精品解析：江西省萍乡市2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

绝密★启用前 萍乡市2024-2025学年度第二学期期中联考 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第七章占20%，选择性必修第二册占80%. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知单调递减的等比数列满足，则（ ） A. B. C. 243 D. 729 5. 已知气球的体积（单位：）与半径（单位：）之间的函数关系是，气球半径关于气球体积的导数被称为气球的瞬时膨胀率，则当气球的瞬时膨胀率为时，体积为（ ） A. B. C. D. 6. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为M市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中x为月份代号，y（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代年 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，估计2025年4月的该市AI电脑的月销量为（ ） A. 1.63 B. 1.62 C. 1.53 D. 1.52 7. 函数在上的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 若数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称是二阶等差数列.现有二阶等差数列，已知，则（ ） A. 1264 B. 1224 C. 1128 D. 1120 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为0 C. 的图象是轴对称图形 D. 的图象关于点对称 11. 记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. 不存在正整数，对于任意的正整数，均有 C. D. 对于任意的正整数，均有 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，是方程的两个根，则______． 13. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变是对于反应变量变化的线性相关度，则__________. 14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最值. 16. 某高中开设“四季农耕”的劳动教育课程，课程包括播种和田间管理．学校对选择了这两类课程的学生人数分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有几项缺失，已知有的男生选择了播种课，统计表格如下． 课程 性别 合计 男生 女生 播种 160 田间管理 120 合计 400 （1）补全表格，并判断是否有的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关； （2）学校为了调研学生课程完成率是否存在与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式：①，②，已知随机调查了6名同学课程的完成率如下表，用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显．（数据处理方式的偏差系数越大，对大偏差数据的存在体现越明显） 学生编号 1 2 3 4 5 6 完成率 50 70 60 66 72 84 附，． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知正项数列的前项和满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，当取得最大值时，求的值. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 萍乡市2024-2025学年度第二学期期中联考 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第七章占20%，选择性必修第二册占80%. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】由题意有． 故选：C． 2. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系计算即可. 【详解】令可得，；令可得，． 故选：C． 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的求导法则得出，利用可求出值，再求函数值即可. 【详解】由求导，得， 则，得，则， 所以. 故选：D. 4. 已知单调递减的等比数列满足，则（ ） A. B. C. 243 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求出，进而可求出，再根据等比中项即可得解. 【详解】依题意，且，则， 故. 故选：B. 5. 已知气球的体积（单位：）与半径（单位：）之间的函数关系是，气球半径关于气球体积的导数被称为气球的瞬时膨胀率，则当气球的瞬时膨胀率为时，体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到，然后求导由计算即可求解. 【详解】由，得， 求导，得，令，解得. 故选：D. 6. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为M市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中x为月份代号，y（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代年 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，估计2025年4月的该市AI电脑的月销量为（ ） A. 1.63 B. 1.62 C. 1.53 D. 1.52 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本中心点在线性回归直线上，求出，代入，求出，然后将2025年4月对应的代入回归方程，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 2025年4月对应的，代入得. 故选：A 7. 函数在上的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数，求得函数的单调性，即可求得最小值，再求出函数在的端点处的函数值，比较大小，可求得最大值，进而得出函数的值域. 【详解】由求导，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 又， 所以函数在上的最大值为， 因此函数在上的值域是. 故选：C 8. 若数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称是二阶等差数列.现有二阶等差数列，已知，则（ ） A. 1264 B. 1224 C. 1128 D. 1120 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知结合二阶等差数列的定义，即可得出，进而根据累加法，即可得出答案. 【详解】依题意，是等差数列， 设其公差为，则， 即①， ，即②. 由①②解得，所以， 所以. 所以， 将以上个等式左，右分别相加， 得，得， 所以. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 令，则，又，， 则，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为0 C. 的图象是轴对称图形 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A求导，解不等式、即可；B利用单调性可知；C由时；时，可判断；D计算即可. 【详解】依题意，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减，故A正确； 而的极大值为，故B正确； 因，结合单调性可知时；时，， 故不是轴对称图形，故C错误；， 则关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 11. 记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. 不存在正整数，对于任意的正整数，均有 C. D. 对于任意的正整数，均有 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别写出数列和数列的前三项，求出或，分别验证可判断A；判断数列是否存在唯一的最大值可判断B；令，利用裂项相消法可求出可判断C和D. 【详解】对于A，因为为等差数列，取前3项知成等差数列，即， 因为为等比数列，取前3项知成等比数列，即． 代入得，等价于， 也即，所以或． 若，那么，所以， 此时不为等比数列，所以不符合题意， 若，则，得， 检验得为等差数列，为等比数列，故A正确； 对于B，也就是验证数列是否存在唯一的最大值， 令，解得，令，解得，当时，，． 所以，即最大值不唯一，因此不存在符合题意的正整数，故B正确； 对于C， ． 记，注意到． 所以，， 故，故C错误； 对于D，由C知，对于任意的正整数，均有，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，是方程的两个根，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据韦达定理及等比中项的性质即可求解. 【详解】由韦达定理可得，由等比数列的性质可得． 故答案为：8. 13. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变是对于反应变量变化的线性相关度，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用线性相关系数的意义即可求得. 【详解】由已知样本数据所对应的点均在直线上，则，又，所以满足负相关，即. 故答案为： 14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件化简，再构造函数设，结合函数单调性得出函数最值即可求参. 【详解】由，得，由，得， 设，则， 设，则， 知在上单调递增，且， 则当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 又， 所以当时，，则在上单调递减， 所以，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为1 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，然后分别求出，比较大小，可得出函数在区间上的最大值和最小值. 【小问1详解】 依题意，，所以， 由导数的几何意义可得，所求切线的斜率为0； 又，所以切点坐标为， 所以所求切线方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， ，易知 所以， 故在区间上的最大值为，最小值为1. 16. 某高中开设“四季农耕”的劳动教育课程，课程包括播种和田间管理．学校对选择了这两类课程的学生人数分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有几项缺失，已知有的男生选择了播种课，统计表格如下． 课程 性别 合计 男生 女生 播种 160 田间管理 120 合计 400 （1）补全表格，并判断是否有的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关； （2）学校为了调研学生课程完成率是否存在与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式：①，②，已知随机调查了6名同学课程的完成率如下表，用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显．（数据处理方式的偏差系数越大，对大偏差数据的存在体现越明显） 学生编号 1 2 3 4 5 6 完成率 50 70 60 66 72 84 附，． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格如下： 课程 性别 合计 男生 女生 播种 160 80 240 田间管理 40 120 160 合计 200 200 400 有的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关． （2），，方式② 【解析】 【分析】（1）设男生有人，根据题意有，解得，可补全表格，再根据卡方的计算可判断； （2）先计算完成率的平均数，再根据①②公式计算比较即可. 【小问1详解】 设男生有人，则，解得，所以选择田间管理课的男生人数为40， 从而女生有200人，女生中选择播种课的人数为80人， 完善表格如图， 课程 性别 合计 男生 女生 播种 160 80 240 田间管理 40 120 160 合计 200 200 400 ， 故有的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关． 【小问2详解】 ， 根据①的计算公式计算：； 根据②的计算公式计算：， 因此方式②的偏差系数更大，从而方式②对大偏差数据的体现更加明显． 17. 已知正项数列的前项和满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据关系式利用的关系式可证明是常数列，可求得的通项公式； （2）利用错位相减法计算可得结果. 【小问1详解】 对于正项数列，令得，解得， 即可得，， 两式相减得到， 即， 故，于是是常数列， 可得， 故． 【小问2详解】 由（1）可得， 故， ， 两式相减得到 18. 已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，当取得最大值时，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分与两类讨论，易得不合题意，当时，结合裂项相消求和，得出，即可解得，从而得解通项公式；利用关系式即可求得的通项公式； （2）由（1）得出数列的通项公式，得出的单调性情况，从而可以根据单调性求出最大项. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 当时，则，与矛盾，不合题意； 当时， ， 解得，所以， 即. 当时，，得， 当时， ①， ②， ①-②得，即，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 即； 【小问2详解】 ，则， 所以， 令，则， ， 则 所以，得出 即， 所以数列中，最大，故. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3） 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 不妨设，要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则， 故在上单调递增，则， 故，则得证. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性即可得出极值； （2）先构造函数求出导函数，再得出函数的最小值即可得出参数范围； （3）构造函数求出导函数，再得出函数的最大值即可证明. 【小问1详解】 依题意，， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故的极小值为无极大值. 【小问2详解】 依题意，，令， 则，令，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，，当时，由在上单调递增，且， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故， 则，故，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $