精品解析：河南省南召县2025年九年级一模数学试题　

南召县2025年中招模拟考试（一） 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数为（ ） A. B. － C. ± D. 2 2. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ） A B. C. D. 4. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( ) A. 25° B. 35° C. 40° D. 50° 8. 为了展现中华山河的壮美风貌，邮电部曾经发行了一套名为《嵩山》的特种邮票，全套共4枚．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《嵩山》特种邮票，上面分别绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如卧”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，点E在边上，且，连接并延长与的延长线相交于点F，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ） A. 由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比 B. 图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C. 当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D. 四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为__________． 13. 某生活区有600户居民，小华随机选取部分居民进行节约用水情况调查，把用户数与当月节水量（吨）的关系制成折线统计图如图所示．估计该生活区当月节约用水量为 _____吨． 14. 如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图②所示，的直径为，毛刷的一端固定在点M，另一端为动点P，，毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，M，B三点在同一条直线上．则该毛刷能扫到的面积（阴影部分）是__________． 15. 如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为___________；在点的运动过程中，的最小值为___________． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的AI软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款AI软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：） 下面给出了部分信息：甲款AI软件20名使用者打分为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 乙款AI软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98． 乙款AI软件抽取的使用者打扮统计图 甲、乙两款AI软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款AI软件 a 乙款AI软件 99 b （1）上述表中__________；__________； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中A组所占圆心角度数． （3）下列结论一定正确的是__________． ①甲乙两款AI样本数据的中位数均在A组； ②得分96分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款AI样本数据的满分一样多． （4）根据甲、乙两款AI软件样本特征数，试估计哪款AI软件更优，并说明理由． 18. 如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）求直线的函数解析式． 19. 如图，已知是矩形的对角线． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． （2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 20. 招远市某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？ （2）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？ 21. 中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端C落在地面上时，与的另一个交点为点B，水平地面切于点D． （1）求证：． （2）若车轮的直径为1米，米，求的长． 22. 如图，某农户用喷枪对斜坡上的绿地进行喷灌，经测量，喷水头距地面，斜坡可以用一次函数刻画，喷出水柱的形状是抛物线，已知喷出水柱的水平距离（单位：米）与喷出水柱的高度（单位：米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 6 … 1 4 5 4 … 下面是某数学社团同学探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象． （2）求抛物线的表达式． （3）若斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 23. 【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南召县2025年中招模拟考试（一） 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数为（ ） A. B. － C. ± D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两数互为相反数，即可解答． 【详解】∵的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 3. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可． 【详解】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握各种几何体的三视图的形状． 4. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集．根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则判断即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是： 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标，解分式方程、一元二次方程、以及一元一次方程，理解“和美点”的定义是解题关键．根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中，再求出个选项中的“和美点”即可． 【详解】解：根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中， A、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意； B、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意； C、，则，此时无解，即函数不存在“和美点”，符合题意； D、，解得：，，即点和点为函数的“和美点”，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( ) A. 25° B. 35° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】，∠ABC＝25°， ， AB是⊙O的直径， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键． 8. 为了展现中华山河的壮美风貌，邮电部曾经发行了一套名为《嵩山》的特种邮票，全套共4枚．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《嵩山》特种邮票，上面分别绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如卧”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率．根据列表法把所有情况列举出来即可． 【详解】解：设绘有““中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如卧”的图案分别为A、B、C、D，小亮抽到的邮票的所以情况见下表： A B C D A B C D ∴总共有12种等可能的情况，符合条件的有2两种， 故小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率， 故选：C． 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，点E在边上，且，连接并延长与的延长线相交于点F，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质．取的中点，连接，证得是的中位线，求得，，再求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴， ∴是的中位线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ） A. 由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比 B. 图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C. 当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D. 四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，压力于质量成正比例，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图可得：人对木板的压力与人的质量的比值一定，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故正确，不符合题意； 小明和小亮的质量分别为和，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：压强结合图可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，正确，不符合题意； 设 ∵经过点, ， 解得：， ， 当时，， 当时，， ∵木板面积为， ∴小明对木板的压强， 小亮对木板的压强， ， ∴当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大， ∴正确，不符合题意； 由题意得：小明对木板的压强，小亮对木板的压强，则四边形的面积，也说明小明对木板的压力为，小亮对木板的压力，那么小明、小亮两人对木板的压力相差，故错误，符合题意； 故选: D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键. 根据分式有意义的条件进行求解即可得答案. 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：. 12. 若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为__________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得， 所以当m取0时，方程有两个实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 13. 某生活区有600户居民，小华随机选取部分居民进行节约用水情况调查，把用户数与当月节水量（吨）的关系制成折线统计图如图所示．估计该生活区当月节约用水量为 _____吨． 【答案】575 【解析】 【分析】根据折线统计图求出抽查部分用户的平均数，即可求解； 【详解】解：由折线统计图可求该12名抽查用户节约用水量的平均数为： ∴该生活区当月节约用水量为吨 故答案为：575 【点睛】本题主要考查了平均数的概念、样本估计总量，掌握平均数的求解方法是解题的关键． 14. 如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图②所示，的直径为，毛刷的一端固定在点M，另一端为动点P，，毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，M，B三点在同一条直线上．则该毛刷能扫到的面积（阴影部分）是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，垂径定理的推论．先根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件得出的度数，于是得出，根据扇形面积公式计算出，，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，，，， 三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为___________；在点的运动过程中，的最小值为___________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】当时在中，由勾股定理列出的方程便可求得； 在线段下方作，过点E作于点F，连接，求出此时的的长度便可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 当时，则， ∵， ∴， ∴； 在线段下方作，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， 当D、E、F三点共线时，的值最小， 此时， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算等知识，解题的关键是： （1）根据零指数幂的意义，立方根的定义，绝对值的意义，二次根式的加减法则等计算即可； （2）根据平方根法则、多项式除以单项式法则以及合并同类项法则等计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 17. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的AI软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款AI软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：） 下面给出了部分信息：甲款AI软件20名使用者打分为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 乙款AI软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98． 乙款AI软件抽取的使用者打扮统计图 甲、乙两款AI软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款AI软件 a 乙款AI软件 99 b （1）上述表中__________；__________； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中A组所占圆心角的度数． （3）下列结论一定正确的是__________． ①甲乙两款AI样本数据的中位数均在A组； ②得分96分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款AI样本数据的满分一样多． （4）根据甲、乙两款AI软件样本的特征数，试估计哪款AI软件更优，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）②（4）甲款AI软件更优，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义，根据中位数的定义计算判断解答即可． （2）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可． （3）根据样本，计算各自的中位数，满分人数，96分以上人数，后比较判定解答即可． （4）根据中位数，众数决策即可． 【详解】（1）解：∵100出现了7次，次数最多， 故； 根据题意，得中位数是第10个，第11个数据的平均数， ∵A等级的人数为人， B等级从小到大排序为：97，97，98，98，98，98． 第10个，第11个数为98，98， 故中位数为． 故答案为：100，98． （2）解：A等级所占圆心角为：． （3）解：根据题意，得甲的中位数是，在A组；乙的中位数是，在B组；故①错误； 样本数据甲得分96分以上的人数为14人；样本数据乙得分96分以上的人数为人； 故②正确； 样本数据甲得满分的人数为7人；样本数据乙得满分人数无法确定； 故③错误． 故选：②． （4）解：∵甲、乙两款AI软件的平均数相同，而甲款AI软件的众数和中位数都大于乙款AI软件的众数和中位数， ∴甲款AI软件更优． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数、中位数的计算，圆心角计算，读懂统计图，熟练掌握圆心角，中位数的计算是解题的关键． 18. 如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）求直线的函数解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式． （2）根据待定系数法求出直线的函数解析式，再利用平移即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解（1）的关键是将点A的坐标代入，解（2）的关键是求出直线的函数解析式． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点 ∴， 解得： ∴反比例函数的解析式为 【小问2详解】 设直线的函数解析式为， 把点代入得，，解得， ∴直线的函数解析式为， 由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线 ∴直线的函数解析式为， 19. 如图，已知是矩形的对角线． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． （2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、矩形的性质、菱形的判定，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键． （1）以为圆心，以大于的一半为半径画弧，两弧相交于两个交点，过两交点作直线，即可得到的垂直平分线； （2）利用矩形的性质和菱形的判定即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，线段的垂直平分线即为所求： 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 20. 招远市某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？ （2）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种水果进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克 （2）超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值． 【小问1详解】 解：设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为元/千克， 由题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克； 【小问2详解】 解：设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元， 由题意可得：， ∵， ∴w随a的减小而增大， ∵甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍， ∴， 解得， ∴当时，w取得最大值， 此时， ， 答：超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元． 21. 中国最迟在四千多年前夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端C落在地面上时，与的另一个交点为点B，水平地面切于点D． （1）求证：． （2）若车轮直径为1米，米，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长度为2米 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是证明，求出AC的长，从而求出的长． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，即根据圆周角定理得到，即根据等腰三角形的性质得到，求得； （2）由（1）知，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：证明：如图，连接， 与相切于点D， ， ，即， 为的直径， ， 即， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 又， ， 的直径，，， ， 解得：，舍去 答：的长度为2米． 22. 如图，某农户用喷枪对斜坡上的绿地进行喷灌，经测量，喷水头距地面，斜坡可以用一次函数刻画，喷出水柱的形状是抛物线，已知喷出水柱的水平距离（单位：米）与喷出水柱的高度（单位：米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 6 … 1 4 5 4 … 下面是某数学社团同学的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象． （2）求抛物线的表达式． （3）若斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）从处喷出的水柱能越过这棵树的树顶，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）利用抛物线的对称性，求得顶点坐标为，设抛物线的表达式为，把代入求解即可； （3）当时，求得两个二次函数的纵坐标，据此求解即可． 【小问1详解】 解：描点，连线，函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：由表格知，抛物线经过，， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：当时， ，， ， 从处喷出的水柱能越过这棵树的树顶． 23. 【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：的形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 【答案】（1）SAS，；（2）；（3）①为等腰直角三角形，理由见解析；②4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． （1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， （2）延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， （3）①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间关系，代入，即可求解， 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴， 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， （2）解：延长至点，使得，连结，， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：； （3）①为等腰直角三角形，理由： 延长至点，使得，连结，， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∴， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ∴， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，，， 设， ， ∵， ， ，， ∴同理可得， ∵， ∴，， 分别过，作，，，为垂足， ∴，， ， ∴设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $