精品解析：黑龙江哈尔滨市第二十四中学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

黑龙江哈尔滨市第二十四中学校2026-2027学年高三上学期开学考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合、，利用集合的交集运算求解. 【详解】，, 所以. 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在 或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 解得. 5. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得，可求出的值，可求出的值，即可得出切点的坐标，再利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则， 因为函数在点处的切线与直线平行， 由导数的几何意义可得，解得， 所以，则，即切点为， 故所求切线的方程为，即. 6. 已知定义在R上的函数满足是偶函数，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由是偶函数得到函数对称轴，再结合给出的对称关系式推导函数周期，最后利用周期性和对称关系计算的值. 【详解】∵ 是偶函数，∴ ，即. 又∵ ，将代入上式得 . 令，则，代入得 ， ∴ ， ∴ 函数的周期为. ∵ ，∴ . 在中令，得，即， 解得 ，即. 7. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质即可求解. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为是奇函数，且图象连续不断，所以是偶函数， 由于，所以， 因为等价于，得，解得或， 因此不等式的解集为. 8. 设函数，若函数有三个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用数形结合，对进行分类讨论求解即可． 【详解】函数有三个零点，等价于函数与图象有3个交点， 且图象恒过点，作出函数的图象如图： 如图，当时，与的图象有且只有一个交点， 当时，与的图象有2个交点， 当直线过时，，此时与的图象有2个交点， 当时，与的图象有3个交点， 当时，与的图象有1个交点， 当时，， 对求导得，令，解得， 所以在处的切线方程为， 故是的切线， 此时与的图象有2个交点， 由图，当时，与的图象有3个交点， 综上，， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与1°的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【解析】 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】因为，，则，所以，所以，故A正确； 因为，所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 因为，所以的最小值为，当且仅当时等号成立，故D正确； 11. 设函数，则（ ） A. 当时， B. 若，则该不等式的解集为或或 C. 若关于的方程有4个不同的实数解，则 D. 上一定存在四个不同的点可以构成矩形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，求导，判断函数在的单调性，进而比较大小；对于选项B，先根据的图象解出的解集，进而求出的解集；对于选项C，令，将方程转化为关于的方程，结合函数图象分析方程的根的情况；对于选项D，根据中心对称来判断. 【详解】对于选项A，因为，， 所以，，在上单调递增， 又，所以，选项A错误； 对于选项B，，或，在，上单调递增， ，，在上单调递减， 当时，取得极大值，当时，取得极小值， 如图所示，，或， ，解得或或， 所以或或， 解得或或， 所以不等式的解集为或或，选项B正确； 对于选项C，令，方程可化为， 要使方程有4个不同的实数解， 关于的方程有两个不同实数根， 则，结合函数图象可得且， 令，则，，， 所以，可得，选项C正确； 对于选项D，因为， ， 所以关于点中心对称， 所以上一定存在四个不同的点可以构成矩形，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则________． 【答案】 2 【解析】 【详解】，， 所以. 13. 若在上是减函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为在上是减函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 设，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，，所以， 因为在上恒成立，所以. 14. 某特色文旅店推出一款以西汉“长信宫灯”为原型的创意小夜灯，每个小夜灯的制作成本为元，经市场调研发现，该小夜灯的日销量（单位：个）与售价（单位：元）之间的关系式为（）.若要使该店销售此款小夜灯的日利润最大，则每个小夜灯的售价应定为______元. 【答案】100 【解析】 【分析】先建立日利润关于售价的函数表达式，利用导数分析其在定义域内的最大值点，由此可得结论. 【详解】设日利润为元， 由已知每个小夜灯的利润为元，日销量为， 所以日利润，， 化简可得， 所以，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数，，取最大值，最大值为元， 即要使该店销售此款小夜灯的日利润最大，则每个小夜灯的售价应定为元. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，在处取得极值. （1）求实数，的值； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用极值及极值点的意义求出并验证即得. （2）由（1）的结果，利用导数求最值，即可求得值域. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 由在处取得极值， 得，解得， 此时， 当时，；当时，， 因此函数在处取得极值，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，则， 所以在区间上的值域为. 16. 已知. （1）求：及的值； （2）求的值； （3）若为第二象限角，求的值. 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用齐次式法求解即得. （2）利用诱导公式化简，结合同角公式求解. （3）利用同角公式化简求解. 【小问1详解】 当时，； . 【小问2详解】 当时，. 【小问3详解】 当，为第二象限角时，， . 17. 为了研究学生参加校园社团与抗压能力强弱的关系，某调查中心随机抽取了120名学生进行调研，所得数据如下表所示： 校园社团 抗压能力 合计 弱 强 参加 20 40 60 不参加 35 25 60 合计 55 65 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关？ （2）从参加校园社团的学生中按抗压能力强弱采用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生中抗压能力弱的人数为，求的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】（1）认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关； （2）分布列为 0 1 2 【解析】 【分析】（1）求出的值，根据独立性检验的意义即可得答案； （2）由题意可知的所有可能取值为，，，求出对应的概率，即可得分布列，再由期望公式求解即可. 【小问1详解】 零假设为：学生参加校园社团与抗压能力强弱无关. 根据表中的数据，可得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关. 【小问2详解】 这6名学生中抗压能力弱的有人，抗压能力强的有人， 则的所有可能取值为，，. ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 故. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，恒成立； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明：要证，即证．令，， 依题意，只需证当时，恒成立． 方法一：因为，，解，得， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． 所以函数在处取得极大值，也是最大值． 只需证函数的最大值． ， 因为，所以．因为，所以． 所以恒成立，所以当时，恒成立． 方法二：设，，则． 因为函数在上单调递减，且， 所以当时，，函数在上单调递减． 所以当时，，即，当且仅当时，等号成立． 因为当时，，所以． 所以当时，恒成立． （3）证明：由（2）知，对任意，． 取，得． 分别取，个不等式两边分别求和，得 ． 化简，得． 即． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，求切点处的切线方程； （2）问题转化为证明当时，，方法一，利用导数求的最大值；方法二，证明时，，又，可证； （3）利用（2）中的结论，结合数列的求和公式证明. 【小问1详解】 因为，，所以，，所以． 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）时，求零点的个数； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在定义域上单调递减. （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调性； （2）求导并找到函数单调区间后，根据零点的存在性定理可判断； （3）分离参数将问题转变为在上恒成立，令，通过导数可得函数的单调性，进而判断出其最大值，从而得到所求范围. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 当时，，则在定义域上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立， 所以在定义域上单调递减， 综上所述：当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在定义域上单调递减. 【小问2详解】 若，则的定义域为， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在内单调递减，则， 且，，可知在上各有一个零点， 又因为，所以有两个零点. 【小问3详解】 由分离参数可得，即在上恒成立， 令，， 则， 令，，则， 因为，则，可知在上单调递减， 则，且， 可知，满足，即， 可得，， 当时，，即；当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 可得，所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江哈尔滨市第二十四中学校2026-2027学年高三上学期开学考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在R上的函数满足是偶函数，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数有三个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与1°的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边落在直线上的角的集合是 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 设函数，则（ ） A. 当时， B. 若，则该不等式的解集为或或 C. 若关于的方程有4个不同的实数解，则 D. 上一定存在四个不同的点可以构成矩形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则________． 13. 若在上是减函数，则的取值范围是__________. 14. 某特色文旅店推出一款以西汉“长信宫灯”为原型的创意小夜灯，每个小夜灯的制作成本为元，经市场调研发现，该小夜灯的日销量（单位：个）与售价（单位：元）之间的关系式为（）.若要使该店销售此款小夜灯的日利润最大，则每个小夜灯的售价应定为______元. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，在处取得极值. （1）求实数，的值； （2）求在区间上的值域. 16. 已知. （1）求：及的值； （2）求的值； （3）若为第二象限角，求的值. 17. 为了研究学生参加校园社团与抗压能力强弱的关系，某调查中心随机抽取了120名学生进行调研，所得数据如下表所示： 校园社团 抗压能力 合计 弱 强 参加 20 40 60 不参加 35 25 60 合计 55 65 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关？ （2）从参加校园社团的学生中按抗压能力强弱采用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生中抗压能力弱的人数为，求的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 3.841 6.635 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，恒成立； （3）证明：． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）时，求零点的个数； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $