B，C C C，A C，B 共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人的结果有2种， ∴； 故选A． 9. 如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点 ，．则以下结论错误的是（ ） A. 无论取何值，总是负数 B. 抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C. 当时，随着的增大，的值先增大后减小 D. 若依次连接 、、、，则四边形为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的相反数或者直接由图像即可判断A；②先求抛物线 的解析式，再根据抛物线 的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断B；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断C；分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行即可判断D． 【详解】解：记抛物线与分别为抛物线 和抛物线 ， A、， ， ， 无论取何值，总是负数， 故A正确，不符合题意； B、∵抛物线与交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线 的顶点，抛物线 的顶点为， ∵将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， ∴将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线 ， 故B正确，不符合题意； C、 ， 将代入抛物线， 解得 ， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线 的图像在抛物线 图像的上方， ， 当，随着的增大，的值减小， 故C不正确，符合题意； D、设与轴交于点， ， ， 由C可知 ，， ， ， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ∵，， ， ， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， 故D正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 10. 如图，在 中， ，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边 ，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设 ，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论： ①；②；③最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，①由得，根据点E，F分别在直角边上运动（不与端点重合），则，由此可对结论①进行判断；②根据，由勾股定理得：，由此可对结论②进行判断；③连接，设，根据等腰直角三角形的性质得，由勾股定理得，即，再由得，当且仅当 时，，此时，则有，当 时，，此时，则有，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵点E，F分别在直角边上运动（不与端点重合）， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ②∵ ， ∴在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴，故结论②正确； ③连接，设，如图所示：   在，点D为斜边上的中点， ∴， 在 中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 当且仅当 时，即点E，F分别为的中点时，， 此时，则有， 当 时，即点E，F不是的中点时，，此时，则有， ∴，且等号可以取到，即最小值为．故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．先根据算术平方根的定义计算，再进行减法计算即可． 【详解】解：． 故答案为∶2． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则 ；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 13. 如图，函数的图像经过矩形的边的中点，交 于点，则四边形的面积为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像经过矩形的边的中点，可得到点是AB的中点，进而得出，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， 设，， ∵函数的图像经过矩形的边的中点， ∴， 设， ∵函数的图像经过矩形的边的中点，交 于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴点是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数 的几何意义，以及矩形的性质，求出 的面积是解题的关键． 14. 如图，矩形，，，点H为 上一点，将 沿着翻折至，与 交于点E，连接交于点F， ．则_______；的长为_______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，折叠，构造辅助线，利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质，勾股定理求出，进而根据正弦定义求出；延长至点，使得，连接 交于点 ，证明，根据的正切列方程求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴， ∴； 延长至点，使得，连接 交于点 ， ∴ ， 由折叠得， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的加法运算，正确化简是解题的关键． 先对分子进行因式分解，再化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当 时，原式 16. 列方程(组)解应用题： 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱，问有多少人？该物品价值多少元？ 【答案】有人，该物品价值元． 【解析】 【分析】设有人，该物品价值元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】设有人，该物品价值元， 根据题意得： 解得：． 答：有人，该物品价值元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ． （1）画出将 先向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到的； （2）画出将绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图1，即为所作； （2） 如图2，即为所作； ∴点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，旋转的性质等知识．熟练掌握平移作图，旋转作图，旋转的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，进而可求点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， （1）则第5个图案中有______个六边形； （2）用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； （3）若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 【答案】（1）31 （2）第n个图案中六边形的个数为； （3）n的值为100． 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探究和一元一次方程的应用，结合题意确定图形变化规律是解题关键． （1）根据题意数出前几个图案的数量； （2）根据规律得出第个图案的基本图形数量； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：第1个图案中六边形的个数为， 第2个图案中六边形的个数为， 第3个图案中六边形的个数为， …… 第5个图案中六边形的个数为， 故第5个图案中有31个六边形； 故答案为：31； 【小问2详解】 解：由题意可得：第1个图案中六边形的个数为； 第2个图案中六边形的个数为； 第3个图案中六边形的个数为； …… 所以第n个图案中六边形的个数为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， 解得， 所以n的值为100． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量教学楼高度 图示 测得数据 ，，． 参考数据 ，，，，，． 请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）． 【答案】教学楼的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形 是矩形，则可得，，然后分别在与 中，利用三角函数的知识，求得 与 的长，进而可得 ，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键． 【详解】解：根据题意得：四边形 是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在 中，， ∴， ∴． 答：教学楼的高度约为． 20. 如图，已知点E在直角 的斜边 上，以 为直径的与直角边相切于点D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）的半径为6 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理、等边对等角、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，结合题意得出 ，由平行线的性质结合等边对等角得出，即可得证； （2）证明 ，由相似三角形的性质求出 的长，即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与圆相切于点D． ∴， ∵ 为的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径为6． 六、（本题满分12分） 21. 近期，动画电影《哪吒2》的热映激发了同学们对中国古代神话传说的兴趣．某中学为了丰富学生们的知识，组织全校学生进行中国古代神话传说知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表： 分数 60 70 80 90 100 频数 2 7 15 16 10 （1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是______； （2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数； （3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数． 【答案】（1）90 （2）该50名同学这次竞赛成绩的平均数为85分； （3）估计竞赛成绩为优秀的人数约为780人． 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位线、平均数、用样本估计总体． （1）根据中位数的定义即可解答； （2）利用平均数的公式代入数据计算即可； （3）用成绩90分以上（含90分）的人数所占比例乘以1500即可． 【小问1详解】 解：将该50名同学成绩从小到大排列，该50名同学这次竞赛成绩的中位数位于第25名和第26名的平均数， 则该50名同学这次竞赛成绩的中位数是 ； 故答案为：90； 【小问2详解】 解：（分） 答：该50名同学这次竞赛成绩的平均数为85分； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计竞赛成绩为优秀的人数约为780人． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在 中，点、分别为、 上一点，连接、交于点，若，且 ． （1）当 时，求的长； （2）当，时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确做出辅助线是解答本题的关键． （1）由 得，如图，作 交的延长线于点H，证明得，求出，然后利用三线合一即可求解； （2）证明得 ，求出，．证明得，进而可求出． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴． 如图，作 交的延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵ ， ∴； 【小问2详解】 在 和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴，． ∵ ， ∴ ∴， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与轴相交于 、两点（点在点 的右侧），与轴相交于点，且，点 是抛物线的顶点． （1）求二次函数的关系式； （2）点 为线段 上一个动点，过点 作轴于点．设点 的横坐标为，的面积为 ． ①求 与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求 的最大值． 【答案】（1） （2）①，；② 的最大值为 【解析】 【分析】（1）求得，将代入抛物线得方程组求解即可得到答案； （2）①由（1）知二次函数的关系式，得到，再由待定系数法确定直线 的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时， ， ， ， ， ， ， 将代入抛物线可得， ， 解得， 二次函数的关系式； 【小问2详解】 解：①由（1）知二次函数的关系式， 点 是抛物线的顶点， ， 设直线 的解析式为， 将、代入得， ，解得， 直线 的解析式为， 过点 作轴于点，点 的横坐标为， 、， 的面积为 ， 、， ； ②由①知，， ， ，满足， 的面积 有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $