精品解析：山东省枣庄市市中区2025年初中学业水平第二次模拟考试数学试题　

2025年初中学业水平第二次模拟考试数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、精心选一选，你一定能选对！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．） 1. 手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强，下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年初，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《提振消费专项行动方案》，今年前两个月，全国新能源乘用车零售约134万辆，家电一级能效产品销售额241亿元，数据“241亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 腾讯云 B. 微云人工智能 C. 天元人工智能 D. 阿里云 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 古代中国诸多技艺领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取两张恰好抽到都是同一节气邮票的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 8. 某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 11 D. 10 9. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、认真填一填（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 12. 写出一个解是的二元一次方程组：______． 13. 分式方程的解为______． 14. 如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为_________． 15. 如图，，两点在以为直径的上，，，则的长为______． 16. 如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第n次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是______． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）化简求值：，其中x是方程的一个解． 18. 小亮同学参加项目式学习主题活动，想测校园中一棵树的高度（如图AB），他设计出以下两种方案来计算树的高度（两种方案中涉及的点均在同一平面内）． 方案①：如图1，小亮在离B点11米的E处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点E），然后沿射线BE方向后退2米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢A，已知小亮的眼睛到地面的高度是1.6米； 方案②：如图2，小亮利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BD为10米，测角仪的高度为1.6米，从点C处测得树顶A的仰角为． 请从两种方案中任选一种求树高度．（参考数据：，，） 19. 某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动． 【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）． 【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息．七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9． 【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年 级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 7 45% 八年级 7.5 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的的值； （2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； 20. 学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当x__________时，y随x增大而__________（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为__________； （3）深度思考：函数的图象可由函数的图象向__________平移__________单位得到，想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，x的取值范围是__________． 21. 如图，是以为直径的的切线，点在上方的圆弧上，，垂直平分，分别交，于点，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求的半径． 22. 如图，抛物线经过点A，B，C，点A坐标为． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，求y的最大值与最小值的差； （3）若点P坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围． 23 综合与实践 数学活动∶在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题． 动手操作：在中，，，，将三角形纸片进行以下操作： 第一步∶如图1，将沿着进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步∶如图2，隐去，将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边交于点M，（M不与点A重合），与边交于点N，线段与交于点P． 数学思考： （1）在图1中，求证∶； （2）在图2中，绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图3，当时，________； ②如图4，当经过点B时，________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平第二次模拟考试数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、精心选一选，你一定能选对！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．） 1. 手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强，下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值及实数的大小比较，熟练掌握绝对值的实际意义是解题的关键．根据绝对值的实际意义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，， ∵， ∴信号最强的是． 故选：B． 2. 2025年初，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《提振消费专项行动方案》，今年前两个月，全国新能源乘用车零售约134万辆，家电一级能效产品销售额241亿元，数据“241亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1数，将“241亿”写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：241亿， 故选：C． 3. 下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 腾讯云 B. 微云人工智能 C. 天元人工智能 D. 阿里云 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，单项式乘多项式，积的乘方，完全平方公式，根据运算法则逐项判断即可求解． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算正确，符合题意； D．，计算错误，不合题意； 故选C． 5. 古代中国诸多技艺领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 【详解】解：“榫”的俯视图是： 故选：B． 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取两张恰好抽到都是同一节气邮票的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，设夏至用A、B表示，雨水用C表示，惊蛰用D表示，可以画出相应的树状图分析求解． 【详解】解：设夏至用A、B表示，雨水用C表示，惊蛰用D表示，画树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果， 其中抽到都是同一节气邮票的可能性有2种， ∴抽取两张恰好抽到都是同一节气邮票的概率是， 故选：A． 7. 定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键，根据题中新定义的运算方法，得到关于x的一元二次方程，再利用判断根的情况，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8. 某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和，以及镶嵌问题．正确的识图，求出正n边形的一个外角的度数是解题的关键．由图可知，2个正n边形的一个内角的度数加上一个正三角形的内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，2个正n边形的一个内角的度数加上一个正三角形的内角的度数为， ∴正n边形的一个内角的度数为， ∴正n边形的一个外角的度数为， ∴， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质、角平分线定义推得，则，再结合勾股定理求出，推出后，结合中位线定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是中位线， 即． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理解直角三角形、中位线定理，解题关键是熟练掌握中位线定理． 10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∵C在y轴的正半轴上，， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为； ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ∴， ∵P、Q关于x轴对称， ∴， ∵点Q总在内（不包括边界）， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、认真填一填（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 12. 写出一个解是的二元一次方程组：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据，列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 13. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．方程两边乘以将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 14. 如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据基本作图，得到，利用平行四边形的性质，得，在中，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， 根据基本作图，可设， ∵，，， ∴，，， 在中，，由勾股定理得， ∴， 解得， 即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的基本作图，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 15. 如图，，两点在以为直径的上，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．利用圆周角定理得到，连接求出，然后根据弧长公式求出的长． 【详解】解： 连接， ∵，， ∴， ∴， ， ∴, ∴的长． 故答案为：． 16. 如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第n次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意画出小球的轨迹示意图，进而得到每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，，再求出2024除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知小球的运动轨迹如下： 由图可知小球第一次碰到，第二次碰到，第三次碰到，第四次碰到，第五次碰到，第六次碰到， ∴每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）化简求值：，其中x是方程的一个解． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算和实数混合运算的法则（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）是解题关键． （1）化简二次根式，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后再计算； （2）先将原式进行通分计算，然后整体代入计算即可； 【详解】解：（1） ＝ ＝； （2）解： ＝； ∵， ∴， 原式＝． 18. 小亮同学参加项目式学习主题活动，想测校园中一棵树的高度（如图AB），他设计出以下两种方案来计算树的高度（两种方案中涉及的点均在同一平面内）． 方案①：如图1，小亮在离B点11米的E处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点E），然后沿射线BE方向后退2米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢A，已知小亮的眼睛到地面的高度是1.6米； 方案②：如图2，小亮利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BD为10米，测角仪的高度为1.6米，从点C处测得树顶A的仰角为． 请从两种方案中任选一种求树的高度．（参考数据：，，） 【答案】树的高度为米 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形判定和性质、解直角三角形等知识，根据题目条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 方案①：证明，则，得到，即可求出答案； 方案②：过点C作，垂足为E．在中，利用得到，再利用线段求和即可得到． 【详解】解：方案①：如图， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴树的高度为米； 方案②：如图，过点C作，垂足为E． 在中，，，， ∴， ∴． 19. 某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动． 【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）． 【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息．七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9． 【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年 级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 7 45% 八年级 7.5 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的的值； （2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； 【答案】（1），， （2）估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1480人 （3）解答见解析 【解析】 【分析】（1）由条形统计图及统计表中相关信息，结合众数、中位数及条形统计图信息求解即可得到答案； （2）由样本中成绩合格的人数百分比估计该校七、八年级共1600名学生参加此次测试活动的合格人数即可得到答案； （3）由七年级、八年级学生知识竞答活动的平均分一样，但是八年级的中位数为7.5分大于七年级的中位数7分即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题中数据可知七年级20名学生的测试成绩为7分的人数最多， ∴； 八年级学生的成绩按顺序排列后位于最中间的两名同学的成绩分别为7分和8分， ∴； 由题中数据可知八年级学生成绩为8分及以上的人数有人， ∴； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1480人； 【小问3详解】 解：我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好， 理由如下： 因为七年级、八年级学生知识竞答活动的平均分一样均为7.5分，但是八年级的中位数为7.5分大于七年级的中位数7分．因此我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好． 【点睛】本题考查统计综合，涉及条形统计图、平均数、众数、中位数、百分比、用样本估计总体、由相关统计量做决策等知识，熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键． 20. 学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当x__________时，y随x的增大而__________（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为__________； （3）深度思考：函数的图象可由函数的图象向__________平移__________单位得到，想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，x的取值范围是__________． 【答案】（1）见解析 （2）①，增大；② （3）上；2个；或 【解析】 【分析】本题考查函数图象及性质，图象的平移； （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示， 【小问2详解】 解：观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而增大； 故答案为：，增大． ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 故答案为： 【小问3详解】 解：函数的图象可由函数的图象向上平移个单位得到， ∴当时，x的取值范围是或． 故答案为：上；2个；或． 21. 如图，是以为直径的的切线，点在上方的圆弧上，，垂直平分，分别交，于点，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定定理，勾股定理，列一元二次方程解决实际问题等知识，解题的关键是熟练掌握各性质和作出辅助线． （1）先证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等得出四边形为菱形； （2）作出辅助线构造出直角三角形，假设出菱形的边长，利用勾股定理把需要的边表示出来，列出一元二次方程求解，即可求出圆的半径． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分， ∴，，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，即四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形BCDE是菱形． 小问2详解】 解：如图，连接． 设．由（1）得． ∵是的切线， ∴． 在中，，即． ∵， ∴． 在中，，即． ∵为的直径， ∴． 中，，即， 整理得， 解得或（舍去）． ∴， ∴． ∴的半径为． 22. 如图，抛物线经过点A，B，C，点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，求y的最大值与最小值的差； （3）若点P的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1），顶点为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将A点代入，可求函数的解析式及顶点坐标； （2）当时，y的最大值为，最小值为0，即可求解； （3）由题意可求，，当在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则时，线段与抛物线只有一个交点；求出平移后直线的解析式，当直线与抛物线有一个交点时，求出a的值． 【小问1详解】 解：将A点代入， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴顶点为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴当时，y的最大值为，最小值为0， ∴y的最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：∵线段向上平移个单位得到线段， ∴，， 当在抛物线上时，， 解得：， ∴时，线段与抛物线只有一个交点； 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴，解得， 当时，， 解得：， 此时直线与抛物线交点的横坐标为，正好在线段上， ∴当时，线段与抛物线也只有一个交点； 综上所述：或时，线段与抛物线只有一个交点． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形平移的性质，数形结合是解题的关键． 23. 综合与实践 数学活动∶在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题． 动手操作：在中，，，，将三角形纸片进行以下操作： 第一步∶如图1，将沿着进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步∶如图2，隐去，将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边交于点M，（M不与点A重合），与边交于点N，线段与交于点P． 数学思考： （1）在图1中，求证∶； （2）在图2中，绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图3，当时，________； ②如图4，当经过点B时，________． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3）①3；② 【解析】 【分析】（1）∵根据折叠可知，则，由得到，即可得到； （2）证明，即可证明结论； （3）①作于H，交于K．求出，，证明四边形是矩形，求出，由折叠可知，，求出，设，则，，根据勾股定理列方程，解方程即可得到答案； ②证明，设，在中，由勾股定理列方程即可求出，线段作差即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图1中，∵将沿着进行翻折，使点C与点A重合， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ． 理由：如图2中，连接， ∵ ∴， ∴． 【小问3详解】 ①如图3中，作于H，交于K． 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵，, ∴点D为的中点，， ∴， 由折叠可知，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， 即； 故答案为：3 ②如图4中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，轴对称的性质、直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $