2025年中考数学重难点《与圆有关的最值问题》专题复习讲义

2024-2025学年度中考数学重难点《与圆有关的最值问题》专题复习 考点概述 1.线段长度的最值： 常见的有圆内或圆外一点到圆上某点的线段长度的最值，比如圆外一定点到圆上一点的最大距离和最小距离；圆内弦长的最值（直径是圆中最长的弦）等。 2.面积的最值：以圆为背景，求与圆相关的三角形、四边形等图形面积的最值问题。例如，圆的内接三角形，当满足一定条件时面积取得最值。 3.角度的最值：圆中某些角度（如圆周角、圆心角等）在特定条件下的最值情况，比如圆内接四边形的内角最值等。 考点分类 1.线段最值问题：包括圆内或圆外一点到圆上某点的线段长度的最值，以及圆内弦长的最值等。 2.线段和差最值问题：利用三角形三边关系、对称等性质，求圆中相关线段和或差的最值。 3.线段平方和最值问题：通常结合勾股定理和圆的方程，将线段平方和转化为函数来求解。 4.面积最值问题：根据圆的半径、圆心角等因素，结合相关图形的面积公式分析计算。 5.周长最值问题：与圆的弧长相关，考虑弧所对的圆心角以及圆的半径。 6.旋转最值问题：通过旋转的性质和圆的特点，找出旋转过程中的关键位置确定最值。 7.翻折最值问题：利用翻折的对称性和圆的几何特征，找到对应的最值情况。 8.阿氏圆求最值问题：需要掌握相似三角形的性质和阿氏圆的相关定理来求解。 9.最值综合问题：综合了以上多种题型的特点和方法，对圆的知识有全面深入的考查。 解题思路 1.利用圆的性质： （1）圆心到圆上各点距离相等： 已知圆外一点P和圆O，圆心O到圆上各点距离为半径r，连接PO并延长交圆于A、B两点（A为PO延长线与圆的交点，B为OP反向延长线与圆的交点），则PA为点P到圆上的最大距离；PB为点P到圆上的最小距离 (2)垂径定理：对于圆内弦长的问题，弦心距与弦长有密切关系。当弦心距最小时（弦心距为0，即弦过圆心时），弦长最大为直径；通过垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来求解弦长。 2.建立函数关系： （1）设变量：若所求的最值问题中涉及到一些变化的量，可设其中一个量为自变量x。 （2）表示相关量：用含自变量x的式子表示出要求最值的量y。 （3）求最值：根据函数的性质求出y的最值。 3.利用几何图形的变换： （1）对称变换：当图形中存在定点和动点在圆上的情况时，可以利用对称的性质，将某些线段进行转化，使问题变得简单。例如，求圆上一点到两定点距离之和的最小值时，可通过作其中一定点关于某直线（如圆的对称轴）的对称点，再利用两点之间线段最短来求解。 （2）平移变换：对于一些复杂的图形，通过平移圆或圆内的线段等，将问题转化为更熟悉的几何模型来解决。 4. 运用三角形三边关系：在解决与圆有关的线段长度最值问题时，常常将所求线段放在三角形中，利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的性质来确定最值。 5.考虑特殊位置：在求面积或角度的最值时，通过分析图形的特殊位置（如内接三角形为等腰三角形、直角三角形等特殊情况）来确定最值。例如，圆的内接三角形中，当三角形为等边三角形时，其面积相对较大；在求角度最值时，当某些线段处于特殊位置（如垂直、平行等）时，角度可能取得最值。 题型一 隐圆及将军饮马最值问题 1．（2024·浙江宁波·二模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 答案：A 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 题型二 隐圆线段最值问题 1．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，．点P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是（    ）．    A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ， ， ， ， ∴点P在以为直径的⊙O上， 如图，连接交于点P，    此时最小，在中， ， ， ， ， ， ， ， 最小值为：， 故选：C． 题型三 圆中的旋转最值问题 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接，点M为的中点，点N为的中点连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，得点F在以B为圆心，以2为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最大的弦，得到当A、B、F三点共线时，AF最大， ∴ AF=AB+BF， ∵，， ∴， ∴ AF=， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴ MN是△AEF的中位线， ∴ MN==， 故选：D． 题型四 圆中与切线有关的线段最值问题 1、如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作⊙O的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接OP，OQ，作OH⊥AB于H，如图， 当x=0时，y=−x+8=8，则B(0，8)； 当y=0时，−x+8=0， 解得x=8，则A(8，0)， ∵OA=OB， ∴△OAB为等腰直角三角形， ， ∵OH⊥AB， ， ∵PQ为O的切线， ∴OQ⊥PQ， 在Rt△POQ中， ， ∴当OP最小时，PQ最小， 而OP=OH时，OP最小， ∴切线长PQ的最小值为 ， 故选B． 题型五 圆中的将军饮马线段最值问题 1、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E， ∴DE=D′E， ∴CE+DE=CE+D′E=CD′， ∵∠CAB=30°， ∴∠COB=2∠CAB=60°， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°， ∴∠COD′=90°， ∵AB=2， ∴OC=OD′=1， ∴CD′=， ∴CE+DE最小值为：， 故选：B． 题型六 圆中的翻折（隐圆）最值问题 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点是的中点， ， 将沿所在直线翻折得到△， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图）， 此时即为最小值，过作，交的延长线于， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 当与重合时，最大， 此时，， 在中，由勾股定理得： ， 当与重合时，不存在， ， 故选：C． 一、选择题 1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，直径，的夹角为，为上的一个动点（不与点，，，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为，则的长（　　） A．随点运动而变化，最大值为 B．等于 C．随点运动而变化，最小值为 D．随点运动而变化，没有最值 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知两点的坐标分别为，点分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，的值是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）四个全等的直角三角形和小正方形组成的大正方形如图所示，以为斜边作，连结．若正方形面积分别是4和10，则的最大值和最小值差是（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（22-23九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，中，为边上任意一点，将绕着点顺时针方向旋转，得到．设点运动路线的长度为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．6 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接，则面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点是的中点，于点，点是上的一个动点（不与重合），分别是，的中点，若，则的长（    ） A．等于6 B．随点的运动而变化，最大值是6 C．随点的运动而变化，最小值是6 D．随点的运动而变化，没有最值 12．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）如图，为的直径，，点为半圆上一动点，以为边向外作正 (点在直线的上方)，连接，则线段的(    ) A．随点C的运动而变化，最小值为 B．随点C的运动而变化，最大值为8 C．随点C的运动而变化，最大值为 D．随点C的运动而变化，但无最值 14．（24-25九年级上·四川南充·期末）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ）    A．3 B．4 C． D． 15．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 二、填空题 16．（2025·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 ． 17．（2025·河北保定·二模）如图，点，，，，，是的六等分点，连接，，点为弦的中点，点为上一点．已知的直径为，则的周长最小值为 ． 18．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习） 如图，在中，，，，D是内一动点，为的外接圆，交直线于点P，交边于点E，若，则的最小值为 ． 19．（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是 20．（2025·河南郑州·一模）如图，在中，，，，E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，．则点C到的距离为 ，面积的最小值为 ． 21．（2023·河南信阳·模拟预测）如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 22．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别是，边上的动点．以为斜边，在的左侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值是 ． 23．（2025·陕西西安·三模）如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为 ． 24．（2025·河北张家口·一模）如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为 ． 25．（2025·河南信阳·三模）如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 26．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在矩形中，，，点在边上运动，以为直径作圆与交于点，连接，则线段的最小值为 ． 27．（2025·山东济南·模拟预测）如图，菱形中，，点P是直线上一动点，点E在直线上，若，则的最小值是 ． 28．（2025·四川泸州·一模）如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为 ． 29．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ． 30．（2025·河南焦作·二模）如图，在矩形和矩形中，，矩形绕点在平面内旋转一周的过程中，直线，相交于点，则 °，的最小值为 ． 参考答案 1．B 【分析】延长，，分别与圆交于点，，连接，作，垂足为，与圆交于点，根据垂径定理得：为的中点，为的中点，为的中点，继而得到为的中位线，则有，由于点在运动的过程中，、的大小保持不变，根据弦所对的圆周角不变，可以得出的长度保持不变，即的长度为定值，不随点运动而变化，求出长度，即可确定的长． 【详解】解：延长，，分别与圆交于点，，连接，作，垂足为，与圆交于点，    ∵，， ∴由垂径定理得：为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵点在运动的过程中，的大小保持不变， ∴的长度保持不变，即的长度为定值，不随点运动而变化， ∵，， ∴， 又∵， ∴，由垂径定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的中位线的性质、圆周角定理和勾股定理，根据弦所对的圆周角不变，得出弦长不变是解答本题的关键． 2．C 【分析】本题考查了圆周角，点到圆上的距离，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意判断出点的运动轨迹是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点，由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为,由勾股定理可得，再证明,得到，求出的长即可． 【详解】解：， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点， 由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为, 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， , , ， ， 即当取得最小值时，则的长为， 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查坐标与图形，圆的基础知识，正弦的计算，掌握切线的性质，正弦的计算方法是解题的关键．设直线交轴于．由题意，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，推出当直线与相切时，的面积最小，即可解决问题． 【详解】解：如图，设直线交轴于， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴当直线与相切时，的面积最小， ∵是切线，点是切点， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了圆外一点到圆上距离的最值问题，正方形的性质，取中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接并延长，交与两点（点M在点N的左侧），根据题意，可得点P在以点为圆心，为直径的圆上运动，当两点重合时，有最大值，即最大值为，当两点重合时，有最小值，即最大值为，即可得出的最大值和最小值差是的长，由是的直径，利用大正方形的面积为10，求出的长即可得解． 【详解】解：取中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接并延长，交与两点（点M在点N的左侧）， ∵是直角三角形，且， ∴点P在以点为圆心，为直径的圆上运动， 当两点重合时，有最大值，即最大值为， 当两点重合时，有最小值，即最大值为， ∴的最大值和最小值差是， ∵过点O， ∴是的直径， ∴， ∵正方形面积是10， ∴， ∴， ∴的最大值和最小值差是． 故选：B． 5．B 【分析】根据题意，点运动路线的长度为圆心为点C，圆心角为，半径为的弧长，故当最小时，弧长最小，根据垂线段最短，当时，最小，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕着点顺时针方向旋转，得到， ∴点运动路线的长度为圆心为点C，圆心角为，半径为的弧长， ∴， ∴当最小时，弧长最小， 根据垂线段最短，当时，最小， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，垂线段最短，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 6．A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由，得到在以为直径的上，连接交圆于，当与重合时，线段的长最小，由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段的最小值为8． 【详解】解：如图， ，， ， 在以为直径的上， 连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， ， ， ， ， ， 线段的最小值为8． 故选答案为：A． 7．A 【分析】作于交于,当点与重合时，的面积最小，求出的长即可解决问题． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于两点， 令，则，令，则， 解得，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 如图所示，作于交于,过点作轴于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当点与重合时，的面积最小，最小值， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、勾股定理、锐角三角形函数的计算、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题． 8．A 【分析】在y轴负半轴上取，连接，．证明是的中位线得，可得当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小，求出，可得以的最小值是． 【详解】解：在y轴负半轴上取，连接，． ∵点C为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小． ∵、， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、圆的性质、三角形中位线，确定出OC最小时点P的位置是解题关键， 也是本题的难点． 9．C 【分析】取中点M，连接，由圆周角定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到，由直角三角形斜边中线的性质推出，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，于是线段的最小值是． 【详解】解：取中点M，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴线段的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，圆周角定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 10．A 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 11．A 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形．连接，，，，，根据垂径定理得到，然后根据正弦求出的度数，再根据求出的度数，进而解题即可． 【详解】如图，连接，，，，， ∴， 设圆的半径为， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， 又∵分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 12．B 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键． 由可得推出，推出点E在以为直径的圆上运动，可得的最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动， 设的中点为， ∴当C、E、共线时的最小，最小值为， ∵是等边三角形， ∴经过点O，，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选B． 13．B 【分析】先利用判断出，进而得出点在运动过程中，始终是，再构造出直角三角形，即可判断出点和点重合时，最大，即可得出的最大值． 【详解】如图，连接， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 过点作于， 在中，， ， 当点在运动的过程中，要最大，即最大，而， ． 故选B． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，含的直角三角形的性质，解本题的关键是构造出直角三角形，判断出最大等于． 14．B 【分析】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当时，的值最小，则取得最小值是解题关键．设直线分别与轴，轴交于点，连接，先求出，再根据圆的切线的性质可得，根据勾股定理可得，从而可得当时，的值最小，则取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得． 【详解】解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接，    当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵轴轴， ∴， ∵的圆心为，半径为， ∴，， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴当的值最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 15．B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，即， 解得； 当时，则，即， 解得， 综上，当与相似时，或，故①错误； ②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为，故②正确； ③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度， 由得， ∴， ∴点到距离的最小值为，故③正确； ④取的中点，连接、， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为， 过O作于H，则，又， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴的最大值是，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 16．/ 【分析】点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 17．/ 【分析】如图所示，连接，，，，，，，首先得出当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，然后得到，是等边三角形，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，，，， ∵点，，，，，是的六等分点， ∴，是直径，点B和点F关于对称， ∴， ∴的周长， ∴当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度， ∵的直径为， ∴， 由题意得，是等边三角形，， ∴， ∵点为弦的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正多边形和圆，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定，轴对称的性质等知识，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 18．/ 【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，当、、三点共线时，最小，求出此时的长即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 点在以为弦，的圆弧上运动， 如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接，，，，，，    则， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 此时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 19．/ 【分析】本题主要考查直角三角形的斜边的中线性质；先求出进而得出，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即，即可得出t最小时，点P在上，用两点间的距离公式即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵、、， ∴， ∴，     ∵， ∴ 要t最小，就是点A到上的一点的距离最小， ∴点P在上， ∵， ∴， ∴t的最小值是， 故答案为：． 20． / 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，过C作于N，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，此时面积最小，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，， ， E为边的中点， ， 将沿翻折得， ， 点在以E为圆心，4为半径的圆上运动， 如图，过C作于N，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，此时面积最小， ， ， 在中，，， ， ， ， 面积的最小值为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强，得到点的运动路线是解答的关键． 21． 【分析】此题考查了正方形的性质、圆外一点到圆上点的距离的最值等知识， 先确定点位于以点为圆心，半径为1的圆上．连接交于点，延长交于点，则，进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，点位于以点为圆心，半径为1的圆上．如图，连接交于点，延长交于点，则， ∵边长为2的正方形的边的中点为， ∴ ∴， ∴， 由图可知，的最大值为，最小值为， ∵以为直角边作等腰直角， ∴斜边始终为的倍． 的最大值为，最小值为． 故答案为：， 22． 【分析】如图，取的中点O，连接，，，首先得到，G，B，F四点共圆，求出，得到点G的运动轨迹是直线．作于点，交于点M，然后根据等腰直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】如图，取的中点O，连接，，． ，， ， ，G，B，F四点共圆， ， 点G的运动轨迹是直线． 作于点，交于点M． 根据垂线段最短，可知的最小值为的长． ，，，， ，， ，， ， 的最小值为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23．/ 【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，圆周角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题． 连接，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， 点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图： 当，，三点共线时，的值最小， 四边形是菱形，，， ，， ∴， ∵，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 24． 【分析】由折叠的性质得，，，连接，当点为和的交点时，的周长最小，最小值为．由垂径定理得，由勾股定理得，证明为正三角形，求出，然后利用勾股定理求出，进而可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，设翻折前后点O的对称点为D，连接， ∵点翻折到点，点在上， ∴，，． 连接，当点为和的交点时，的周长最小， 此时，，周长的最小值为． ，， ∴． ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵，， ∴， ∴为正三角形． ∵为中点， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，确定出点P的位置是解答本题的关键． 25． 【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，得出点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，， 点是等边三角形边的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图，    当点在线段上时，的值最小，最小值为， 当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加助线是解决此题的关键． 26． 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理等知识，连接，取中点O，连接，判断点F 在以为直径的圆上运动，则当O、F、B三点共线，且F在线段上时，最小，最小值为，然后在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，取中点O，连接， ∵以为直径作圆与交于点， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， ∴当O、F、B三点共线，且F在线段上时，最小，最小值为， 在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 27． 【分析】连接，作的外接圆，连接．利用相似三角形的性质判断出，得出点E的运动轨迹，可得结论． 【详解】解：连接，作的外接圆，连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在上运动， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质等，找出点E的运动轨迹是解题的关键． 28． 【分析】连接，根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，求出的长，即可得出的半径，证，可得四边形面积，当时，四边形的面积最小，利用三角函数求出的长，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵过点向以P为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为E、F， ∴，， ∵，， ∴， ∵的半径为， ∴， 当时，最小，从而最小，此时， ∵四边形面积， ∴四边形面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定，三角函数的应用等，熟练掌握相关内容是解题的关键． 29．/ 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，坐标与图形性质，垂径定理，连接，作的外接圆，圆心为P，连接，根据内心定义证明，可得，当A，I，P三点共线时，取得最小值，此时，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为P，连接， ∵点I为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 当A，I，P三点共线时，取得最小值， 此时． 故答案为：． 30． 90 【分析】本题考查矩形的性质，圆与多边形的综合，相似三角形的性质和判定以及解直角三角形，综合性比较高，难度较大． ①在矩形和矩形中，，则，由，得到，证明，得到，设直线与直线交于点，，从而得到结果； ②当与相切时，此时的值最小，分点在在上方和下方两种情况讨论，两种情况计算方法相同，在中，，则，，求得的长度，再利用和的关系，即可得结果． 【详解】在矩形和矩形中，， ， ， 又 ， ∴， 设直线与直线交于点， 如图（1）， 则， ， 连接，点在以为直径的圆上运动，如图（2）， 在右侧作，并使，连接，，， 则， 在矩形中，， ，且． ∵， ， ， 四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动，， 若点在上方，则当与相切时，，此时点与点重合，如图（3）， 此时的值最小，， 在中，， ， ， ， ， 若点在下方，如图（4）， 同理可得的最小值为， 综上，的最小值为． 故答案为：90，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度中考数学重难点《与圆有关的最值问题》专题复习 考点概述 1.线段长度的最值： 常见的有圆内或圆外一点到圆上某点的线段长度的最值，比如圆外一定点到圆上一点的最大距离和最小距离；圆内弦长的最值（直径是圆中最长的弦）等。 2.面积的最值：以圆为背景，求与圆相关的三角形、四边形等图形面积的最值问题。例如，圆的内接三角形，当满足一定条件时面积取得最值。 3.角度的最值：圆中某些角度（如圆周角、圆心角等）在特定条件下的最值情况，比如圆内接四边形的内角最值等。 考点分类 1.线段最值问题：包括圆内或圆外一点到圆上某点的线段长度的最值，以及圆内弦长的最值等。 2.线段和差最值问题：利用三角形三边关系、对称等性质，求圆中相关线段和或差的最值。 3.线段平方和最值问题：通常结合勾股定理和圆的方程，将线段平方和转化为函数来求解。 4.面积最值问题：根据圆的半径、圆心角等因素，结合相关图形的面积公式分析计算。 5.周长最值问题：与圆的弧长相关，考虑弧所对的圆心角以及圆的半径。 6.旋转最值问题：通过旋转的性质和圆的特点，找出旋转过程中的关键位置确定最值。 7.翻折最值问题：利用翻折的对称性和圆的几何特征，找到对应的最值情况。 8.阿氏圆求最值问题：需要掌握相似三角形的性质和阿氏圆的相关定理来求解。 9.最值综合问题：综合了以上多种题型的特点和方法，对圆的知识有全面深入的考查。 解题思路 1.利用圆的性质： （1）圆心到圆上各点距离相等： 已知圆外一点P和圆O，圆心O到圆上各点距离为半径r，连接PO并延长交圆于A、B两点（A为PO延长线与圆的交点，B为OP反向延长线与圆的交点），则PA为点P到圆上的最大距离；PB为点P到圆上的最小距离 (2)垂径定理：对于圆内弦长的问题，弦心距与弦长有密切关系。当弦心距最小时（弦心距为0，即弦过圆心时），弦长最大为直径；通过垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来求解弦长。 2.建立函数关系： （1）设变量：若所求的最值问题中涉及到一些变化的量，可设其中一个量为自变量x。 （2）表示相关量：用含自变量x的式子表示出要求最值的量y。 （3）求最值：根据函数的性质求出y的最值。 3.利用几何图形的变换： （1）对称变换：当图形中存在定点和动点在圆上的情况时，可以利用对称的性质，将某些线段进行转化，使问题变得简单。例如，求圆上一点到两定点距离之和的最小值时，可通过作其中一定点关于某直线（如圆的对称轴）的对称点，再利用两点之间线段最短来求解。 （2）平移变换：对于一些复杂的图形，通过平移圆或圆内的线段等，将问题转化为更熟悉的几何模型来解决。 4. 运用三角形三边关系：在解决与圆有关的线段长度最值问题时，常常将所求线段放在三角形中，利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的性质来确定最值。 5.考虑特殊位置：在求面积或角度的最值时，通过分析图形的特殊位置（如内接三角形为等腰三角形、直角三角形等特殊情况）来确定最值。例如，圆的内接三角形中，当三角形为等边三角形时，其面积相对较大；在求角度最值时，当某些线段处于特殊位置（如垂直、平行等）时，角度可能取得最值。 题型一 隐圆及将军饮马最值问题 1．（2024·浙江宁波·二模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二 隐圆线段最值问题 1．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，．点P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是（    ）． A．5 B． C． D． 题型三 圆中的旋转最值问题 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接，点M为的中点，点N为的中点连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．6 C． D． 题型四 圆中与切线有关的线段最值问题 1、如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作⊙O的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型五 圆中的将军饮马线段最值问题 1、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 题型六 圆中的翻折（隐圆）最值问题 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 一、选择题 1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，直径，的夹角为，为上的一个动点（不与点，，，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为，则的长（　　） A．随点运动而变化，最大值为 B．等于 C．随点运动而变化，最小值为 D．随点运动而变化，没有最值 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知两点的坐标分别为，点分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，的值是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）四个全等的直角三角形和小正方形组成的大正方形如图所示，以为斜边作，连结．若正方形面积分别是4和10，则的最大值和最小值差是（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（22-23九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，中，为边上任意一点，将绕着点顺时针方向旋转，得到．设点运动路线的长度为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．6 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接，则面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点是的中点，于点，点是上的一个动点（不与重合），分别是，的中点，若，则的长（    ） A．等于6 B．随点的运动而变化，最大值是6 C．随点的运动而变化，最小值是6 D．随点的运动而变化，没有最值 12．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）如图，为的直径，，点为半圆上一动点，以为边向外作正 (点在直线的上方)，连接，则线段的(    ) A．随点C的运动而变化，最小值为 B．随点C的运动而变化，最大值为8 C．随点C的运动而变化，最大值为 D．随点C的运动而变化，但无最值 14．（24-25九年级上·四川南充·期末）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ）    A．3 B．4 C． D． 15．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 二、填空题 16．（2025·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 ． 17．（2025·河北保定·二模）如图，点，，，，，是的六等分点，连接，，点为弦的中点，点为上一点．已知的直径为，则的周长最小值为 ． 18．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习） 如图，在中，，，，D是内一动点，为的外接圆，交直线于点P，交边于点E，若，则的最小值为 ． 19．（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是 20．（2025·河南郑州·一模）如图，在中，，，，E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，．则点C到的距离为 ，面积的最小值为 ． 21．（2023·河南信阳·模拟预测）如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 22．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别是，边上的动点．以为斜边，在的左侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值是 ． 23．（2025·陕西西安·三模）如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为 ． 24．（2025·河北张家口·一模）如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为 ． 25．（2025·河南信阳·三模）如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 26．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在矩形中，，，点在边上运动，以为直径作圆与交于点，连接，则线段的最小值为 ． 27．（2025·山东济南·模拟预测）如图，菱形中，，点P是直线上一动点，点E在直线上，若，则的最小值是 ． 28．（2025·四川泸州·一模）如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为 ． 29．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ． 30．（2025·河南焦作·二模）如图，在矩形和矩形中，，矩形绕点在平面内旋转一周的过程中，直线，相交于点，则 °，的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$