精品解析：广西壮族自治区防城港市高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中阶段性教学质量检测数学试题

防城港市高级中学2025年春季学期 高一年级数学科阶段性教学质量检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和直线外的一点确定一个平面直接判断即可. 【详解】由题意知，直线和直线外的一点确定一个平面. 故选：C 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直的坐标关系即可求解. 【详解】向量，由得，所以． 故选：A 3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解. 【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且， 原图形为，其中，且， 则的面积为． 法二：直观图面积为， 原图形的面积等于直观图面积的倍， 所以原图形的面积为． 故选：B 4. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的向量表示求出，再利用复数除法求解判断. 【详解】依题意，，则， 所以对应的点的坐标为位于第三象限. 故选：C 5. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：以正方体为载体，举反例说明即可；对于C：根据线面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于选项ABD：在正方体中， 例如平面，平面，， 但平面平面，故A错误； 例如平面，平面，平面平面， 但直线与直线异面，故B错误； 例如平面，平面， 但直线与直线异面，故D错误； 对于选项C：根据线面平行的判定定理可知若，，，则，故C正确； 故选：C. 6. 已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合向量加减法求出、，进而根据即可得解. 【详解】由题意知，当A，B，C三点共线时， ，， 且共线，故不妨设， 则，所以，解得. 故选：D 7. 三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出三棱锥的外接球半径，将三棱锥补成长方体，根据长方体的外接球直径等于其体对角线长，即可求出线段的长. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，则，解得， 因为，，，则，可得， 又因为，，所以，、、两辆相互垂直， 将三棱锥补成长方体， 则该长方体的外接球直径为，解得， 故选：B. 8. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果. 【详解】该组合体的直观图如图： 半球的半径为米，圆柱的底面半径为米，母线长为米，圆台的两底面半径分别为米和米，高为米， 所以半球的体积为（立方米）， 圆柱的体积为（立方米）， 圆台的体积为（立方米）， 故该组合体的体积为（立方米）. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的不得分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 由已知可得，，故B错误； 因为，又，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（ ） A. △ABC的最短边长为4 B. △ABC的三个内角满足 C. △ABC的外接圆半径为 D. △ABC的中线CD的长为 【答案】AB 【解析】 【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC的中线：． 【详解】因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确； 因为，所以，，故B正确； 因为，所以，由正弦定理得，，C错误； ，所以，故，D错误. 故选：AB. 11. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点．则（ ） A. 正方体体积是三棱锥体积的24倍 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 三棱锥与在棱锥的体积相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正方体和棱锥的体积公式，可判定A正确；连接和，证得面面，结合面面平行的性质，可判定B正确；根据三角形的面积公式，可判定C正确；根据棱锥的体积公式，求得两三棱锥的体积，可判定D不正确． 【详解】由正方体的棱长为2，可得其体积为， 又由三棱锥的体积，可得， 所以正方体体积是三棱锥体积的24倍，所以A正确； 连接和，则，可得面面， 因为平面，所以面，所以B正确； 由为等腰三角形，底边，故三角形的高为， 可得的面积为，所以C正确； 由，所以D不正确． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且与共线，则y=_________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为与共线，所以，解得. 考点：平面向量共线的坐标运算 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系计算即得. 【详解】在中，由正弦定理，得， 在中，（）. 故答案为： 14. 现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时________分钟． 【答案】37 【解析】 【分析】利用台体的体积公式，结合题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，由此得解. 【详解】设正四棱台的高为，所以， 即，解得． 因为，，所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 甲容器内水的体积为， 设注水的速度为，则，解得． 当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 水的体积为， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为分钟． 故答案为：37. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中． （1）若为纯虚数，求的共轭复数； （2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据复数类型得到方程组，再利用共轭复数概念即可； （2）根据复数的几何意义得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得，则， 所以的共轭复数为． 【小问2详解】 由题意可得， 即， 解得，即的取值范围是． 16. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解. （2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解. 【小问1详解】 设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2. 【小问2详解】 由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积. 17. 如图，在中，，，分别在边上，且满足，为中点． （1）若，求实数的值； （2）若，求边的长． 【答案】（1）（2）6 【解析】 【分析】(1)先由，确定向量与，与之间的关系，用与表示出，由对应系数相等，即可求出结果； （2）用向量，表示出向量和，再由向量数量积运算求解即可. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以，所以， （2）因为， ， 所以， 设，因为， 所以，又因为， 所以， 化简得， 解得(负值舍去)，所以的长为6． 【点睛】本题主要考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，只需熟记定理和公式即可求解，难度不大. 18. 如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证： （1）直线平面； （2）平面平面； （3）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 【答案】（1）证明：连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG∥SB， 由EG⊄平面BDD1B1，SB⊂平面BDD1B1，可得EG∥平面BDD1B1； （2）证明：由EF∥DB，EF⊄平面BDD1B1，DB⊂∥平面BDD1B1， 可得EF∥∥平面BDD1B1， 又由（1）可得EG∥平面BDD1B1， EF∩EG＝E，可得平面EFG∥平面BDD1B1； （3）画图： 截面的面积为． 【解析】 【分析】（1）连接SB，由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）由线面平行和面面平行的判定定理，即可得证； （3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE，取A1D1的中点M，连接MC1，AM，由平行四边形的判定和性质，推得截面为菱形，由对角线互相垂直，可得所求面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE， 可得AE∥A1N，AE＝A1N， 取A1D1的中点M，连接MC1，AM， 可得MC1＝A1N，MC1∥A1N， 可得截面AEC1M为平行四边形，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝＝， 所以截面的面积为×A1C1×ME＝××＝． 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且， （1）求A的值； （2）若，求周长的最大值； （3）设内角A的平分线交BC于点D，，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）6； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）由（1）的信息，利用基本不等式求出最大值. （3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 即，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而， 则，解得，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为6. 【小问3详解】 由内角A的平分线交BC于点D，，得， 即， 因此，即，当且仅当时取等号， 则，所以面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 防城港市高级中学2025年春季学期 高一年级数学科阶段性教学质量检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 4. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的不得分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为 10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（ ） A. △ABC的最短边长为4 B. △ABC的三个内角满足 C. △ABC的外接圆半径为 D. △ABC的中线CD的长为 11. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点．则（ ） A. 正方体体积是三棱锥体积的24倍 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 三棱锥与在棱锥的体积相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且与共线，则y=_________ 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m. 14. 现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时________分钟． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中． （1）若为纯虚数，求的共轭复数； （2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 16. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 17. 如图，在中，，，分别在边上，且满足，为中点． （1）若，求实数的值； （2）若，求边的长． 18. 如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证： （1）直线平面； （2）平面平面； （3）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且， （1）求A的值； （2）若，求周长的最大值； （3）设内角A的平分线交BC于点D，，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $