精品解析：2025年河南省平顶山市中招学科第一次调研考试 九年级数学试卷

2025年平顶山市中招学科第一次调研考试试卷九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若上升5米记作“”，则下降3米记作（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若上升5米记作“”，则下降3米记作， 故选：B． 2. 如图是简易高低柜示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：左视图是从左边看得到的图形．据此解答即可． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形中部有一条横向的虚线． 故选：C． 3. 在2025年春节档上演的中国动画电影《哪吒之魔童闹海》，其中哪吒不屈不挠的抗争精神与担当意识值得我们学习．截至2025年3月31日，全球票房已突破154亿人民币，成为亚洲首部票房突破百亿的电影．其中数据“154亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：154亿． 故选：A． 4. 如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、∵， ， 平行四边形为矩形，不符合题意； B、∵， 平行四边形是矩形，不符合题意； C．∵在中， ∴ ∵， ∴ 平行四边形是矩形，不符合题意； D、∵在中， ∴四边形是菱形，不能证明是矩形，符合题意． 故选：D． 5. 在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此可得出答案． 【详解】解：车速为40km/h的车辆数最多，这50辆车的车速的众数为40km/h， 故选C． 【点睛】本题考查了众数的定义，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数是解题关键． 6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移个单位，得到一个正比例函数图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式，求得平移后的函数解析式是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后，得到新图象的解析式为，即， 把代入，得：， 解得：， 即的值为． 故选：B． 7. 如图，将一束光线投射在镜面上，其反射线交于点．我们知道入射角等于反射角，，则．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先证明，由平行线的性质得，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得． 【详解】解：x(x+1)+ax=0， ∴x2+(a+1)x=0， 由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0， 解得：a1=a2=-1， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 9. 如图，两个圆为同心圆，大圆的直径与小圆的其中一个交点为，且，大圆的弦切小圆于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、勾股定理，扇形的面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键； 连接、，如图，根据切线的性质得到，再利用勾股定理计算出，计算出，进而得到，则，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算即可． 详解】连接、，如图， 弦切小半圆于点， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ∴ ． 故选：B． 10. 如图1，在中，，，点为边的中点．的垂直平分线交于点，交于点，点是线段上任意一点（不与点重合），连接，．设，的周长为，图2是点运动时随变化的关系图象（点是图象的最低点），则图中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点及最小值问题，相似三角形的判定和性质．连接，，利用线段垂直平分线的性质求得，推出，则的最小值为的长，由函数图象知，的最小值为7，求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，，点为边的中点， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的最小值为的长，如图， 由函数图象知，的最小值为7， 即，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴即， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 若一支钢笔的价格为元，则表示的意义是______． 【答案】5支钢笔的总价 【解析】 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，理解代数式中的每一部分的意义是解题关键．根据一支钢笔的价格为元，、表示5支钢笔的总价，由此即可得． 【详解】解：若一支钢笔的价格为元，则表示的意义是5支钢笔的总价， 故答案为：5支钢笔的总价． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 13. 如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，若，则的度数为______°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．连接，利用圆周角定理得到． 【详解】解：连接，如图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴°． 故答案为：35． 14. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接并延长交的延长线于点，已知，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，设，由正方形的性质得，，则，证明，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 故答案为：4． 15. 如图，在中，已知，，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为______；当是以为底的等腰三角形时，边的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，当是以为底的等腰三角形时，证明是直角三角形，运用勾股定理可求出；当是以为底的等腰三角形时，过点作于点，设，得，，由勾股定理得，解得，得，，由勾股定理得． 【详解】解：当是以为底的等腰三角形时，如图， ∵点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 又， ∴ ∴，即， ∴； 当是以为底的等腰三角形时，则， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴； 过点作于点，如图， 设，则， 在和中，，， ∴， ∴， 解得， ∴，， 在由，由勾股定理得． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘法，化简负整数指数幂，零指数幂，然后再计算； （2）先算除法，然后再算减法． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为树立学生的劳动观念，某中学开展了劳动技能大赛，经过五轮比赛，最终甲、乙、丙三位选手获得一等奖．小明同学对三位选手的五轮得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、乙两位选手的得分折线图： 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3； 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数、方差数据如下： 选手 统计量 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 _____ 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，，c的值：________，________，________； （2）根据以上信息可知，选手________发挥的稳定性更好（填“甲”或“乙”）． （3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由． 【答案】（1）92，8.9，9.0 （2）甲 （3）应该推荐甲选手，甲的五轮比赛平均得分大于乙的平均得分，等于丙的平均得分；甲的五轮比赛得分的中位数最高，且甲的得分最稳定，所以应该推荐甲选手 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差，中位数以及折线统计图，理解中位数、平均数以及方差的定义，掌握中位数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键． （1）根据中位数、平均数的计算方法进行计算即可； （2）计算甲、丙两位选手的五轮成绩的方差即可； （3）根据平均数、方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：选手甲的五轮成绩分别为9.2，8.8，9.3，8.7，9.5，选手丙的五轮成绩分别为8.3，9.1，9.3，8.4，9.4， 将选手甲的五轮成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数是9.2，因此甲选手五轮成绩的中位数是9.2，即， 选手丙的五轮成绩的平均数（分）， 选手丙五轮比赛总成绩为分，其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3， 所以，另两个成绩和为， 故另两个成绩均大于9.0， 所以，； 故答案为：9.2，8.9；9.0‘ 小问2详解】 解：选手甲五轮成绩的方差 ， 选手乙五轮成绩的方差， ∵， ∴甲发挥稳定， 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：应该推荐甲选手，甲的五轮比赛平均得分大于乙的平均得分，等于丙的平均得分；甲的五轮比赛得分的中位数最高，且甲的得分最稳定，所以应该推荐甲选手 18. 如图，在中，，点是延长线上一点，点，分别是，的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接并延长交于点，证明：； （3）当，时，直接写出的值为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，作垂线和全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判定是解题的关键． （1）利用尺规作图作出角平分线即可； （2）通过证明，然后根据全等三角形的性质进行推理论证； （3）连接，利用等腰三角形三线合一的性质可得，然后解直角三角形进行计算求解． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． 又∵， 由作图可知，， ∴． ∵点是的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接 ∵，点，是的中点， ∴ ∵点，分别是，的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在边上．已知点的对应点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数表达式； （2）求矩形的边的长； （3）判断：点________（填“在”或“不在”）反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2）4 （3）在 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转． （1）将代入求出k的值即可； （2）过点F作轴于点M，由勾股定理求得，再由旋转和矩形的性质得，，证明得，求出，再由勾股定理求得，即可得解； （3）过点E作垂直的延长线于点N，证明得，进而求出，，，即可得，再根据反比例函数解析式可得结论． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点F作轴于点M， ∵的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点E作垂直的延长线于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故答案为：在． 20. 我市鲁山县文殊寺的千年银杏树已有2800年的树龄，身高的聪聪想借助测角仪等工具来测量其中一棵银杏树的高度．如图，聪聪所处位置到台阶起始处的距离为，此时测得大树仰角为，台阶高度为，大树底部到台阶上点的水平距离为，台阶与水平地面夹角为，求银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，在中，求出，可得，在中，即可求出． 【详解】解：由题意知，，，，，，． 由题意可得四边形为矩形，有． ∵，， ∴，，三点在同一条直线上． 在中，， ∵， ∴． 即， ∴． 在中，， ∵， ∴． 答：银杏树的的高度约为． 21. 2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，． 求： （1）该抛物线的函数表达式； （2）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离的长． 【答案】（1）抛物线的解析式为： （2）的长约为米 【解析】 【分析】（1）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论； （2）根据勾股定理可得出和的长，进而得出点D的坐标，由的长为点D的横坐标减去的长可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线最高点B的坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， ∵， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 在中，，米， ∴米，米． ∴点D的纵坐标为， 令， 解得，， ∵D在对称轴右侧， ． 米， ∴的长约为米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键． 22. 某超市新进一种新鲜酸奶，在进价的基础上加价50%销售．已知该超市用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶． （1）求这种新鲜酸奶的进价． （2）因这种酸奶的保质期不超过一天，故需对当天未售出的酸奶必须全部做销毁处理．已知该超市某一天购进20瓶这种酸奶进行销售，设售出的酸奶的瓶数为（瓶），销售酸奶的利润为（元）． ①这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为________． ②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售________瓶． （3）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进的20瓶酸奶的销售情况统计如下： 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 通过计算得到，这10天每天购进20瓶酸奶共获利346元．小明计算发现：在这10天当中，若超市每天购进19瓶总利润要比每天购进20瓶还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明． 【答案】（1）4元 （2）①；②14 （3）小明的说法有道理，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，列函数关系式以及有理数四则混合运算的应用，正确理解题意，找出等量关系是解答本题的关键． （1）设这种新鲜“酸奶”的进价为元，则售价为元，根据“用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶”列出分式方程求解即可； （2）①根据此“酸奶”以每瓶4元购进，6元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式， ②根据得出x的取值范围即可解决问题； （3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天，进而得出总利润比较即可得出答案 【小问1详解】 解：设这种新鲜“酸奶”的进价为元，则售价为元， 由题意可得， 解得：． 经检验，是原方程的根． 答：这种新鲜“酸奶”的进价为每瓶4元． 【小问2详解】 解：①每瓶酸奶的售价为元， 所以，这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为： （的整数） 故答案为：； ②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售量为： ， 解得，， 所以，当天至少销售量为14瓶， 【小问3详解】 解：小明的说法有道理． 由（1）可知，每瓶酸奶的进价为4元，售价为6元， 若每天购进19瓶酸奶，进价为（元）．则每天售出17瓶可获利：（元）， 每天售出18瓶可获利：（元）， 每天售出19瓶可获利：（元）， 所以，这10天每天购进19瓶酸奶所获总利润为：． 即小明的说法有道理 23. 综合与实践：如图，，点在的平分线上，于点． （1）操作判断：如图，过点作于点．四边形的形状为________； （2）问题探究：如图，点在射线上，连接，过点作交射线于点． ①当点在线段上时，求证：； ②当点在线段延长线上时，直接写出，，之间的等量关系为________； （3）拓展延伸：点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）正方形 （2）①证明见解析；② （3）或 【解析】 【分析】（）先证明四边形是矩形，进而根据角平分线的性质即可求证； （）①过点作于点，可证，可得，进而即可求证；②过点作于点，同理①可得，进而即可求解； （）分在线段上和延长线上两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵，于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在的平分线上，，， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 ①证明：过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， 由（）知四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： 当点在线段的延长线上时，如图，过点作于点， 同理①可证， ∴， ∴， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①当在线段上时，如图，延长相交于点， 由（）①知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于， 由（）②知， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形判定，角平分线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年平顶山市中招学科第一次调研考试试卷九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若上升5米记作“”，则下降3米记作（ ） A. B. C. D. 3 2. 如图是简易高低柜示意图，它左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在2025年春节档上演的中国动画电影《哪吒之魔童闹海》，其中哪吒不屈不挠的抗争精神与担当意识值得我们学习．截至2025年3月31日，全球票房已突破154亿人民币，成为亚洲首部票房突破百亿的电影．其中数据“154亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（ ） A. B. C. D. 5. 在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 15 6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移个单位，得到一个正比例函数图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一束光线投射在镜面上，其反射线交于点．我们知道入射角等于反射角，，则．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如图，两个圆为同心圆，大圆直径与小圆的其中一个交点为，且，大圆的弦切小圆于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，，点为边的中点．的垂直平分线交于点，交于点，点是线段上任意一点（不与点重合），连接，．设，的周长为，图2是点运动时随变化的关系图象（点是图象的最低点），则图中的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 若一支钢笔价格为元，则表示的意义是______． 12. 不等式组的解集为______． 13. 如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，若，则的度数为______°． 14. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接并延长交的延长线于点，已知，，则的长为______． 15. 如图，在中，已知，，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为______；当是以为底的等腰三角形时，边的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 为树立学生的劳动观念，某中学开展了劳动技能大赛，经过五轮比赛，最终甲、乙、丙三位选手获得一等奖．小明同学对三位选手的五轮得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、乙两位选手的得分折线图： 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3； 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数、方差数据如下： 选手 统计量 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 _____ 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，，c的值：________，________，________； （2）根据以上信息可知，选手________发挥的稳定性更好（填“甲”或“乙”）． （3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由． 18. 如图，在中，，点是延长线上一点，点，分别是，中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接并延长交于点，证明：； （3）当，时，直接写出的值为________． 19. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在边上．已知点的对应点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数表达式； （2）求矩形的边的长； （3）判断：点________（填“在”或“不在”）反比例函数的图象上． 20. 我市鲁山县文殊寺的千年银杏树已有2800年的树龄，身高的聪聪想借助测角仪等工具来测量其中一棵银杏树的高度．如图，聪聪所处位置到台阶起始处的距离为，此时测得大树仰角为，台阶高度为，大树底部到台阶上点的水平距离为，台阶与水平地面夹角为，求银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 21. 2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，． 求： （1）该抛物线的函数表达式； （2）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离的长． 22. 某超市新进一种新鲜酸奶，在进价的基础上加价50%销售．已知该超市用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶． （1）求这种新鲜酸奶进价． （2）因这种酸奶的保质期不超过一天，故需对当天未售出的酸奶必须全部做销毁处理．已知该超市某一天购进20瓶这种酸奶进行销售，设售出的酸奶的瓶数为（瓶），销售酸奶的利润为（元）． ①这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为________． ②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售________瓶． （3）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进的20瓶酸奶的销售情况统计如下： 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 通过计算得到，这10天每天购进20瓶酸奶共获利346元．小明计算发现：在这10天当中，若超市每天购进19瓶总利润要比每天购进20瓶还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明． 23. 综合与实践：如图，，点在的平分线上，于点． （1）操作判断：如图，过点作于点．四边形的形状为________； （2）问题探究：如图，点在射线上，连接，过点作交射线于点． ①当点在线段上时，求证：； ②当点在线段的延长线上时，直接写出，，之间的等量关系为________； （3）拓展延伸：点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $