精品解析：山东省青岛第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

青岛一中2024-2025学年度第二学期第一次模块考试 高二数学 2025.4 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 注意事项：（请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明.） 试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题卷上答题无效，考试结束时只交答题卡. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 2. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是的一个零点 B. 和都是的极大值点 C. 的单调递增区间是 D. 的单调递减区间是 3. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，过点作该函数图象的切线，则切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都有可能 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项的系数之和为0 B. 展开式各二项式系数的和等于 C. 展开式共有7项 D. 展开式中常数项为20 10. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 回归直线方程经过点 D. 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 B. 当时，在上是增函数 C. 若在上为减函数，则 D. 当时，若函数有且只有一个零点，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则______. 13. 对如图所示的5个格子进行染色，每个格子均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为______． 14. 已知，关于的方程有且仅有一个解，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数有极小值． （1）求的单调区间； （2）求在上的最大值和最小值． 16. 某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表: 性别 比赛项目 合计 乒乓球组 羽毛球组 男生 50 25 75 女生 35 40 75 合计 85 65 150 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联. （2）从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． （1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． （2）在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 18. 已知函数． （1）若，求证：． （2）讨论函数的极值； （3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 19. 在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. （1）假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? （2）若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. （3）若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛一中2024-2025学年度第二学期第一次模块考试 高二数学 2025.4 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 注意事项：（请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明.） 试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题卷上答题无效，考试结束时只交答题卡. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质得到方程求解. 【详解】因为已知，由组合数的性质得到或， 解得或. 故选：D. 2. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是的一个零点 B. 和都是的极大值点 C. 的单调递增区间是 D. 的单调递减区间是 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，逐项判断即可得出结论. 【详解】当时，，函数在上单调递减， 当时，恒成立，当且仅当时，等号成立， 所以，函数在上单调递增，则是函数的极小值点， 函数无极大值点，无法判断是函数的一个零点，A错B错C对D错. 故选：C. 3. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：C 4. 如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 5. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可. 【详解】由， 当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以，即. 故选：B 6. 设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】解：， （3）， （3）， 定义在的函数， ， 令， 不等式（3）， 即为（3）， ， ， ， ， ， ， 单调递增， 又因为由上可知（3）， ，， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题． 7. 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第次球在甲手中的概率表达式，代入计算即可. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 则. 故选：C. 8. 已知函数，过点作该函数图象的切线，则切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】设切点后由导数的意义求出切线方程，再代入点，转化为关于切点横坐标的方程，然后构造函数，分析单调性得到零点即可. 【详解】设切点为，其中， ， 所以切线方程为， 代入可得， 代入整理可得， 分析方程解的个数，令， ， 令可得（舍去）， 所以在上为减函数，在上为增函数， 又， 由函数增长的快慢可知当，；当时，， 所以方程在和处各有一个解. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项的系数之和为0 B. 展开式各二项式系数的和等于 C. 展开式共有7项 D. 展开式中常数项为20 【答案】ABC 【解析】 【分析】各项系数和，令变量为1；展开式各二项式系数的和为；项数和为；利用通项公式可求常数项. 【详解】令，则，故A正确； 由展开式各二项式系数的和为可知，B正确； 展开式共项，故C正确； 展开式的通项为，故常数项为，故D错误. 故选：ABC 10. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 回归直线方程经过点 D. 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据样本相关系数和回归直线方程的计算公式，逐项计算可得正确答案. 【详解】由题意可得， ，， ， ， 则与的样本相关系数，故A错误； 由关于的回归直线方程为且回归直线恒过样本点的中心， 则有，解得，故B正确，C正确； 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 B. 当时，在上是增函数 C. 若在上为减函数，则 D. 当时，若函数有且只有一个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断A；对于B，利用导数研究函数的单调性判断B；对于C，将问题化为在上恒成立，应用导数研究的最小值，即可得参数范围判断C；对于D，将问题化为有唯一解，应用导数研究的单调性和值域判断D. 【详解】对于A，由题设， 则，且， 所以在处的切线方程为， 切线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， 所以在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，故A正确； 对于B，由题设，, 当时，趋向于负无穷，当时，趋向于正无穷， 所以存在，使， 所以当时，，在上是减函数，故B错误； 对于C，因为函数在上为减函数， 则在上恒成立，则， 令，则， 易知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以，故C正确； 对于D，函数有且只有一个零点， 即有唯一解，则， 令，且，则， 令，显然在上为增函数，， 则存在，使得， 易知时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，当时，趋向于正无穷，当时，趋向于0， 所以有且只有一个解时，，即， 故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】设，由正态分布密度曲线的对称性可知， ，.所以， 解得.即. 故答案为：. 13. 对如图所示的5个格子进行染色，每个格子均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过讨论红格个数，由古典概型概率公式求解即可， 【详解】0个红格，共种；1个红格，共种；2个红格，共种； 3个红格，共种， . 故答案为：. 14. 已知，关于的方程有且仅有一个解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出，设，则，再根据解的个数解的个数（且），分析讨论解的个数，即可得解． 【详解】因为，， 所以，且， 则，即， 设， 则，即有且仅有一个解， 因为解的个数解的个数（且）， 所以下面讨论解的个数； 由，得其中， （1）当时， 得， 令，，则，即， 因为， 所以为增函数， 所以， 令，，则， 令得， 当，，即单调递减， 当，，即单调递增， 所以 ， （ⅰ）当，即时，方程无解，即函数与的图像没有交点； （ⅱ）当，即时，方程有一解，即函数与的图像有一个交点； （ⅲ）当，即时， 当时，，当时，， 所以方程有两解，即函数与的图像有两个交点； （2）当时， 由①②消去，得③， 由于，且，故，即， 对③式两边取自然对数，得，即， 两边取自然对数，得， 令，， 则， 由得， 令，， 则， 由得， 当时，；当时，； 所以当时，； （ⅰ）当，即时，恒成立， 所以， 因为，， 所以，即当且仅当，且时等号成立； 所以在上为减函数， 又因为当时，；时，， 所以方程恰有一解，此时函数与的图像有一个交点； （ⅱ）当时，即时， 因为当时；时， 所以存在，，使得， 所以， 当变化时，的变化情况如下表： 负 正 负 减 增 减 由上表可知，在内是减函数，在内是增函数，在内是减函数， 下面证明，； ， 令， 则当时，， 所以在内是增函数， 所以，即； ，， 令，， 易证为减函数， 所以当，，即； 因为， 所以， 又因为当时，，当时，， 所以在区间，，各有一个解， 此时函数与的图像有三个交点； 综上所述，函数与（且）图像的交点情况如下： 当时，没有交点； 当时，有1个交点； 当时，有2个交点； 当时，有1个交点； 当时，有3个交点； 所以或， 即或， 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题关键在于：①将解的个数转化为解的个数（且）；②分类讨论解的个数与之间的关系． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数有极小值． （1）求的单调区间； （2）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为， （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间； （2）由的极小值列方程求得的值，比较极值和区间端点的函数值，求得在上的最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 令，解得或，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，的极小值为，解得． ∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为， 的极大值为 又， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 16. 某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表: 性别 比赛项目 合计 乒乓球组 羽毛球组 男生 50 25 75 女生 35 40 75 合计 85 65 150 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联. （2）从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较得到结论； （2）先得到选取乒乓球组和羽毛球组的人数，得到的可能取值为和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 ， 故可以在的情况下，得到该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联； 【小问2详解】 女生中，乒乓球组与羽毛球组选取人数比例为， 故选取的15人中，选取乒乓球组的有人，选取羽毛球组的有人， 故的可能取值为， ，，， 故的分布列为 0 1 2 数学期望为. 17. 2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． （1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． （2）在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 【答案】（1）（i）0.4；（ii）0.352； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）（i）根据过往比赛中郑钦文胜负情况估算概率求；（ii）法一：用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，再应用二项分布的概率求法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率； （2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中，进而有求概率范围，即可得结论；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求出不同赛制下郑钦文获胜的概率，列不等式求概率范围，即可得结论. 【小问1详解】 （i）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为0.4． （ii）法一：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 则郑钦文在决赛中获得冠军的概率，即． 法二：郑钦文最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1， 前者是前两局郑钦文连胜，后者是前两局郑钦文、维基奇各胜一局且第3局郑钦文胜． 因为每局比赛的结果是独立的，郑钦文最终获胜的概率为． 【小问2详解】 法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 那么获胜的概率为 同理：五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中， 那么获胜的概率为 综上，，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 法二：三局两胜制中郑钦文最终获胜的概率， 五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率， 所以，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 18. 已知函数． （1）若，求证：． （2）讨论函数的极值； （3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）存在，最小值为1 【解析】 【分析】（1）利用导数研究出的单调性，求出其最小值即可 （2）求出，然后分和两种情况讨论 （3）结合（2）中的结论分、和三种情况讨论. 【详解】（1）时，， ，当，，函数单调递减 当时，，函数单调递增 ∴，故． （2）由题知．，， ①当时，，所以在上单调递减，没有极值； ②当时，，得，当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 故在处取得极小值，无极大值． （3）不妨令，不难证明，当且仅当取等号， 所以，当时，， 由（1）知，当，时，在上单调递减，恒成立； 所以不等式在上恒成立，只能． 当时，，由（1）知在上单调递减， 所以，不满足题意． 当时，设， 因为，，所以，，，， ， 即， 所以在上单调递增， 又，所以时，恒成立，即恒成立， 故当时，使得不等式在上恒成立． 此时的最小值是1． 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究函数的单调性及利用导数解决恒成立问题，属于压轴题. 19. 在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. （1）假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? （2）若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. （3）若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【答案】（1） （2） （3） “机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 所以， 则， 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 【解析】 【分析】（1）列出上完步台阶的走法，即可计算时间； （2）依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出取最大值时的值，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意可得，即可得到，即可证明，从而得到，再由累加法计算可得. 【小问1详解】 “机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； 【小问2详解】 依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； 【小问3详解】 所以， 所以 ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $