精品解析：江苏省无锡市太湖高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 8 2. 已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ） A. 如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面 B. 如果，，m、n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，m、n共面，那么 D. 如果，那么m平行于经过n的任何平面 3. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A 4 B. 8 C. D. 4. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. B. C. 6 D. 10 5. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A. B. C. D. 6. 设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是x轴，y轴正方向的单位向量．若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作；若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，的平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，，则的面积为（ ） A B. C. D. 8. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 11. 点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线AO必过BC边中点 C. D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是_______ 13. 如图，有一长为100m的斜坡AB，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为（如图），则坡底应延长_______m． 14. 在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（，i是虚数单位） （1）若复数，且是实数，求实数m的值； （2）若复数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 16 已知向量． （1）求向量在向量上的投影向量； （2）求向量与夹角为钝角，求m的取值范围． 17. 如图在四棱锥中，，分别是的中点，． （1）求证：平面； （2）若点F在棱上且满足，平面，求的值． 18. 在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P． （1）求CM的长度； （2）若，求的值； （3）求的最小值，并求此时的余弦值． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若且，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，复数的四则运算进行计算. 详解】由，则， 则. 故选：B. 2. 已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ） A. 如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面 B. 如果，，m、n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，m、n共面，那么 D. 如果，那么m平行于经过n的任何平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案. 【详解】对于A，当l与相交与点时，在平面内，过点的直线与l都是共面的，故A错误； 对于B，如图1，可能是，故B错误； 对于C，设m、n共面于平面，由，可得, 由，则根据线面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，则m平行于经过n的任何平面或m在经过n的平面内，故D错误． 故选：C. 3. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面图形和直观图的关系，即可求解. 【详解】画出原平面图形， 根据平面图形和直观图的关系可知，， 则，则，， 所以这个平面图形的面积为. 故选：C 4. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，可得，再根据平面向量的线性运算及数量积的坐标表示直接计算即可. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 易得，则， 所以. 故选：D. 5. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B． 考点：圆锥的体积公式． 6. 设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是x轴，y轴正方向的单位向量．若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作；若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设定义可得，再根据平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意，，与夹角为，且， 则， 则. 故选：D. 7. 在中，，的平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，结合等面积法可得，，解出，进而求解即可. 【详解】由题意，AD为的平分线，， 则， 由， 则，即，① 又， 则， 则，② 由①②可得，， 所以. 故选：C. 8. 如图，已知正三角形ABC边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，连接，建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的数量积的坐标表示及辅助角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正三角形ABC中，由于O为三角形ABC的中心，且三角形ABC的边长为， 则为中点，且，，， 以为原点，平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则， 由于，设，， 则，， 所以， 由于，则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义和共轭复数的定义，结合复数的乘法运算依次判断选项即可. 【详解】对于A，设， 则， 所以， 又，所以，故A正确； 对于B，设，满足，此时且，故B错误； 对于C，设，则，， 满足，而，故C错误； 对于D，由，则是的共轭复数，则，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 11. 点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线AO必过BC边的中点 C. D 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的线性运算判断即可；对于B，先假设直线过边的中点，设，根据平面向量的线性运算可得，即可判断；对于C，由可得，可得，进而求解判断即可；对于D，平面向量的数量积的运算律求解判断即可 【详解】对于A，由，则， 则，即，故A正确； 对于B，若直线过边的中点，设， 则，故B错误； 对于C，由，则，即 则，故C正确； 对于D，由，，且， 则 ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的有两个，即三角形有两解， 所以，且，则， 即，解得， 则c的取值范围是. 故答案为：. 13. 如图，有一长为100m的斜坡AB，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为（如图），则坡底应延长_______m． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由题意，可得，， 在中，由正弦定理得， 则，解得， 则坡底应延长. 故答案为：. 14. 在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据重心、外心的性质，由平面向量数量积的运算化简可得，再利用余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图，   因为O是的外心，所以， 又G是的重心，所以为的中点，则， 则 ， 又，所以，即， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 则的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（，i是虚数单位） （1）若复数，且是实数，求实数m的值； （2）若复数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的运算法则化简后可得，再根据复数的定义计算； （2）由复数的运算法则化简后可得，再由对应点所在象限求得参数范围． 【小问1详解】 由，， 则， 因为是实数，所以，即. 【小问2详解】 由，， 则， 因为复数在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得， 则实数m取值范围为． 16. 已知向量． （1）求向量在向量上的投影向量； （2）求向量与夹角为钝角，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积、模的坐标表示，结合投影向量的定义求解即可； （2）由题意可得，且与不共线，进而求解即可. 【小问1详解】 由， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 【小问2详解】 由， 则，， 因为向量与夹角为钝角， 所以，且与不共线， 则，解得且， 所以m的取值范围为． 17. 如图在四棱锥中，，分别是的中点，． （1）求证：平面； （2）若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【小问1详解】 取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因平面，平面，所以平面 又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以. 18. 在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P． （1）求CM的长度； （2）若，求的值； （3）求的最小值，并求此时的余弦值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为，的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，再根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （2）根据平面向量共线的推论，可得，进而根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （3）根据平面向量的线性运算及数量积的运算律，可得，即可得到时，取得最小值，进而得到，，进而根据平面向量的数量积的运算律及夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 则， 则，即CM的长度为. 【小问2详解】 当时，， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 所以，解得， 则， 则 . 【小问3详解】 由，，， 则，， 所以 ， 则时，取得最小值. 此时，， 则，， 所以 ， ， 由（1）知，， 所以. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若且，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先根据两角差的正切公式结合可得，再结合同角三角函数的基本关系求得，进而求得，由正弦定理可得，进而根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据正弦定理可得，，进而根据三角恒等变换化简的周长为，再根据正切函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，即， 根据正弦定理得，， 则， 则， 则， 因为，所以， 则，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 在中，由， 则，且， 则，即， 解得（舍去）或， 又，且， 解得， 所以 ， 由正弦定理得，， 则，解得， 则. 【小问3详解】 由正弦定理得，， 则，所以，， 则的周长为 ， 由，则，即， 又，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$