精品解析：2025年浙江省杭州市钱塘区中考二模数学试卷

2024学年第二学期学业水平测试（二） 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在有理数－1，0，－2，1中，最小的数是（　　） A. －1 B. 0 C. －2 D. 1 2. 截至2025年3月15日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》突破150亿元票房，登顶全球动画电影票房榜．数据150亿用科学记数法表示为（　　） A. 1500000000 B. C. D. 3. 一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　） A. 甲乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲乙都错误 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 下列命题正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 C. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 9. 如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 10. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值应满足( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 的相反数是______． 12. 当__________时，分式的值为． 13. 李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是____． 15. 如图，内接于，，交于点，连结．若，则的大小为___________． 16. 如图，点在菱形的边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上．若，则的值是___________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解下列方程（组）： （1）． （2） 19. 为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的数值． 【收集数据】 九年级10名学生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 体重 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2 身高 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64 21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 26.4 28.0 20.6 19.4 【整理数据】 九年级10名学生频数分布表 组别 频数 0 1 【应用数据】 （1）求数据统计表中的值，并直接写出的值． （2）请估计该校九年级300名学生中的人数． 20. 如图，平行四边形的顶点均在格点上，找到格点，使平分． 画法1：在边上找到格点，使． 画法2：在边上找到格点，使，连结，找到格点． （1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点，连结． （2）从两种画法中选择一种证明平分． 21. 钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江连续绿道．圆圆和方方在笔直的绿道上分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人与甲地的距离关于时间的函数图象如图所示，圆圆的速度是，圆圆跑了2分钟后休息了分钟，然后按原速度继续跑，方方的速度是，最后圆圆与方方同时到达各自终点． （1）求的值和图中对应的函数表达式． （2）求两人相遇时的值． 22. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，与交于点． （1）求证：． （2）连结，若点是的中点，求的值． 23. 已知二次函数为实数． （1）若，求该函数图象的对称轴． （2）若该函数图象与轴交于点，求证：． （3）若点在该函数图象上，且，求的取值范围． 24. 已知内接于，是的直径，D为圆上一点，是的切线，连结，与交于点E． （1）如图1，延长与交于点F． ①若，求的大小． ②若，求的半径． （2）如图2，，，延长与交于点F，若，求与的面积比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期学业水平测试（二） 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在有理数－1，0，－2，1中，最小的数是（　　） A. －1 B. 0 C. －2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案． 【详解】由题意，得 1＞0＞－1＞－2， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟记据正数大于零，零大于负数是解题关键． 2. 截至2025年3月15日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》突破150亿元票房，登顶全球动画电影票房榜．数据150亿用科学记数法表示为（　　） A. 1500000000 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握“把一个大于的数表示成的形式（其中大于或等于且小于，是正整数）”是解题关键．按照科学记数法的定义即可求解． 【详解】解：150亿； 故选：C 3. 一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　） A. 甲乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲乙都错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键． 根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：∵有2个红球和5个白球， ∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式的应用，合并同类项，根据以上运算的运算法则逐一分析判断即可． 【详解】解：A． ，故错误，不符合题意； B．，故错误，不符合题意； C． ，故错误，不符合题意； D． ，正确； 故选D． 5. 如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，正确掌握三视图的观察角度是解题的关键． 根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图进行选择． 【详解】解：原几何体的主视图是： 故取走小正方体②后，余下几何体与原几何体的主视图相同． 故选：B． 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点、、的坐标分别代入解析式计算出、、的值，然后比较大小即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ． 故选：C． 7. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：A． 8. 下列命题正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 C. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意； B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作正六边形的外接圆，连接交于点L，连接、，求得，，则，，由垂径定理得，，则，所以，求得，则，即可根据扇形的面积公式求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点O，连接交于点L，连接、， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值应满足( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，由两支曲线的分界线在轴左侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【详解】解：∵ ， 由图可知，两支曲线的分界线位于轴的右侧， ， ， 由图可知，当时的函数图象位于轴的下方， 当时，， 又当时，， ， 故选：D． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 12. 当__________时，分式的值为． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵的值为， ∴x－2＝0， 解得：x＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：分子等于0，并且分母不等于0． 13. 李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛． 【详解】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好， 又丁的方差小于丙， 所以丁的成绩好且稳定， 故答案为：丁． 14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ，相似比为， 与的面积之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 15. 如图，内接于，，交于点，连结．若，则的大小为___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据等边对等角求得，再根据平行线的性质可得，从而利用三角形内角和进行计算求解． 【详解】解：由题意可得，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点在菱形的边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上．若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，在的延长线上取点，使，设，则，可得，，证明，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，在的延长线上取点，使， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对折可得： ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）1 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和算术平方根的意义，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键． （1）利用绝对值的意义和有理数的乘方，运算法则解答即可； （2）利用负整数指数幂的意义和算术平方根的意义化简运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程（组）： （1）． （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元二次方程以及二元一次方程组，掌握解一元二次方程和解方程组的方法是解题的关键． （1）把方程化为：，再化为一次方程解方程即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， 得，， 解得， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 19. 为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的数值． 【收集数据】 九年级10名学生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 体重 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2 身高 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64 21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 26.4 28.0 20.6 19.4 【整理数据】 九年级10名学生频数分布表 组别 频数 0 1 【应用数据】 （1）求数据统计表中的值，并直接写出的值． （2）请估计该校九年级300名学生中的人数． 【答案】（1），， （2）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键． （1）根据计算公式可得x的值，根据表格可得a，b的值； （2）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意得：x20， ∴由九年级10名学生频数分布表得，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级300名学生中的人数为60人． 20. 如图，平行四边形的顶点均在格点上，找到格点，使平分． 画法1：在边上找到格点，使． 画法2：在边上找到格点，使，连结，找到格点． （1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点，连结． （2）从两种画法中选择一种证明平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图－应用与设计作图，平行四边形的性质角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意正确作出图形． （1）如图1中，在上取点，使得，连接，点即为所求． 如图2中，作等腰，，取的中点，作射线，点即为所求． （2）①由画图可知，推出，再根据，证明，可得，则点P即为所求；②由画图可知，，点P为的中点，由三线合一定理可得平分，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图1和图2所示，P即为所求； 【小问2详解】 证明：如图1所示 由题意可知， ， ， ， 则点P即为所求； ②如图2， 由题意可知， 点P为的中点， 由三线合一定理可得平分， 则点P即为所求． 21. 钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江连续绿道．圆圆和方方在笔直的绿道上分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人与甲地的距离关于时间的函数图象如图所示，圆圆的速度是，圆圆跑了2分钟后休息了分钟，然后按原速度继续跑，方方的速度是，最后圆圆与方方同时到达各自终点． （1）求的值和图中对应的函数表达式． （2）求两人相遇时的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像的应用，解答本题的关键是明确题意，理解函数图像上点的坐标的实际意义，利用数形结合的思想解答． （1）根据路程÷速度=时间求得t，然后再求点A的坐标，从而确定函数解析式； （2）求出函数解析式的交点坐标即可； 【小问1详解】 解：由题意，方方的到达时间， 圆圆在中途不休息的情况下到达终点的时间为， ∴， ∴圆圆跑了2分钟后休息了1分钟， ∴A点坐标为， 设对应的函数表达式为，将，代入可得 ，解得， ∴图中对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意， 设对应的函数表达式为，将，代入可得 ，解得， ∴图中对应的函数表达式为， 联立方程组，解得， ∴两人相遇时的值为． 22. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，与交于点． （1）求证：． （2）连结，若点是的中点，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，结合，可得结论； （2）设，求解，证明，求解，，证明，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：在正方形中，设，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的利用正方形的性质解题是关键． 23. 已知二次函数为实数． （1）若，求该函数图象的对称轴． （2）若该函数图象与轴交于点，求证：． （3）若点在该函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）化成顶点式即可求解； （2）时，，则根据题意，证得即可． （3）把代入解析式求得函数值，根据，列出不等式组，解得即可． 【小问1详解】 解：若，则二次函数为， ∴该函数图象的对称轴为直线； 【小问2详解】 证明：时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∵该函数图象与y轴交于点， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， ， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 24. 已知内接于，是的直径，D为圆上一点，是的切线，连结，与交于点E． （1）如图1，延长与交于点F． ①若，求的大小． ②若，求的半径． （2）如图2，，，延长与交于点F，若，求与的面积比． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①连接，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理解答即可； ②利用切割线定理解答即可； （2）过点C作，交的延长线于点H，交于点G，连接，利用矩形的判定与性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，设，则，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得线段OE，BE，FD，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：①连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径； 【小问2详解】 解：过点C作，交的延长线于点H，交于点G，连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴与的面积比． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，连接经过切点的半径和添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 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