2.6.2 函数的极值课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6.2 函数的极值 第二章 导数及其应用 1 学习目标 1.了解函数极值的概念,会从几何直观角度理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用. （数学抽象、逻辑推理、直观想象） 2.掌握函数极值的判定及求法.（逻辑推理、数学运算） 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.（数学抽象、逻辑推理） 学习目标 2 已知函数, 的图象如图所示. 1.函数在, 上的单调性与导数的符号有何特点？ [答案] 在上单调递增,其导数值大于零,在 上单调递减,其导数值小于零. 自主预习 3 2.观察的图象,在区间内,函数值 有何特点？它是极大值吗？ [答案] 的值在 内最大.是. 3.函数值 在定义域内是最大的吗？ [答案] 不一定. 4.函数在 上有极大值、极小值吗？ [答案] 在上有极小值 ,无极大值. 自主预习 4 5.结合教材的实例思考:函数的极大值一定大于极小值吗？在同一区间内极值点唯一吗？ [答案] 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小 值.在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止有一个. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） 是函数 的极值点.( ) × （2） 可导函数一定存在极值.( ) × （3） 若,则是函数 的极值点.( ) × （4） 若是函数的极值点,则 .( ) √ 自主预习 6 2.已知函数的定义域为,导函数在 上的 图象如图所示,则函数在 上的极大值点的个数为 ( ). B A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由导函数的图象可知,在上与 轴的交点个 数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,故不是函数 的极值点.其余的3个交 点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个. 自主预习 7 3.设函数 ,则( ). D A.为的极大值点 B.为 的极小值点 C.为的极大值点 D.为 的极小值点 [解析] 对求导得,令,解得 ,易知 是函数 的极小值点. 自主预习 8 4.已知函数的极大值为10,则 的值为___. [解析] ,令,解得,,经判断知 是极大值点,故当时,,解得 . 自主预习 9 探究1 求函数的极值 在必修课程中,我们已经研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在 定义域内某一点附近,也存在着哪一点的函数值大、哪一点的函数值小的问题,如何利 用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题. 合作探究 10 问题1: 观察下图,函数在,,,,, 等点处的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系？ [答案] 以,两点为例,函数在点处的函数值比它在点 附近其他点的函数值都小,函数在点处的函数值比它在点 附近 其他点的函数值都大. 合作探究 11 问题2: 在点, 处的导数值是多少？ [答案] . 问题3: 在点,附近, 的导数的符号有什么规律？ [答案] 在点附近的左侧,右侧.类似地,在点 附近的左侧 ,右侧 . 合作探究 12 1.极值点与极值的概念 如图,函数在点处的函数值比它在点 附近 其他点的函数值都小,;而且在点附近的左侧 ,右侧,则把点叫作函数 的极小值点, 叫作函数 的极小值. 函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都大, ;而 且在点附近的左侧,右侧,则把点叫作函数 的极大值点, 叫作函数 的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统 称为极值. 合作探究 13 2.对极值概念的再理解 （1）极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值,与它附近点的函数值比较它是最 大值或最小值,但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值; （2）一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个; （3）函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系; （4）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点; （5）单调函数一定没有极值. 合作探究 14 3.的极值点与 的关系 一般来说,“”是“函数在点 处取得极值”的必要不充分条件. 若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,则 ;反之,若 ,则点不一定是函数的极值点.可导函数的极值点 一定是导 函数 的变号零点. 合作探究 15 例1 求函数 的极值. [解析] ,令,解得, . 当变化时,和 的变化情况如下表: , , , 0 - 0 极大值 极小值 因此,当时,有极大值,极大值为 ; 当时,有极小值,极小值为 . 合作探究 16 方法总结 首先对函数求导,然后求方程<m></m>的根,最后检查<m></m>在方程根左、右两侧的值的符号. 如果左正右负,那么<m></m>在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么<m></m>在这个根处取得极小值. 合作探究 17 巩固训练 求下列函数的极值: （1） ; （2） . 合作探究 18 [解析] （1）函数的定义域为 , . 令,得,解得或 . 当变化时,, 的变化情况如表所示: 0 2 - 0 0 - 0 因此,当时,取得极小值,且极小值为;当时, 取得极大值,且极 大值为 . 合作探究 19 （2）函数的定义域为 , 且 , 令,解得 . 当变化时,与 的变化情况如表所示: 0 - 故当时,函数取得极大值,且极大值为 . 合作探究 20 探究2 函数极值中的含参问题 已知函数,当 时,有极大值3. 问题1: 求, 的值. [答案] , 当 时,函数有极大值3, 解得 合作探究 21 问题2: 求函数 的极小值. [答案] . 当时,或 ; 当时, ; 当时,或 . 函数的极小值为 . 合作探究 22 1.利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利 用待定系数法求解. 2.因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必 须验证根的合理性. 合作探究 23 例2 已知函数,求函数 的极值. [解析] 由 知, ①当时,,函数为上的增函数,函数 无极值; ②当时,令,解得 , 又当时, , 当时, , 所以函数在处取得极小值,且极小值为 ,无极大值. 综上所述,当时,函数无极值;当时,函数在 处取得极小值 ,无极大值. 合作探究 24 方法总结 求解析式中含有参数的函数极值时,有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨 论的依据有两种:一是看参数是否对<m></m>的零点有影响,若有影响,则需要分类讨论;二是 看<m></m>在其零点附近的符号的确定是否与参数有关,若有关,则需要分类讨论. 合作探究 25 巩固训练 已知函数 . （1）若,求函数 的极值; （2）求函数 的极值. 合作探究 26 [解析] （1）当时,,则 . 令,解得;令,解得 . 所以在上单调递增,在 上单调递减, 故在处取得极大值,极大值为 ,无极小值. （2）因为,所以 . 当时,恒成立,所以在 上单调递增,无极值. 当时,令,解得;令,解得 . 因此,在,上单调递增,在,上单调递减,所以在 处取得极大值,极 大值为 ,无极小值. 综上,当时,无极值;当时,有极大值,极大值为 ,无极小值. 合作探究 27 探究3 方程根的问题 问题1: 你还记得函数 零点个数的确定方法吗？ 合作探究 28 [答案] 确定函数零点个数方程的实根个数 的方法: （1）判断二次函数在上的零点个数,一般由对应的二次方程 的根的判别 式,, 来完成;对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数,则要结合 二次函数的图象进行判断. （2）对于一般函数零点个数的判断,不仅要用到零点存在定理,还必须结合函数的图象 和性质才能确定,如三次函数的零点个数问题. （3）若函数在 上的图象是连续不断的一条曲线,且是单调函数,又 ,则在区间 内有唯一零点. 合作探究 29 问题2: 学习导数后,对于方程根的问题又将如何处理呢？ [答案] 学习导数后,对于函数的图象可以利用导数研究函数单调性的方法,画出草图,一 般地,方程的根就是函数的图象与轴交点的横坐标,方程 的根 就是函数与 的图象的交点的横坐标. 合作探究 30 用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况,运 用数形结合思想来确定函数图象与 轴的交点个数,从而判断方程根的个数. 合作探究 31 例3 设函数, . （1）求函数 的单调区间和极值; （2）若关于的方程有三个不同的实根,求实数 的取值范围. [解析] （1）,令 , 解得, . 因为当或时, , 当时, , 所以的单调递增区间为和;单调递减区间为 . 当时,有极大值,极大值为 ; 当时,有极小值,极小值为 . 合作探究 32 （2）由（1）的分析知 的图象的大致形状及走向如图所示. 所以,当 时, 直线与 的图象有三个不同的交点, 即方程 有三个不同的实根. 所以实数的取值范围为 . 合作探究 33 方法总结 （1）先求出<m></m>,再令<m></m>,进而求解函数<m></m>的单调区间和极值;（2）结合 函数<m></m>的图象,利用数形结合思想,确定实数<m></m>的取值范围. 合作探究 34 巩固训练 若函数在上只有一个零点,求实数 的取值范围. [解析] ,则 , 令,得或 , 可知在上单调递减,在和 上单调递增. 所以的极大值为,极小值为 . 要使函数 只有一个零点, 只需或 （如图所示）, 图① 图② 即或 . 所以的取值范围为 . 合作探究 35 1.函数的导函数 的图象如图所示,则下列判断正确的是( ). C A.在上 是增函数 B.在上 是减函数 C.当时, 取得极大值 D.当时, 取得极大值 随堂检测 36 [解析] 由的图象可得 的大致图象,如图所示. 由图可知,A,B,D均错误.故选C. 随堂检测 37 2.函数 的极值点为( ). B A.0,1, B. C. D., [解析] 由题意得,的定义域为,,令,得 或（舍去）.当时,;当时,.所以当 时, 取得极小值.从而的极小值点为 ,无极大值点.故选B. 随堂检测 38 3.函数 的极大值为( ). C A.0 B. C. D. [解析] 由题意得 . 由，得；由，得或 . 故在和上单调递减，在 上单调递增， 故的极大值为 .故选C. 随堂检测 39 4.若函数的极大值为13,则实数 ______. [解析] . 由,得或 . 当时, ; 当时, 当 时,函数取得极大值. 故,解得 . 随堂检测 40 5.已知函数,求关于的方程 的解的个数. [解析] 函数的定义域为, , 令,得,解得或 . 当变化时,与 的变化情况如表所示. 0 2 0 - 0 7 随堂检测 41 当 时, ; 当 时, . 当或 时,方程有一个解; 当或 时,方程有两个解; 当 时,方程有三个解. 随堂检测 42 $$