精品解析：2025年四川省宜宾市第二中学校九年级二诊考试数学试题

宜宾市二中2025年春期九年级第二次诊断性考试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 【详解】的平方根是． 故选：C． 2. 某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方运算、平方差公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 5. 某射击爱好者的次射击成绩（单位：环）依次为：，则下列结论正确的是（ ） A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数和方差，根据以上定义分别计算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由数据可得，众数是，故选项错误； 数据由小到大排列为， ∴中位数为，故选项错误； 数据的平均数为，故选项正确； ∴数据的方差为，故选项错误； 故选：． 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5，木长-绳长=1，据此可以列方程求解； 【详解】设绳子长x尺，木长y尺， 依题意可得：， 故选：C 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列方程求解． 7. 如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由旋转变换的性质可知，， ∴正方形的面积＝四边形的面积， ∴，， ∴，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键． 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 9. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 10. 已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设出点和点的坐标分别为：，、，，设线段所在的直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：，然后根据，得到，然后利用正切的定义进行化简求值即可． 【详解】解：设点的坐标为，，点的坐标为，， 设线段所在的直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：， 则，， ， 整理得：， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，解题的关键是设出、两点的坐标，然后利用互相垂直的两条直线的比例系数互为负倒数求解． 11. 如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合等腰直角三角形性质得出，，再证明，因为，所以，得出是等腰直角三角形，作点A关于直线CF的对称点，当点A，C，在同一直线上，的周长最小．得证 即可作答．本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】提示：如图，过点F作，交的延A长线于点H，连接, ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接AC，则，， ∴，． 作点A关于直线CF的对称点， ∴，点A，C，在同一直线上， 连接，交CF于点，连接，则， 此时最小， 即的周长最小． 过点作，交DC的延长线于点I， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小为． 故选：D． 12. 如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①先求出抛物线于x轴的另一个点的坐标，根据图象即可判断①是否正确；②根据二次函数与一元二次方程关系，利用数形结合思想即可判断②是否正确；③利用割补法用a表示出面积，再求出a的值，即可判断③是否正确；④过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、，运用分类讨论思想，求出a的值，再将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q，推出当点O，点P，点，点共线时，值最小，最小值为，此时，设，在和中，利用勾股定理列出方程组，求出m，n的值，进而求出，并与比较，即可判断④是否正确． 【详解】解：①∵抛物线经过点，顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，， 故①正确； ②方程有两个实数根相当于函数的图象与函数的图象有两个交点， 画出函数图象如下，由图可知，这两个图象没有交点， 故②正确； ③将，代入， 得， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线对称轴交x轴于H，如图， 则， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，，，，，， ∵为直角三角形，有三种情况：或或， 显然， ∴只能或， 若，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； ∵点B在与之间（不含端点）， ∴， 解得， ∴， ∴，， 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴当点O、P、、共线时，值最小，最小值为， 此时， 设， 则，，，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法，二次函数于一元二次方程关系，图形的旋转变换，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二元二次方程组，能灵活运用上述知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解的原则，先提取公因式，再结合完全平方公式计算，即可得到答案 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握提取公因式、完全平方公式的性质，从而完成求解． 14. 已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解，以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据方程的解得到，利用根与系数的关系得到，最后代入式子求解，即可解题． 【详解】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，，交于点F，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同位角相等得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是的外角， 故答案为： 16. 如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长； 【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1， ∴AB=2DE=2， ∵点F、G分别是AC、BC中点， ∴， 故答案为：1 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 17. 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图， 取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为等腰梯形， ， ，，， ， 点在以点为圆心，2为半径的圆上， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， 当三点共线时，有最小值， 面积的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键． 18. 如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，可得，从而即可求解． 【详解】解：， ，， 点是的一个“布洛卡点”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解此题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的文字说明或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. （1）计算：． （2）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算； （1）先根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角度三角函数值化简，再计算即可； （2）先算减法，再算除法，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵，， ∴从1，2，3中只能选取，此时原式． 20. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明． 【详解】略 21. 某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级(2)班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图： 八年级(2)班参加球类活动人数情况统计表 项目 篮球 足球 乒乓球 排球 羽毛球 人数 a 6 5 7 6 八年级(2)班学生参加球类活动人数情况扇形统计图 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)a＝ ，b＝ ． (2)该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人； (3)该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学(A，B，C)和2位女同学(D，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率． 【答案】(1)a＝16，b＝17.5(2)90(3) 【解析】 【分析】（1）首先求得总人数，然后根据百分比的定义求解； （2）利用总数乘以对应的百分比即可求解； （3）利用列举法，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）a=5÷12.5%×40%=16，5÷12.5%=7÷b%， ∴b=17.5， 故答案为16，17.5； （2）600×[6÷（5÷12.5%）]=90（人）， 故答案为90； （3）如图，∵共有20种等可能的结果，两名主持人恰为一男一女的有12种情况， ∴则P（恰好选到一男一女）==． 22. 【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； （2）下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由对称的性质可得，，，解直角三角形得出，即可得解； （2）作于，四边形为矩形，得出，解直角三角形得出，分别求出和时的值，作差即可得解． 【小问1详解】 解：由对称的性质可得，，， 在中，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于， ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 当时，， 当时，， ∴下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度为． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图像直接写出不等式的解集； （3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或， （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图像位置关系即可得解； （3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、， 设，则， ∴， 则， ， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ∴， 即点的坐标为． 如图，过作轴于点，过作轴于点，设， 由（1）得：，， ∴，， ∴，，， 则 ， ， ∴， 即点的坐标为， 综上所述：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键． 24. 如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求EF的长． 【答案】（1） 证明：连接OD，BD， ∵ED是⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥ED， ∴∠ODA+∠EDA=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ODA+∠ODB=90°， ∴∠ODB=∠EDA， ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠OBD， ∴∠EDA=∠ABD， ∵， ∴∠E=90°， ∴(等角的余角相等)； （2）如图，连接BD、BF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∴BF∥CE， ∴∠C=∠ABF=∠ADF， 由（1）得， ∴△ADF△ACD， ∴, ∴； （3）EF． 【解析】 【分析】（1）连接OD，BD，由圆的切线的性质结合圆周角定理可求得∠EDA=∠ABD，再利用等角的余角相等，可证明结论； （2）如图，连接BD、BF，利用平行线的性质以及圆周角定理证得∠C=∠ADF，根据（1）的结论可证明△ADF△ACD，可证明结论； （3）设OA=OD=x，利用三角函数的定义和勾股定理得到OC=4x，CD，AC =5x，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过D作DH⊥AB于H，连接OD，BD， 设OA=OD=x， 在Rt△ODC中，， ∴OC=4x， 则CD=， AC=OA+OC=5x， 由（2）得，即， ∵∠C+∠DOC=90°，∠ODH+∠DOH=90°， ∴∠ODH=∠C， 在Rt△ODH中，， ∴OH=， ∴DH=， 由（1）得， DH=DE=， ∵∠EFD=∠ABD(圆内接四边形外角等于内对角)， 由（1）得∠EDA=∠ABD， ∴∠EFD=∠EDA， ∴△EAD△EDF， ∴，即， ∴EF， 在Rt△DEF中，，即， 解得：， ∴EF． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，也考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键． 25. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可， （2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标， （3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴， ， 解得， 抛物线解析式为：， 【小问2详解】 当，即， 解得， ， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 设，过点作轴交直线于点， 则， ， 四边形的面积为16， ， 解得， 或， 【小问3详解】 如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作， 是抛物线的对称轴， ， ， ，， ， ， 在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则， ， ， ，， ， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， ． 则的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市二中2025年春期九年级第二次诊断性考试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 3. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某射击爱好者的次射击成绩（单位：环）依次为：，则下列结论正确的是（ ） A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（ ） A. B. C. D. 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 10. 已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（ ） A. 16 B. C. D. 12. 如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式______． 14. 已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为_______． 15. 如图，，交于点F，则________． 16. 如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则_________． 17. 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______． 18. 如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么______． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的文字说明或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. （1）计算：． （2）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 20. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 21. 某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级(2)班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图： 八年级(2)班参加球类活动人数情况统计表 项目 篮球 足球 乒乓球 排球 羽毛球 人数 a 6 5 7 6 八年级(2)班学生参加球类活动人数情况扇形统计图 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)a＝ ，b＝ ． (2)该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人； (3)该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学(A，B，C)和2位女同学(D，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率． 22. 【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； （2）下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图像直接写出不等式的解集； （3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 24. 如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求EF的长． 25. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $