精品解析：山西省太原市2024届高三下学期模拟考试数学试题（一）

【新结构】（太原一模）山西省太原市2024届高三下学期模拟考试 （一）数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简即可得到答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3. 已知，若，则实数＝（　　） A. ﹣4 B. 1 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据向量减法、乘法以及向量垂直运算规则即可求解参数. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，解得． 故选：B． 4. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）. A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间线面位置关系逐项判断即可； 【详解】若，，，则平行或异面，错误； 若，，，则平行，或异面，或相交，错误； 若，，取直线的方向向量作为的法向量， 取直线的方向向量为作为的法向量，， 因为，即两平面所成角为，所以， 所以，即正确； 若，，，则平行或异面、或相交，错误； 故选：C 5. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A. 35 B. 34 C. 31 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可. 【详解】从这七个点任意选取三个点有个， 其中共线的四点中有个不能构成三角形， 所以不同的三角形个数有31个， 故选：C 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，点在双曲线上，且满足，则点到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到点坐标满足，结合双曲线方程可以取，利用点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】解：设点的坐标为，由已知得，， 则，，因为，所以，① 又因为点是双曲线上一点，所以，② 联立①②,相减，得到，解得. 根据双曲线的对称性，不妨取讨论，又渐近线方程为， 则点到双曲线两条渐近线的距离之和为 . 故选：C. 7. 已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 15 B. 17 C. 20 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】利用与的关系得，再利用累乘法求出，即可求出结果. 【详解】解：由，当时，得， 两式相减并整理得，则 ，,即，， 又因，所以，， 当时也满足上式，所以，， 则，，显然随的增大而增大， 又，，的最大值为17. 故选：B. 8. 已知，，， （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用两角和差的正弦公式化简，再利用二倍角公式和两角和差的余弦公式，结合的范围求出，代入化简即可. 【详解】， 即，则， 因，则，化简得， 即，即， 因，，则，， 故或，即（舍）或， 则 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，则 B. 若随机变量，，则 C. 若样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强 D. 记样本，，…，的平均数为，样本，，…，的平均数为，若样本，，…，，，，…，的平均数为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方差的性质、正态分布、相关系数和平均数等知识依次分析判断. 【详解】对于A，随机变量，满足，则，A错误； 对于B，随机变量，，则 ，B正确； 对于C，若样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，C正确； 对于D，，，，则，D正确. 故选：BCD 10. 已知定义域在上的函数满足以下条件：①对于任意的x，，；②；③，其中k是正常数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，令，可得，由可得，A正确； 对于B，令，可得，所以，B错误； 对于C，令，可得，所以，C正确； 对于D，将代入x，将k代入y，可得，D正确. 故选：ACD 11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是分别以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（ ） A. 记勒洛四面体表面上以，为球心的两球球面交线为弧，其长度为 B. 平面截勒洛四面体所得截面的面积为 C. 过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面的周长小于 D. 勒洛四面体的内切球半径是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据勒洛四面体的结构特征，结合余弦定理、扇形面积、空间几何体的截面与内切球相关知识，依次分析各选项即可. 【详解】在正四面体中，为的中心， 是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质可知在上. 因为，所以， 则. 因为， 即，解得， 对A选项，如图，取中点， 在中，，， 记该“勒洛四面体”上以，为球心的两球交线为弧， 设为弧上任意一点，根据“勒洛四面体”的对称性，弧在平面上，且平面. 所以. 所以该弧是以中点为圆心，以为半径的圆弧， 设圆心角为，则，可知， 所以弧长不等于，故A错误； 对B选项，勒洛四面体被平面截得的截面如图所示， 其面积为，则B正确； 对C选项，由A选项可知，过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面为平面， 且平面截勒洛四面体所得的截面周长为弧长的3倍，弧长为，故截面周长为. 又，所以，所以所得的截面的周长小于，故C正确； 对D选项，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径. 因为，所以， 所以勒洛四面体内切球的半径是，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】展开再与相乘即可算出常数项. 【详解】解：的展开式的通项为：， 则的展开式中的项为：和， 于是的展开式中的常数项为：. 故答案为：. 13. 已知数列中，，，则数列前2024项的和为__________. 【答案】2024 【解析】 【分析】利用数列的周期性可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， ，，， 所以数列是周期为4的周期数列， 且， 所以. 故答案为：2024. 14. 已知，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，由函数的单调性可得，即，再求导研究在上的单调性即可. 【详解】对不等式进行变形，得到， 令，，又，所以，在上单调递增， ∵，∴，于是有，即， 令，，， 可得当时，，单调递增，当时，，单调递减， 于是，于是， ∴的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，是边上一点，，，. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件，利用正弦定理即可求解； （2）先利用同角的三角函数关系可得，，再利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 设，，， ∴， 在中，∵，∴， 在中，由正弦定理得，即， ∴， ∵，∴ ∴，， ∴或（舍去）， ∴. 【小问2详解】 由（1）得，∴，， ∵，∴，∴ 在中，由余弦定理得： ， ∴. 16. 如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过求证面，由线面垂直的性质定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，求出面与面的法向量，利用向量法即可求解． 【小问1详解】 取的中点，连接， ∵， ∴，又平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面，又平面， ∴， ∵平面平面， ∴， 又平面，， ∴平面，又平面，则； 【小问2详解】 由题意及（1），面，且面，则， 由面面，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，解得， 则， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， ∴由图知，平面与平面夹角为锐角， ∴平面与平面的夹角为． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，有可能有两个零点，求出，然后分和两种情况讨论函数最小值的正负，从而可求得结果. 【小问1详解】 （1）由题意得，， ①当时，，所以在上单调递减； ②当时，令，则， 令，则；令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）得①当时，在上单调递减， 所以在上至多有一个零点，所以不符合题意； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ， （ⅰ）当时，， 所以在上至多有一个零点，所以不符合题意； （ⅱ）当时，， 因为， 所以在上有一个零点， 因为， 所以 ， 所以在上有一个零点， 所以符合题意； 综上，实数的取值范围为. 18. 已知椭圆经过点，且离心率，点是上一动点，点是的中点（为坐标原点），过点的直线交于、两点，且. （1）求椭圆标准方程； （2）当直线的斜率和直线的斜率都存在时，证明：； （3）证明：的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设、、，由题意可知为线段的中点，利用点差法可证得为定值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合根与系数的关系、三角形面积公式证明. 【小问1详解】 由题意得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设、、，则，所以， 由题意可知，点为线段的中点，则， 由，得，所以，， 即 【小问3详解】 ①当和都存在时，设直线的方程为， 由得， 则， 由韦达定理可得，， 所以，，， 因为点在椭圆上，则，即， 所以，整理可得， 所以，， 设点到直线的距离为， 则的面积 所以， 故为定值； ②当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 此时； ③当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，可得. 综上所述，的面积为定值. 19. 某制药公司针对某种病毒研制了一款新疫苗.该病毒一般通过病鼠与非病鼠之间的接触传染，现有只非病鼠，每只非病鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的非病鼠数用随机变量表示，假设每只非病鼠是否被感染之间相互独立. （1）若，求数学期望； （2）设接种疫苗后的非病鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队提出函数模型为，团队提出函数模型为.现将这只非病鼠平均分成10组，进行实验，随机变量表示第组被感染的非病鼠数，如图是根据随机变量的实验结果绘制成的频数分布直方图.假设每组非病鼠是否被感染之间相互独立. ①试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； ②在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的极大似然估计.根据这一原理，判断，两个团队提出的函数模型是否可以求出的极大似然估计？若能，请求出. 参考数据：. 【答案】（1） （2）①，；②能，. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式，由题意建立方程，结合数学期望的计算公式，可得答案； （2）由题意，根据概率计算公式，可得概率计算的函数关系式，利用导数求得函数的单调性以及最值，可得答案. 【小问1详解】 由题意知随机变量， 即， 由得， ∴，则； 【小问2详解】 ①由题意得 ，， ②设 ，， 则， 令，则，令，则， ∴在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 记函数，， 则， 令，则；令，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， 所以团体提出的函数模型求不出的极大似然估计， 记函数，，则在上单调递增，且其值域为， 令，则， 所以团体提出的函数模型可以求出的极大似然估计，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【新结构】（太原一模）山西省太原市2024届高三下学期模拟考试 （一）数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则实数＝（　　） A. ﹣4 B. 1 C. 2 D. 6 4. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）. A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A. 35 B. 34 C. 31 D. 30 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，点在双曲线上，且满足，则点到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 15 B. 17 C. 20 D. 22 8. 已知，，， （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，则 B. 若随机变量，，则 C. 若样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强 D. 记样本，，…，的平均数为，样本，，…，的平均数为，若样本，，…，，，，…，的平均数为，则 10. 已知定义域在上的函数满足以下条件：①对于任意的x，，；②；③，其中k是正常数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 偶函数 D. 11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是分别以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（ ） A. 记勒洛四面体表面上以，为球心两球球面交线为弧，其长度为 B. 平面截勒洛四面体所得截面的面积为 C. 过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面的周长小于 D. 勒洛四面体的内切球半径是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为______. 13. 已知数列中，，，则数列前2024项的和为__________. 14. 已知，若对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，是边上一点，，，. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小． 17. 已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆经过点，且离心率，点是上一动点，点是的中点（为坐标原点），过点的直线交于、两点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率和直线的斜率都存在时，证明：； （3）证明：的面积为定值. 19. 某制药公司针对某种病毒研制了一款新疫苗.该病毒一般通过病鼠与非病鼠之间的接触传染，现有只非病鼠，每只非病鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的非病鼠数用随机变量表示，假设每只非病鼠是否被感染之间相互独立. （1）若，求数学期望； （2）设接种疫苗后非病鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队提出函数模型为，团队提出函数模型为.现将这只非病鼠平均分成10组，进行实验，随机变量表示第组被感染的非病鼠数，如图是根据随机变量的实验结果绘制成的频数分布直方图.假设每组非病鼠是否被感染之间相互独立. ①试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； ②在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的极大似然估计.根据这一原理，判断，两个团队提出的函数模型是否可以求出的极大似然估计？若能，请求出. 参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $