精品解析：江苏省常州高级中学、江苏省溧阳中学2024-2025学年高一下学期期中质量调研数学试卷

2024～2025学年第二学期高一年级期中质量调研 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 2025.4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式结合即可求解. 【详解】由两角差余弦公式得. 故选：C. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：B 3. 点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（ ） A. 点P在线段AB上 B. 点P在线段AB延长线上 C. 点P在线段AB反向延长线上 D. 点P在直线AB外 【答案】C 【解析】 【分析】由题设条件得出，即可得出点P与AB的位置关系. 【详解】 ∴点P在线段AB反向延长线上 故选：C. 4. 已知，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简已知等式可得，进而根据同角三角函数基本关系式可求，再根据二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】解：因为，又， 所以， 则. 故选：C 5. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得． 【详解】由题可知，， 所以，所以， 故选：A． 6. 已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角正弦公式结合正弦定理即可直接得到答案. 【详解】因为，即， 由正弦定理可得， 可得， 因为，则，， 所以，解得， 故选：B． 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和差公式结合二倍角公式计算化简即可. 【详解】由题意得， 又因， 所以，整理得， 因为，所以，所以，即，解得． 故选:B． 8. 设是的外心，点为的中点，满足，，若，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先由，，，结合余弦定理及可得，进而由三角形面积公式、同角三角函数关系恒等式得，由此即可得解. 【详解】 因为是的外心，点为的中点，所以， 由，， 则 所以，即， 由，得，所以， 所以的面积为 ， 等号成立当且仅当， 综上所述，面积的最大值为4. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ）． A. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 B. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 C. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为 D. 已知，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】结合单位向量、向量的基底、投影向量、虚数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不所有单位向量均相等，A错误； 对于B，∵，为一组基底，∴，不共线， ∴，也不共线，∴，也可以作为一组基底，B正确； 对于C选项，，两边平方得，， 所以在方向上的投影向量为，C选项正确； 对于D选项，复数为纯虚数， 则，解得，D选项错误，故选BC． 10. 把函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由三角恒等变换得，根据图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，求得，根据正弦函数的性质逐一判断即可． 【详解】， 将图象向左平移个单位长度得，， 因为图象恰好关于轴对称， 所以，即， 又，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，， 因为在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，当时，， 则，所以，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，， 设， 若在区间上至少存在5个零点，则与在至少有五个交点， 所以，解得，故D正确； 故选：BCD． 11. 中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ ） A. 若是中线，则 B. 若是高，则 C. 若是的角平分线，则 D. 若，则是线段的一个三等分点 【答案】BD 【解析】 【分析】先由余弦定理求出，对于A若是中线，则，利用向量即可判断，对于B若是高，则即可判断，对于C若是的角平分线，则，由 即可判断，对于D若是线段的一个三等分点，则或，利用向量求即可判断. 【详解】由余弦定理有，又，所以， 对于A：若是中线，则，所以 ，所以，故A错误； 对于B：若是高，所以，所以，故B正确， 对于C：若是的角平分线，所以， 由有：， 所以，故C错误； 对于D：假设是线段的一个三等分点，则或， 当时， ，所以， 当时， ，所以， 故D正确， 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据求得，根据复数模的计算公式求解即可． 【详解】设，则， 所以，所以， 所以， 故答案为：． 13. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】将题设条件“切化弦”，结合化简可得结果. 【详解】由得，即， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD. ， 得即故. 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中为虚数单位，若. （1）若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的除法运算化简，由求出，即可得到，再求出其共轭复数，最后根据复数的几何意义得解； （2）将代入方程，再由复数相等得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 ， 又，所以，解得，所以， ，则在复平面内对应的点的坐标； 【小问2详解】 是关于的方程的一个根， ，得， 所以，解得. 16. 已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点． （1）已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标； （2）已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得后，得到的坐标，根据平面向量的坐标表示，即可求解； （2）求得的坐标后，利用，得到方程，求解后，利用二倍角公式计算即可 【小问1详解】 由题意知， ， 又， 所以点P坐标为． 【小问2详解】 由题意得：． 因为，所以， 所以， 整理得：①，则， 又，② 因为，所以， 由①②解得：，，或，， 所以． 17. 如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. （1）用，表示，并求的模； （2）求的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）表达出，平方后求出答案； （2）由垂直关系得到. 【小问1详解】 等腰梯形，，，，，， ， 为的中点，， 作，垂足为，因为，， 所以，又，所以， ， ； 【小问2详解】 ， 又， 在中， . 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若的重心为，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，再结合和差公式及二倍角公式即可求解; （2）根据重心的性质可得，所以，两边平方后结合余弦定理可得，最后由正弦定理化简可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 化简得，，， 即， 由解得或（舍去）， ，． 【小问2详解】 记中边上的中线长为，由重心的性质得， 所以， 即， 等式两边平方可得， 所以， 又由余弦定理得， 所以， 整理得，解得， 由正弦定理得． 19. 在锐角中，记的内角，，的对边分别为，，，，点为的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、可得，再由求出，利用向量的运算推得，得为的外心，再由正弦定理即可求解； （2）由向量的数量积公式可得，求出的范围，再根据正弦函数的性质即可求解； （3）取的中点，由向量的加法运算可得，，再由平面向量数量积的定义可得，代入、得、，联立两式求出，利用正弦定理、对勾函数的单调性即可求得的取值范围． 小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因为，所以，则， 又，所以， 由，可得， 即得， 则，即点为的外心， 由正弦定理得，，所以． 【小问2详解】 因为，所以，且， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，结合余弦函数的图象可得， 从而， 故的取值范围为． 【小问3详解】 如图，取的中点，连接，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 由，可得， 即，也即①， 又，即，也即②， 联立①②可得，， 所以，， 由正弦定理，， 因为，所以，可得， 令，， 设函数，令， ， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以， 即，故， 即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期高一年级期中质量调研 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 2025.4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A B. C. D. 3. 点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（ ） A. 点P在线段AB上 B. 点P在线段AB延长线上 C. 点P在线段AB反向延长线上 D. 点P在直线AB外 4. 已知，，则( ) A. B. C. D. 5. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知中，角，，所对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是的外心，点为的中点，满足，，若，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ）． A. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 B. 已知平面内一组基底，，则向量，也能作为一组基底 C. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为 D. 已知，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则 10. 把函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为 11. 中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ ） A. 若是中线，则 B. 若是高，则 C. 若是的角平分线，则 D. 若，则是线段的一个三等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_____． 13. 已知，则_____. 14. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中为虚数单位，若. （1）若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 16. 已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点． （1）已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标； （2）已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求值． 17. 如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. （1）用，表示，并求的模； （2）求的长. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若的重心为，且，求． 19. 在锐角中，记的内角，，的对边分别为，，，，点为的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $