2025年中考数学二轮重难点几何最值模型之阿氏圆专题综合复习

2025年中考数学几何最值模型之阿氏圆专题综合复习 【模型背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面内存在两个定点A、B，则所有满足(k＞0且k≠1)的点P运动轨迹为一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称为阿氏圆 【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ （1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则． 证明：，，即 （2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则． 证明：在BA延长线上取点E使得AE＝AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD＝ED且AD平分∠BDE，则，即． 接下来开始证明步骤： 如图，PA：PB＝k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点； 又∠MPN＝90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆． 【模型总结】 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 计算：PA+kPB的最小值。 第一步：确动点的运动轨迹（圆），以点0为圆心、r为半径画圆； （若圆已经画出则可省略这一步） 第二步：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的固定端点 与圆心相连接），即连接OP,OB。 第三步：计算这两条线段长度的比k; 第五步：在0B上取点C,使得OC= k∙OP ; =k, ∠O= ∠O，可得△ POC ∽ △ BOP可得： =k, PC=k ∙PB 第六步：则PA+kPB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。 ［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算.］ 【模型拓展】：拓展“阿氏圆”与“胡不归”之间的关系 例1、如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为圆心，4为半径作圆．点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值为__________． 【答案】 【详解】 解：∵AC=6，BC=8，AB=10， ∴, ∴△ABC为Rt△, 在CB上取一点F，使得CF=2，连接FD，AF,如图， ∴CD=4，CF=2，CB=8， ∴， ∵∠FCD=∠DCB， ∴△FCD∽△DCB， ∴， ∴DF= BD， ∴BD+AD=DF+AD， ∵DF+AD⩾AF，AF= = ， ∴BD+AD的最小值是， 故答案为． 变式1、如图，在中，，，，以为圆心、3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为　　 A．7 B． C． D． 【解答】解：如图，在上截取，使得，连接，，． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， ， 的最小值为． 故选：． 变式2、如图，在中，，，，的半径为1，为上一动点，求的最小值． 【解答】解：如图，连接，在上取点，使，连接，， ，的半径为1， ， ， ， ， ， ， 的最小值即为的最小值， 、、三点共线时，最小， 在中，由勾股定理得： ． 的最小值为． 例2、如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=4, BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则 的最小值为 解析：点M与A、C共线，且M点必满足：( 代入CP、CA, 即可得: 2²=4·CM, 得: CM=1,即可确定M点位置， ∴最小值为 变式、如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=12, AC=9, 以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D. 连接AD、BD、CD, 则2AD+3BD的最小值是 . 解析： ∴求 最小值即可. 考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造 AD.当D 点运动到AC边时, DA=3, 此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在 ，∴最小值为 例3、问题提出：如图1，在等边中，，半径为6，为圆上一动点，连接，，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接，在上取点，使，则有，又，， ，，． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为． （2）自主探索：如图3，矩形中，，，为矩形内部一点，且，的最小值为． （3）拓展延伸：如图4，扇形中，为圆心，，，，，点是上一点，求的最小值，画出示意图并写出求解过程． 【解答】解：（1）解：（1）如图1， 连接，过点作于点， ，要使最小， 最小，当点，，在同一条直线时，最小， 即：最小值为， ，， ， 的最小值为 （2）如图， 在上截取，连接，， ，， ，且， ， ， 当点，点，点三点共线时，的值最小， 的值最小值为， （3）如图， 延长，使，连接，，，过点作于点， ，， ，且，， ，且 ， 当点，点，点三点共线时，的值最小， ， ，且， ， 的最小值为． 1、如图，平面直角坐标系中，在轴、轴上分别有点，，动点在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，求的最小值． 【答案】 【详解】 解：如解图，在轴上取一点，连接，，．则 ，，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∴， 当点，，三点共线时，的值最小，为的长． ∵． ∴当为与圆的交点时，有最小值为． 2、如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PCPD的最小值为 　　． 【解答】解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP， ∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点， ∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3， ∴，且∠COP＝∠EOP ∴△OPE∽△OCP ∴， ∴EP＝2PC， ∴PCPD（2PC+PD）（PD+PE）， ∴当点E，点P，点D三点共线时，PCPD的值最小， ∵DE13， ∴PD+PE≥DE＝13， ∴PD+PE的最小值为13， ∴PCPD的值最小值为． 故答案为：． 3、如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　　． 【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH， ∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9）， ∴AO＝1，OB＝2，OH＝9， ∵，∠AOP＝∠POH， ∴△AOP∽△POH， ∴， ∴HP＝3AP， ∴3PA+PB＝PH+PB， ∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长， ∴BH， 故答案为：． 4、新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，（问题解决）如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P， ∵∠APC=∠BPA， AB 2AC ∴△APC∽△BPA， ∴ ∴BP=2AP，CP=AP ∵BP－CP=BC=4 ∴2AP－AP=4 解得：AP= ∴BP=，CP=，即点P为定点 ∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大 S△A1BC=BC·A1P=×4×= 即△ABC面积的最大值为 故答案为：． 5、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PDPC的最小值为 　　． 【解答】解：如图，在BC上取一点T，使得BT＝1，连接PB，PT，DT． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCT＝90°， ∵CD＝4，CT＝3， ∴DT5， ∵PB＝2，BT＝1，BC＝4， ∴PB2＝BT•BC， ∴， ∵∠PBT＝∠PBC， ∴△PBT∽△CBP， ∴， ∴PTPC， ∵PDPC＝PD+PT≥DT＝5， ∴PDPC的最小值为5， 故答案为：5． 6、正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为______________． 【详解】 根据条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，如图1： ∵正方形ABCD中AB=，M为中点 ∴CM=BM=， ∵∠MPC＝45° ∴半径为1 作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2： 根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP， ∴，∠NOP=∠AOP ∴△OPN∽△OAP ∴即PN=PA ∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN） 连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示： ∵CN=OC+CN=1+=， ∴NG=CG=， ∴BG=， 根据勾股定理可得，BN=, ∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=． 7、如图，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值． 答案 【分析】作于，取的中点，连接，，，根据切线的性质得为的半径，接着证明，得到，所以，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最小值． 【详解】解： 如图所示，作于，取的中点，连接，，， 为切线， 为的半径， ， ，， 而， ， ， ， ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 而， ∴的最小值为， 即的最小值为． 8、如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 答案 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2， 取OB的中点I，连接PI， ∴OI＝IB＝， ∵， ， ∴ ，∠O是公共角， ∴△BOP∽△POI， ∴， ∴PI＝PB， ∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小， 作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°， ∴IE＝BE＝BI＝1， ∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝， ∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB）， ∴PA＋PB的最小值是AI＝． 故答案是． 9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP． 求①APBP； ②2AP+BP； ③AP+BP； ④AP+3BP的最小值． 【解答】解：①取CE的中点F，连结PF，AF， ∵CF＝1，CB＝4，CP＝2， ∴， ∵∠PCF＝∠BCP， ∴△PCF∽△BCP， ∴， ∴， ∴， ＝AP+PF， 当P在AF上时，AP+PF最小， 最小值为AF的长， ， ， 的最小值为， ②∵2AP+BP＝2， ∴2AP+BP的最小值为， ③在DC取一点G，使CG ∵， ∴， ∵∠ACP＝∠PCG， ∴△CGP∽△CPA， ∴， ∴， ∴， ＝GP+BP⩾BG， 当P在BG上B， GP+BP＝BG， ， ∴的最小值为， ④∵， ∴AP+3BP的最小值为． 10、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ． （2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ． 答案 【详解】（1） 如图3中，在上取一点，使得， ，，， ， ， ， ， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最小值为， 的最小值为， ， 的最大值为， 故答案为：，； （2） 如图4中，在上取一点，使得，作交于点， ，，， ， ， ， ， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最小值为， 的最小值为， 在中，，， ，， 在中，， 的最小值为， ， 的最大值为， 故答案为：，． 11、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴、y轴分别交于A、C两点, 抛物线 经过A、C两点，与x轴的另一交点为B. (1) 求抛物线解析式及B点坐标； (2)如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PC、PA，当点 P 运动到某一位置时， 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由. 解析：(1) 抛物线解析式： 点B坐标为(5, 0); (2) 取点D (4, 0) 满足 即最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学几何最值模型之阿氏圆专题综合复习 【模型背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面内存在两个定点A、B，则所有满足(k＞0且k≠1)的点P运动轨迹为一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称为阿氏圆 【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ （1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则． 证明：，，即 （2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则． 证明：在BA延长线上取点E使得AE＝AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD＝ED且AD平分∠BDE，则，即． 接下来开始证明步骤： 如图，PA：PB＝k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点； 又∠MPN＝90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆． 【模型总结】 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 计算：PA+kPB的最小值。 第一步：确动点的运动轨迹（圆），以点0为圆心、r为半径画圆； （若圆已经画出则可省略这一步） 第二步：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的固定端点 与圆心相连接），即连接OP,OB。 第三步：计算这两条线段长度的比k; 第五步：在0B上取点C,使得OC= k∙OP ; =k, ∠O= ∠O，可得△ POC ∽ △ BOP可得： =k, PC=k ∙PB 第六步：则PA+kPB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。 ［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算.］ 【模型拓展】：拓展“阿氏圆”与“胡不归”之间的关系 例1、如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为圆心，4为半径作圆．点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值为__________． 变式1、如图，在中，，，，以为圆心、3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为　　 A．7 B． C． D． 变式2、如图，在中，，，，的半径为1，为上一动点，求的最小值． 例2、如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=4, BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则 的最小值为 变式、如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=12, AC=9, 以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D. 连接AD、BD、CD, 则2AD+3BD的最小值是 . 例3、问题提出：如图1，在等边中，，半径为6，为圆上一动点，连接，，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接，在上取点，使，则有，又，， ，，． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为． （2）自主探索：如图3，矩形中，，，为矩形内部一点，且，的最小值为． （3）拓展延伸：如图4，扇形中，为圆心，，，，，点是上一点，求的最小值，画出示意图并写出求解过程． 1、如图，平面直角坐标系中，在轴、轴上分别有点，，动点在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，求的最小值． 2、如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PCPD的最小值为 　　． 3、如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　　． 4、新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，（问题解决）如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 5、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PDPC的最小值为 　　． 6、正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为______________． 7、如图，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值． 8、如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP． 求①APBP； ②2AP+BP； ③AP+BP； ④AP+3BP的最小值． 10、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ． （2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ． 11、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴、y轴分别交于A、C两点, 抛物线 经过A、C两点，与x轴的另一交点为B. (1) 求抛物线解析式及B点坐标； (2)如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PC、PA，当点 P 运动到某一位置时， 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$