精品解析：广东省茂名市电白区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第二学期期中考试 高一数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，. 若，则实数（ ） A. B. 9 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，即. 故选：A. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式直接求解即可. 【详解】解：. 故选:D． 3. 式子的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用和角余弦公式化简求值即可. 【详解】. 故选：A 4. 已知向量，则（ ） A B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的坐标再求其模长即得. 【详解】因，则， 于是，. 故选：A 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理得推论可得的值. 【详解】在中，由题意知： ， 故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理得推理，属于基础题. 6. 在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理得，然后利用中线的向量表示得，利用数量积的运算律及模的运算公式求解的长即可. 【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去）， 因为是边上的中点即， 所以， 所以. 故选：D 7. 如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，根据正弦的概念求解点的纵坐标，即可得解. 【详解】由题意，，所以，所以点逆时针运动ts时，， 所以点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离. 故选：C 8. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由化简得，再由余弦定理得，即可求得角A的取值范围. 【详解】由可得，整理得， 由余弦定理得，则，又，则 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 在正方形ABCD中， B. 的模长为0 C. 若，则向量是单位向量 D. 若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据正方形的性质结合相等向量的定义分析判断，对于B，由零向量的定义判断，对于C，由单位向量的定义判断，对于D，根据共线向量的定义判断. 【详解】对于A，在正方形ABCD中，与的方向不同，A错误. 对于B，的模长为0，B正确. 对于C，若，则向量是单位向量，C正确. 对于D，若向量与向量是共线向量，则向量与向量的可能相反，D错误. 故选：BC 10. 为了得到函数的图象，可将函数的图象上的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数左右平移的规则判断求解即可. 【详解】将函数的图象上的点向左平行移动个单位长度， 得函数的图象，故A正确B错误； 将函数的图象上的点向右平行移动个单位长度得函数 ， 故C正确D错误. 故选：AC 11. 已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，被称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在上有7个零点 C. 的最大值为3 D. 在上是增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】先对函数化简得，然后逐个分析判断即可. 【详解】 . 对于A，因为， 所以不是的一个周期，A错误； 对于B，由，得或， 当时，可得， 所以在上有7个零点，B正确； 对于C，当取得最大值，取得最小值时，取得最大值， 因为，所以的最大值为3，C正确； 对于D，因为，所以D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则=______ 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 14. 扇形的半径为1，，点在弧上运动，，则的最大值是______. 【答案】2 【解析】 【分析】解法1：建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可求解． 解法2：利用数量积的运算律得，然后利用基本不等式求解最值，再求出或时的最值，即可得解. 【详解】解法1：以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则，其中． 因为，所以，即， 所以． 所以当时，取得最大值2，此时点为的中点 解法2：因为，且， 所以， 又，所以， 当时，，整理得， 当且仅当时等号成立. 当或时，. 综上，的最大值为2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，， （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积坐标表示即可； （2）根据向量夹角余弦值的坐标表示即可； （3）计算出，再利用向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 因为， . 【小问2详解】 ，， . 【小问3详解】 因为向量， 所以， 因为， 所以，解得. 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据两角差的正弦公式求解； （2）先求出，再根据两角差的正切公式求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 因为， ， 所以， 所以. 17. 在中，，，． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及三角形内角和，结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用平方关系即两角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可得的值，利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 解：由正弦定理可得：, 又，所以， 整理得：， 因为，所以，而B为三角形内角，故. 【小问2详解】 解：因为，所以或， 又，，所以 当时，，不符合题意， 故，， 由正弦定理得，即，解得， 故的面积为：. 18. 已知函数的一段图象如图所示 （1）求函数的表达式； （2）已知，求的最值及相应的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2），，，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据周期求得，再根据特殊点及条件求得，即可得解. （2）结合正弦函数的性质，利用整体法求得最值及相应的值. （3）先利用已知及二倍角余弦公式求得，再结合诱导公式求解即可 【小问1详解】 由图象可知，，所以，又，故． 由，得，又，故． 于是． 【小问2详解】 由，得，所以， 所以， 当时，即时，， 当时，即时，. 【小问3详解】 因为，得， 所以， 所以. 19. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）①求的值． ②证明存在点，使得，并求出坐标． （2）若点在四边形的四条边上运动，当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】（1）①；②证明见解析，（6，3） （2） 【解析】 【分析】（1）①分别求出，利用向量夹角公式可得； ②由条件知点为四边形外接圆的圆心，由，可得，所以四边形外接圆的圆心为的中点，从而求出点的坐标； （2）求出四边形各边长，由将四边形分成面积相等的两部分，可知，从而可得点的坐标． 【小问1详解】 ①因为， 所以， 得， ， 所以． ②由知，点为四边形外接圆的圆心． 因为， 所以 所以，四边形外接圆的圆心为的中点， 所以点的坐标为（6，3），得证． 【小问2详解】 易得． 因为将四边形分成面积相等的两部分，则点在上，且，所以有 得，所以． 设点的坐标为（x，y），则， 所以，则，故点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期期中考试 高一数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，. 若，则实数（ ） A. B. 9 C. 1 D. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 式子的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则（ ） A. B. 10 C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（ ） A B. C. D. 7. 如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 在正方形ABCD中， B. 的模长为0 C. 若，则向量是单位向量 D. 若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同 10. 为了得到函数的图象，可将函数的图象上的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D 向左平行移动个单位长度 11. 已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，被称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在上有7个零点 C. 的最大值为3 D. 在上是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则=______ 13. 若，则__________． 14. 扇形半径为1，，点在弧上运动，，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，， （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若向量与互相垂直，求实数的值. 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 中，，，． （1）求； （2）求的面积． 18. 已知函数的一段图象如图所示 （1）求函数的表达式； （2）已知，求的最值及相应的值； （3）若，求的值. 19. 平面直角坐标系中，已知点． （1）①求的值． ②证明存在点，使得，并求出的坐标． （2）若点在四边形的四条边上运动，当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$