精品解析：2025年山东省烟台市中考一模数学试题

九年级数学模拟试题 温馨提示： 1．本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 6．写在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 4. 登上奥运领奖台是每一位体育运动员的梦想．你知道吗，奥运会领奖台通常分为三个高度，冠军台高为1米，亚军台高为0.7米，季军台高为0.5米，其整体可以看成如图所示的立体图形，你认为它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一个边长为的正六边形纸板中截去一个边长为的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C. 任意画一个三角形，其内角和是360° D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 7. 如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数（，）的图像经过点B，则k的值为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 9. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 10. 如图是二次函数图像的一部分，直线是对称轴，有以下判断：①；②＞0；③方程的两根是2和-4；④若是抛物线上两点，则＞；其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 近似数精确到___________位． 12. 因式分解： _____________． 13. 若，则的值为___________． 14. 如图，线段的长度分别是，且平分．若将点表示为，点表示为，则点可表示为___________． 15. 如图，是的直径，点都在上，若点是的中点，，，则的长为___________． 16. 小好同学用计算机软件绘制函数的图象如图所示，发现它关于点成中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加，则的值是___________． 三、解答题（本题共8个题，满分72分） 17. 【阅读材料】运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其它公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识，先化简代数式，并求出当时它的值． 18. 如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 某校志愿者社团为了解全校2800名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行以下问卷调查： 1．本学期您参加志愿服务的时长（每项含最大值，不含最小值）大约是___________； A. B. C. D. 以上 2．学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是___________． E．烟台市博物馆 F．北极星钟表文化博物馆 G．磁山地质博物馆 H．张裕酒文化博物馆 形成了如下不完整的调查报告： 请根据以上信息解答下列问题： （1）求出参与本次抽样调查的学生人数，并将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）说明在抽取的学生中，本学期参加志愿服务时长的中位数在哪个时段； （3）请估计在本校名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约“”的学生人数； （4）若有一男生一女生想采用抽签的方式（第一人抽签后又放回，第二人再抽取）决定去哪座博物馆解说，请用树状图或者列表格求出两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率． 20. 年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元． （1）分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； （2）社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 21. 某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 22. 如图，四边形内接于是的直径．过点作圆的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点．已知，求长度． 23. 综合与实践活动是一种非常有效的数学学习方式，通过活动可以提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 【折一折】将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1． （1）则___________． 【转一转】连接正方形对角线，将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，交对角线于点，连接，如图2． （2）求的值； （3）直接写出线段，，之间的数量关系． 【剪一剪】将图2中的正方形纸片沿对角线剪开，如图3． （4）探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 24. 如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，边交轴于点，抛物线过点． （1）求抛物线的表达式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标； （4）为线段上的点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，当点运动到点后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学模拟试题 温馨提示： 1．本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 6．写在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，算术平方根与立方根，根据无理数就是无限不循环小数，即可求解． 【详解】解：，，都是有理数， 是无理数， 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 3. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用．根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 4. 登上奥运领奖台是每一位体育运动员的梦想．你知道吗，奥运会领奖台通常分为三个高度，冠军台高为1米，亚军台高为0.7米，季军台高为0.5米，其整体可以看成如图所示的立体图形，你认为它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，看不到的线用虚线表示，即可得出答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： 故选：C． 5. 如图，在一个边长为的正六边形纸板中截去一个边长为的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，设正六边形的中心为O，连接，证明是等边三角形，进而推出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设正六边形的中心为O，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∵正六边形的边长为， ∴是边长为的等边三角形， ∴， ∴余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为， 故选：C． 6. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C. 任意画一个三角形，其内角和是360° D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 【答案】D 【解析】 【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案． 【详解】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项错误； B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为，不符合这一结果，故此选项错误； C、任意画一个三角形，其内角和是360°的概率为：0，不符合这一结果，故此选项错误； D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为：，符合这一结果，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查频率估算概率,关键在于通过图象得出有利信息. 7. 如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数（，）的图像经过点B，则k的值为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G,设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，在Rt∆DHA中，∠DHA=30°，AD=4，求出DH=，由勾股定理求出 AH ，根据E为AD的中点，由勾股定理求得OA ,证明△DGC≅△AFB中，得DG=AF= 在Rt∆AFB中，根据锐角三角函数求出BF的长度，再得到 将代入y=，得k． 【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F， 可知：∠DHA=∠DGC=∠BFA=90° 在Rt∆DHA中，∠DHA=30°，AD=4, ∴DH= AH= ∵E为AD的中点， ∴AE= ， ∴OE= ， ∴OA= ， OH=HA-OA= ， 又四边形DHOG为矩形， ∴DG=HO= ， ∵AE∥BC， ∴∠AEO=∠BCG=60°， ∴∠DCG=90°-60°=30°， ∴∠CDG=90°-30°=60° 又∵∠BAF=90°-∠EAO=90°-30°=60°， ∵矩形ABCD中，AB=AC， 在△DGC和△AFB中， ， ∴△DGC≅△AFB， ∴DG=AF= ， 在Rt∆AFB中， ∵tan∠BAF= ， ∴BF=AFtan30°= ， ∴OF=OA+AF=2 ， BF=3， ∴ 将代入y= 得k= ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△DGC≅△AFB，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解． 9. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 10. 如图是二次函数图像的一部分，直线是对称轴，有以下判断：①；②＞0；③方程的两根是2和-4；④若是抛物线上两点，则＞；其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象依次计算判断即可得到答案. 【详解】∵对称轴是直线x=-1， ∴， ∴，故①正确； ∵图象与x轴有两个交点， ∴＞0，故②正确； ∵图象的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点坐标是（2,0）， ∴与x轴另一个交点是（-4,0）， ∴方程的两根是2和-4，故③正确； ∵图象开口向下， ∴在对称轴左侧y随着x的增大而增大， ∴是抛物线上两点，则<，故④错误， ∴正确的有①、②、③， 故选：C. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据函数图象判断式子的正负，正确理解函数图象，掌握各式子与各字母系数的关系是解题的关键. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 近似数精确到___________位． 【答案】千 【解析】 【分析】本题考查了近似数，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：近似数中的3位于百万位，则1位于十万位，5位于万位，位于千位，即精确到了千位． 故答案为：千． 12. 因式分解： _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，根据题意得出，原式化为，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 14. 如图，线段的长度分别是，且平分．若将点表示为，点表示为，则点可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有序数对表示位置，角平分线的定义，根据角平分线的定义，可得的度数，根据角的和差，可得根据已知点的坐标的表示方法，可得答案． 【详解】解：∵点表示为，点表示为， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴点可表示为， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点都在上，若点是的中点，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故答案为：． 16. 小好同学用计算机软件绘制函数的图象如图所示，发现它关于点成中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，，……得出，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵函数图象关于点中心对称，这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……， ∵即， ∴ ∵， 当时，，即，即 ∵关于点中心对称的点为，即当时，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8个题，满分72分） 17. 【阅读材料】运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其它公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识，先化简代数式，并求出当时它的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考分式加减以及化简求值，熟练掌握分式加减的运算法则是解题关键．先利用将后式的分母化简，然后约分，最后进行减法运算，代入，计算即可． 【详解】解： 当时，原式 18. 如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由作图知：． 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． 又， ，． ， ， ． 19. 某校志愿者社团为了解全校2800名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行以下问卷调查： 1．本学期您参加志愿服务的时长（每项含最大值，不含最小值）大约是___________； A. B. C. D. 以上 2．学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是___________． E．烟台市博物馆 F．北极星钟表文化博物馆 G．磁山地质博物馆 H．张裕酒文化博物馆 形成了如下不完整的调查报告： 请根据以上信息解答下列问题： （1）求出参与本次抽样调查的学生人数，并将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）说明在抽取的学生中，本学期参加志愿服务时长的中位数在哪个时段； （3）请估计在本校名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约“”的学生人数； （4）若有一男生一女生想采用抽签的方式（第一人抽签后又放回，第二人再抽取）决定去哪座博物馆解说，请用树状图或者列表格求出两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率． 【答案】（1）， 补全的条形统计图和扇形统计图如下： （2） （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图，条形统计图和利用频率估计概率，能够熟练算出调查总人数是解题的关键． （1）参与本次抽样调查的学生人数为，计算即可，然后再补全条形统计图和扇形统计图； （2）根据中位数的定义，即可求解． （3）根据样本中参加志愿服务的时长大约“”的百分比乘以总体数量即可得出本学期时长大约“”的学生人数； （4）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：参与本次抽样调查的学生人数为人， ∴、志愿时间为的有：人， 、志愿时间为以上的占比为：， 【小问2详解】 解：参与本次抽样调查的学生人数共有人，第和个在“”. 故本学期参加志愿服务时长的中位数在． 【小问3详解】 解：人， 答：本校本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数有人． 【小问4详解】 解：由统计图可知：男生、女生最想去都是．烟台市博物馆．列表如下， 共有种等可能结果．两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的有1种情形（男生最想去，女生最想去）， ∴两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率为． 20. 年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元． （1）分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； （2）社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； （2） 解：不能购买到原来统计的手办，理由如下： 原计划购买哪吒手办个，购买敖丙手办个， 依题意， ∵敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售． ∴购买敖丙手办个，则需要 ∴不能购买到原来统计的手办． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先求得原计划购买的数量，按照团购方案进行计算，与比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， （元） 答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； 【小问2详解】 略 21. 某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 【答案】观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，得到是等边三角形，得到的长，即观景台到雕塑的距离；在中，求出，的长，在中，利用勾股定理，求出的长，即可得到结果． 【详解】解：∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向 ∴ ∴是等边三角形， ∴； 如图，过点作于点 ∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ∴ 在中，， ∵ ∴ 在中， 答：观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 22. 如图，四边形内接于是的直径．过点作圆的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点．已知，求长度． 【答案】 【解析】 【分析】在中，勾股定理求得，根据已知证明得出，，进而根据，得出，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵是的直径． ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 综合与实践活动是一种非常有效的数学学习方式，通过活动可以提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 【折一折】将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1． （1）则___________． 【转一转】连接正方形对角线，将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，交对角线于点，连接，如图2． （2）求的值； （3）直接写出线段，，之间的数量关系． 【剪一剪】将图2中的正方形纸片沿对角线剪开，如图3． （4）探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4），证明如下， 如图：将顺时针旋转，连接， 由（2）中的结论可证 根据旋转的性质可得：， 在中有 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：, ，则，为等腰三角形； （2）证明即可得出结论； （3）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可得出结论； （4）根据半角模型，将顺时针旋转，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）由翻折的性质可知： 为正方形 ， 为等腰三角形 （2）为正方形对角线 ， ， （3）如图：将顺时针旋转， 由旋转的性质可得：，， 由（1）中结论可得 为正方形， 在和中 （4）略 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 24. 如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，边交轴于点，抛物线过点． （1）求抛物线的表达式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标； （4）为线段上的点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，当点运动到点后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2） 解：为直角三角形，且，理由为： ∵，，， ，，， ∴， ∴为直角三角形，且； （3）点坐标为； （4）运动时间t的最小值为，此时坐标为 【解析】 【分析】（1）先待定系数法求得直线的解析式为，进而求得点的坐标，将三点坐标代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）由两点间距离公式求得、、，利用勾股定理的逆定理即可做出判断； （3）由（2）中数据可知，延长至，使，连接，则点为直线与抛物线的交点，求出直线的解析式，与抛物线联立方程组，解之即可求得点坐标； （4）过作于，过作交于，连接，则，求得，由点运动时间，当、、三点共线时，最小，进一步求解即可解答． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ 将，，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， ∴， ∴， 延长至，使，连接，则点、关于点对称， ∵， ∴， ，，， ， ， 点为直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为，代入， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立方程组，解得：或舍去， 故点坐标为； 【小问4详解】 过作于，过作交于，连接，则， ， ， ， ，又， 点运动时间， 当、、三点共线时，最小， ， ， ， ， 点运动时间的最小值为， ，， ， 点与点重合，则点 即为直线与直线的交点， 由点和得直线的表达式为， 由点，，得直线的表达式为， 联立方程组，解得：， 此时坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、锐角的三角函数、垂线段最短、轴对称性质、解二元二次方程组、解一元一次方程组、全等三角形的判定与性质等知识，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $