精品解析：安徽六安市独山中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025－2026学年度春学期高一数学期中考试 试题卷 一、单选题 1. 下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A和B，由，得的模相等，而它们的方向不确定，则向量不一定共线，所以A和B均错误； 对于C，取，满足，而可为任意方向，则不一定共线，C错误； 对于D，，由相等向量的意义，得，D正确. 2. 如图，正方形和正方形有公共边，与向量相等的向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，，且， 四边形为平行四边形， 则与向量相等的向量为． 3. 已知平面向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 4. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 5. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则，则，，所以B正确，C和D错误， 又，所以与不垂直，故A错误. 6. 已知向量，且，那么的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 8. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 因为，所以与的夹角为. 二、多选题 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若与都是单位向量，则 B. 方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C. 直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 D. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为与的方向可能不同，故错误； 对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确； 对于C，因为x轴、y轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误； 对于D，假设点M与点N重合，则向量，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M与N不重合，故正确； 故选：AC 10. 下面给出的关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的概念及运算对各个选项逐一分析即可求解. 【详解】零向量与任意向量的数量积为0，故A正确； 由平面向量数量积的交换律可知，，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 11. 已知向量，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项，，不可能有，A错误 B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以，故C错误. D选项，由C选项分析可得，D正确． 三、填空题 12. 若向量的模为2，向量与方向相同，且，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】向量的模为2，向量与方向相同，且，所以 13. 已知，则向量在向量上的投影向量是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式求解. 【详解】根据投影向量公式可得， 向量在向量上的投影向量为. 14. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量共线的坐标表示得，再结合向量的模的坐标公式求解即可. 【详解】因为向量，，且 所以，解得， 所以， 因此. 四、解答题 15. 若，的夹角为，， （1）求； （2）求 （3）求在上的投影数量． 【答案】（1）； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积定义直接求解. （2）利用数量积的运算律求解. （3）利用投影向量的定义求解. 【小问1详解】 由，的夹角为，，， 得. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 依题意，， 所以在上的投影数量为. 16. 化简下列各式： （1）； （2）． （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 17. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为与的夹角是 所以， 【小问2详解】 因为， 设和的夹角为， 则. 18. 已知向量.求： （1）； （2）； （3）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以 【小问2详解】 因为，所以 【小问3详解】 因为，所以， 因为， 所以，得. 19. 在等腰梯形中，，点E，F分别是边与边上的点，且与交于点. （1）当时， ①用表示； ②求的大小. （2）求实数的取值范围，并求的最小值. 【答案】（1）①;② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，利用向量的线性运算，结合向量的基底表示，即可得到结果； ②由题意得 由共线以及共线，设向量共线，代入计算求得，再利用向量数量积的运算律求即可得答案； （2）由E的位置确定的范围，利用向量的线性运算，用向量为基底表示，利用向量数量积的运算律结合基本不等式可求的最小值. 【小问1详解】 ①在等腰梯形ABCD中，， ， ， ， 所以， ， 所以. ②因为共线，则存在实数，使得， 又因为共线，则存在实数，使得， 所以，解得. 所以. , . 【小问2详解】 因为点E，F分别是边BC与边CD上的点，AE与BD交于点，， 所以，解得， 又因为, . 所以 ， 所以，当且仅当时取“=”. 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度春学期高一数学期中考试 试题卷 一、单选题 1. 下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 2. 如图，正方形和正方形有公共边，与向量相等的向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，且，那么的值是（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 8. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若与都是单位向量，则 B. 方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C. 直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 D. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 10. 下面给出的关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题 12. 若向量的模为2，向量与方向相同，且，则___________． 13. 已知，则向量在向量上的投影向量是__________. 14. 已知向量，，且，则______. 四、解答题 15. 若，的夹角为，， （1）求； （2）求 （3）求在上的投影数量． 16. 化简下列各式： （1）； （2）． （3）． 17. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 18. 已知向量.求： （1）； （2）； （3）若，求实数的值. 19. 在等腰梯形中，，点E，F分别是边与边上的点，且与交于点. （1）当时， ①用表示； ②求的大小. （2）求实数的取值范围，并求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $