精品解析：江苏省镇江徐州七校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

2024级高一下学期4月期中考试试题 数学试题 2025.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（ ） A 1 B. C. D. 3 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则（ ） A 4 B. C. 2 D. 5. 镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（ ） A. 320m B. 340m C. 360m D. 380m 6. 已知，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，，AD与CE交于点O，，则实数t的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为-1 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若，为复数，则 10. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A 若，，则 B. C 若，则 D. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. 为锐角三角形 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若，则实数______. 13. 已知，，则______． 14. 《数书九章>是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c，求面积S的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即： ，现有的三边满足，则的最大值______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数z满足和均为实数，其中i为虚数单位． （1）求复数z； （2）若z是方程的一个根，求实数m的值． 16. 已知，且. （1）求的值； （2）若，求值. 17. 已知点，， （1）若A，B，C三点共线，求实数k的值； （2）若为等腰三角形，求实数k的值； （3）若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值． 18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______． （1）求角B； （2）已知，D为线段AC上的一点． ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若，求BD的最大值． 19. 费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当的一个内角大于120°时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题： 在中，角所对的边分别是，若，． （1）求； （2）设点为的费马点， ①若，求； ②设，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一下学期4月期中考试试题 数学试题 2025.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得，再利用复数的模长公式即可求解. 【详解】∵，∴， ∴. 故选：C. 2. 已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先利用数量积的定义计算，再利用公式计算即可. 【详解】由题意可得， 则 故选：A 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值比值，然后换元作比即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可知：， ∴，，∴. 故选：C. 4. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则（ ） A 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件结合投影向量公式的计算即可求得. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以. 故选：C. 5. 镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（ ） A. 320m B. 340m C. 360m D. 380m 【答案】B 【解析】 【分析】在中，根据题意可得.在中，利用正弦定理可求出的值，然后在中即可求解的值. 【详解】在中，，，∴. 在中，，， ，， ∴由正弦定理可得，∴. 在中，，，∴. 故选：B. 6 已知，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先展开与，再通过加减运算求出与的值，最后代入的转化式计算. 【详解】由得； 由得. 两式相加：，即. 两式相减：，即. 因为，代入得. 故选：B. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件求出角，再利用角平分线性质和三角形面积公式得到bc的值，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的周长. 【详解】已知，移项可得. 因为（若，则，不满足），所以，即. 又因为，所以. 因为AD是角的平分线，所以. 根据三角形面积公式，可得. 可得：，即 两边同时约去可得. 由余弦定理，将，代入可得： ，即，即. 根据完全平方公式，可得，将其代入上式可得： ， 将代入上式可得：，解得（负值舍去）. 的周长为. 故选：A. 8. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，，AD与CE交于点O，，则实数t的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用向量的线性表示以及三点共线可得，即可表示出向量和向量，再由向量的数量积的运算律化简可得选项. 【详解】由已知得：， 设，所以， 又点三点共线，所以，解得， 所以， 又， 因，， 所以 ， 则，故. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为-1 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若，为复数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数乘方运算计算判断A；利用复数除法及共轭复数的意义求解判断B；举例说明判断C；利用复数乘法及模的意义求解判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，其共轭复数的虚部为1，B错误； 对于C，取，则，，C错误； 对于D，设，则， ，D正确. 故选：AD 10. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A 若，，则 B. C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的定义即可判断A；根据即可判断B；根据，可得，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以或， 所以，故C正确； 对于D，若，则， ，故D错误. 故选：AC. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. 为锐角三角形 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简已知条件，再结合三角函数,正余弦定理的性质逐一分析选项. 【详解】已知，根据二倍角公式，可得，则，即. 因为，所以，可得. 则，可得. 因为，所以，，两边同时除以，可得，故A选项正确. 由，可知与同号，又因为，所以B,C都是锐角. ，所以也是锐角，因此为锐角三角形，故B选项正确. 因为，所以（当且仅当时取等号）. ，因为在上单调递增，且，所以，故C选项错误. 根据余弦定理，由，可得. ，因为（当且仅当时取等号），所以. 又因为，所以，当且仅当且时取等号，而不成立，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】∵向量，，， ∴，解得. 故答案为：. 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的范围求出的范围，再利用三角函数的平方关系求出的值，最后结合二倍角公式和诱导公式求出的值. 【详解】已知，则，所以. 又因为，所以. 根据三角函数平方关系，可得： 可得： 因为，所以. 再根据二倍角公式，可得： ① 又因为 ② 联立①②求解，因为，所以，. 由①得，代入②可得： 设（），则，两边同时乘以得： ，解得或，即或. 由于，则可以再缩小，因此. 因此.由于， 而 ， ， 则. 故答案为：. 14. 《数书九章>是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c，求面积S的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即： ，现有的三边满足，则的最大值______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理得，再设，则可化简得，再计算的范围，即可求最值. 【详解】在中利用正弦定理，可化简为， 设，则，则， 则， 则， 则， 因，则，得， 得， 则当时，有最大值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数z满足和均为实数，其中i为虚数单位． （1）求复数z； （2）若z是方程的一个根，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，（），得，，根据其为实数，列方程求出，进而得到复数； （2）将z的值，代入方程中，化简得到实数m的值. 【小问1详解】 设，（），则， 因为和均为实数，所以，， 则，所以复数． 【小问2详解】 因为z是方程的一个根，则有 整理得：，所以，则 16. 已知，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件由同角三角函数基本关系求出的值，再由正弦的二倍角公式即可求解； （2）由同角三角函数基本关系求出的值，再由两角差的正切公式计算 即可求解. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以； （2）由（1）知：，， 所以， . 17. 已知点，， （1）若A，B，C三点共线，求实数k的值； （2）若为等腰三角形，求实数k的值； （3）若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算以及共线向量的坐标表示求解； （2）分不同的相等边的情况进行解答，借助等腰三角形三线合一和平面向量垂直的坐标表示求解； （3）根据平面向量垂直的坐标表示确定实数k的值，再求夹角坐标公式求解. 【小问1详解】 因为A，B，C三点共线，所以，共线，即， 又，，则有，所以； 【小问2详解】 ①若，取AB中点D，则， 又，，则AB中点， 而，，得：， ②若，取BC中点E，则， 又，，， 由，得或3， 由（1）得：时，A，B，C三点共线，舍去．所以， ③若，取AC中点F，则， 又，，， 由，得，方程无解， 综上，或5； 【小问3详解】 设，因为四边形ABCD为矩形，所以，， 又，，，则，，， 则，，则， 综上，向量与夹角的余弦值为. 18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______． （1）求角B； （2）已知，D为线段AC上的一点． ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若，求BD的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）选①时，用正弦定理把边化为角，约去不为的，得到与关系，进而求出，确定的值. 选②时，根据三角形面积公式化简条件，同样得到与关系，求出确定. 选③时，利用三角函数的两角和正切公式，结合已知条件求出，从而得到的值. （2）①通过三角形面积公式得出BD与ac的关系，再利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，进而得到BD的最大值； ②先根据正弦定理求出外接圆半径，再利用向量关系得到的表达式，通过三角函数的恒等变换化简，最后根据的取值范围求出的最大值，从而得到BD的最大值. 【小问1详解】 选择①：条件即， 由正弦定理可知，， 在中，，所以，， 所以，且，即，所以 选择②：条件即， 即， 在中，，所以，则，所以，所以 选择③：条件即， 所以， 在中，，所以． 【小问2详解】 ①因为的面积，所以 在中，由余弦定理得： 所以，从而 当且仅当取等．所以BD的最大值为 ②由正弦定理得：，R为外接圆半径， 因为， 则 因为，故当，即时，取得最大值 则BD的最大值为 19. 费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当的一个内角大于120°时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题： 在中，角所对的边分别是，若，． （1）求； （2）设点为的费马点， ①若，求； ②设，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角变换公式化简后可得，故可求； （2）①由向量的数量积的定义结合面积公式可求，故可求；②由正弦定理结合正切函数的性质可求比值的范围. 【小问1详解】 在中， 由正弦定理得： 因为在中，，，从而且，所以. 【小问2详解】 ①设，， 则，则 由得：，则 在中，由余弦定理得： 代入得：，则，或，，则 ②根据题意得：因为，所以的三个内角均小于， 从而费马点P在的内部，设， 则，，， 在和中，分别由正弦定理得：， 两式相除得： 因为，所以， 则的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$