精品解析：四川省内江市资中县球溪高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

球溪高级中学2024-2025年高二数学三月月考试卷 姓名：_____班级：_____ 出题人：陈燕 审题人：罗琳 试做人：李应聪 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 是等差数列，，，的第（ ）项． A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 2. 已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（   ） A. 160 B. 210 C. 640 D. 850 4. 等差数列的前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 7. 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8. 记为数列前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 记为正项数列的前项和，已知，则（ ） A. B. 数列单调递增 C. 数列单调递增 D. 10. 下列结论正确的是（ ） A B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（ ） A. 或32 B. C. 当最小时的“雹程”是2步 D. 或4747 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列，_______. 13. 设函数的导函数为，若，则______． 14. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数的图象过点，且． （1）求a，b的值． （2）求曲线在点处的切线方程． 16. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）试判断函数的单调性． 18. 已知数列和满足.若为等比数列，且 （1）求数列与的通项公式： （2）设.记数列的前项和为. （i）求； （ii）求正整数，使得对任意，均有. 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断并证明数列是否具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 球溪高级中学2024-2025年高二数学三月月考试卷 姓名：_____班级：_____ 出题人：陈燕 审题人：罗琳 试做人：李应聪 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 是等差数列，，，的第（ ）项． A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】C 【解析】 【分析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项． 【详解】解：等差数列，，中，， 令，得 是这个数列的第100项． 故选：C． 2. 已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集即函数的减区间，结合图象分析即可 【详解】不等式的解集即函数的减区间， 由题图知的减区间为， 故的解集为. 故选：A 3. 等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（   ） A. 160 B. 210 C. 640 D. 850 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，无解，所以， 所以， 两式相除得， 则， 所以. 故选：B 4. 等差数列的前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于为等差数列，可以利用等差数列的等差中项与求和公式之间的联系即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前项和分别为， 且， ∴， ∵. 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 6. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 7. 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两个等差数列的公差，得到公共项的公差，从而得到新数列的通项公式，通过新数列中的项小于等于，从而得到的范围，得到答案. 【详解】等差数列2，6，10，…，190，公差为， 等差数列2，8，14，…，200，公差为， 所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 其公差为，首项为， 所以通项为， 所以，解得， 而，所以的最大值为， 即新数列的项数为. 故选：B. 【点睛】本题考查求两个等差数列的公共项组成的新数列，属于中档题. 8. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 记为正项数列的前项和，已知，则（ ） A B. 数列单调递增 C. 数列的单调递增 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：将代入即可；对于B：利用即可求出通项公式即可求得结果；对于C：由选项B的结论得到的通项公式即可判断；对于D：利用等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】对于A:当时，由，得，解得或， 又，所以，故A正确； 对于B：所以，当时，，两式作差得， 即当时，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，当时，也符合上式，故易知单调递增，故B正确； 对于C：因为，所以，因为， 所以不是单调递增数列，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：AB 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的运算规则可判断AC的正误，对于B，求出函数的导数后结合导数值可求自变量的值，对于D，求出函数的导数后利用赋值法可求. 详解】对于A，，故A错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于B，若，故，故，故B正确； 对于D，，故， 故，故D正确； 故选：BD. 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（ ） A. 或32 B. C. 当最小时的“雹程”是2步 D. 或4747 【答案】BC 【解析】 【分析】由，结合即可推出，即可判断选项A；由周期性即可求得，即可判断选项B；由A选项得的最小值为4，故雹程是2步即可判断选项C；由A可知，，或，分类求出其前项和即可判断选项D. 【详解】对于A，因为，所以； 或；或， ，即或5或4，故A错误； 对于B，因为，所以从开始，周期为3，又， 所以，故B正确； 对于C，由A选项得的最小值为4，故雹程是2步，故C正确； 对于D，当时，； 当时，； 当时，，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为等比数列，_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 因为所以，即， 所以. 故答案：. 13. 设函数的导函数为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的定义可求得. 【详解】因为，则. 故答案为：. 14. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和______. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义可得为等差数列，即可得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【详解】由题意可知：，又，故为等差数列， 故，故， 故， 故数列的前项和， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数的图象过点，且． （1）求a，b的值． （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由和的图象过点列方程组求解即可， （2）根据导数的几何意义求解. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得：，． 【小问2详解】 由（1）知，又因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即． 16. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】 因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． 【小问2详解】 因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 17. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）试判断函数的单调性． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数在上单调递增，在上单调递减． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据其导函数求出切线的斜率，进而利用点斜式求出切线方程． （Ⅱ）根据导函数的正负即可判断其单调性． 【详解】解：（Ⅰ）， ，又， 曲线在点处的切线方程为，即． （Ⅱ）的定义域为，且， 令，得；令，得， 函数在上单调递增，在上单调递减． 【点睛】本题主要考查导数法研究函数单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，属于基础题． 18. 已知数列和满足.若为等比数列，且 （1）求数列与的通项公式： （2）设.记数列的前项和为. （i）求； （ii）求正整数，使得对任意，均有. 【答案】（1）； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】利用和求出公比，确定，结合指数运算求解； （i）利用分组求和求解；（ii） 时，作差法确定的单调性得正负项分界求解的最大值即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为，可知， 当时，， 所以，又因为，所以， 又因为，所以或（舍去）， 所以，由有： 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）知，， 所以 （ii）因为； 当时，，而 则，所以当时，， 综上对任意的恒有，故 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断并证明数列是否具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）具有，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出； （2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质； （3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析. 【小问1详解】 由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 【小问2详解】 数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 【小问3详解】 因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$