精品解析：湖北省部分高中2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2025年湖北省部分高中春季高一年级期中联考 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 模相等的两个平行向量是相等向量 C. 零向量没有方向 D. 若，是两个平行向量，则，也是共线向量 【答案】D 【解析】 【分析】由相等向量、零向量及共线向量的概念逐个判断即可. 【详解】对于AB，两个向量大小相等，方向相同即为相等向量，故AB错误； 对于C，零向量方向是任意，故C错， 对于D，平行向量又称共线向量，正确， 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式和三角函数的商数关系求解. 【详解】解：因为， 所以， . 故选：D 3. 若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【详解】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 4. 将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由诱导公式及两角差的正弦公式得出，再根据三角函数的平移伸缩变换得出，由关于轴对称，即可求解. 【详解】， 将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍， 然后再向左平移个单位长度后，得， 又因为的图象关于轴对称，所以， 所以，当时，， 故选：B， 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知及同角三角函数的平方关系得出，，再根据两角和的余弦公式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以，， 所以 ， 故选：C． 6. 已知函数（，）的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦型函数图象的周期性和特殊点值分别求出参数即可. 【详解】由图象可知，函数的最小正周期满足，即， 所以，且，故解得. 又由图象可知，时，，即， 则，即，又因为，所以. 所以. 故选：B. 7. 在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意有，利用正弦定理有，即可求解. 【详解】由正弦定理有， 又， 所以， 故选：B. 8. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的是（ ） A. 是函数（）的对称中心 B. 函数在区间上单调递增，满足题意的的值组成集合，则 C. 若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度小 D. 若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据正弦函数的对称中心判断；对于B：观察函数单调性判断；对于C：确定函数周期来判断；对于D：确定函数频率来判断. 【详解】对于A：由正弦函数的对称中心可得是函数（）的对称中心，故A正确； 对于B：由正弦函数的单调性可得当时为递增函数； 当时为增函数； 当时为增函数； 当为增函数，由复合函数的单调性可得原函数在区间上单调递增， 所以当时，，故B正确； 对于C：，即的振幅比的振幅大，又响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小，所以声音甲的响度一定比纯音响度大，故C错误； 对于D：因为， 所以的一个周期为， 假设存在一个为一个周期， 则， 即， 所以， 因为，， 所以不符合题意，所以的最小正周期为，频率为， 的频率为，，所以声音乙一定比纯音更低沉，故D正确. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若向量，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的数量积、模长公式、夹角的坐标运算以及投影向量的定义，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，设与的夹角为，则，因为，所以，故C正确； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量，满足，则与的夹角为钝角 B. ，是平面内一组不共线的向量，如果，，，则，，三点共线 C. 在任意锐角中，恒成立 D. 点是函数图象的一个对称中心 【答案】BC 【解析】 【分析】由共线反向可判断A，由向量共线可判断B，由两角和的正切公式可判断C，由二倍角公式及辅助角公式化简可判断D. 【详解】对于A，当，共线反向时，夹角为，此时满足，故A错误， 对于B：，又有公共点，所以，，三点共线，B正确， 对于C：任意锐角中，由， 得：， 化简可得：，C正确， 对于D， ， 显然对称中心的纵坐标为，D错误， 故选：BC 11. 如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（ ） A. B. 点为的重心 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A由得，对于B取的中点为，，利用重心的性质即可判断，对于C由，利用三点共线即可判断，对于D设中点为，计算，利用重心的性质得. 【详解】对于A：由有，故A错误； 对于B：取的中点为，由又，所以点共线，且为三等分点， 即为的重心，故B正确； 对于C：由，又三点共线，即，故C正确； 对于D：设中点为，则有，又，即， 所以，在中有，又为重心，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 当时，不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦线解不等式得解. 【详解】如图所示，正弦线大于等于的角的终边在图中的阴影部分区域， 所以不等式的解集为. 故答案为 【点睛】本题主要考查正弦线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 13. 已知向量，，，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算，向量共线及向量垂直的坐标公式列出方程组即可求解． 【详解】由题可得，，， 因为，，所以①，②， ①②得， 故答案为：． 14. 如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为_____. 【答案】12 【解析】 分析】由题意可推得，根据已知条件得出，，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 由已知可知，，， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用“五点法”作函数（，，）在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 2 0 （1）根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），（）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可求解析式，整体代入可得减区间； （2）分离参数求解最值可得答案或者利用数形结合法可得答案. 【小问1详解】 由题意知，， 令， 解得，， 即的单调递减区间为（）. 【小问2详解】 解法一：在区间恒成立，即在区间恒成立， 所以. 由于，则，所以. 即恒成立，所以，所以的取值范围为. 解法二：在区间恒成立，即在区间恒成立， 所以, 通过题干五点法作图以及函数以为周期，作部分简图如下： 由图可知：，即的取值范围为. 16. 已知向量，满足. （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值； （3）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算律结合向量夹角的公式计算可得； （2）由向量垂直数量积为零计算可得； （3）先由数量积的运算律和模长的计算公式求出两向量的模长，再代入夹角公式计算可得. 【小问1详解】 记，所成角为， 有，则，即， 又，所以， 又，因为，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 展开得，又由，，得 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 可得. 所以与的夹角的余弦值为. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及两角和与差的正弦公式即可求解； （2）根据平面向量数量积的定义求得，再根据余弦定理得出，即可求解周长． 【小问1详解】 由，得， 所以 又，所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以，则， 又，余弦定理，所以， 可得，即， 所以，即的周长为20． 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. （1）以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）， （i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻” 【解析】 【分析】（1）设，，，根据最大值、最小值求，根据周期求，根据初始位置求即可； （2）（i）同（1）求出乙的座舱高度与时间函数为，令即可解方程； （ii）结合余弦函数图象解不等式即可. 【小问1详解】 设，， 由题意可知，，，则，， 又易知，所以，得， 又当时，，则， 因，则， 所以，化简得. 【小问2详解】 （i）设乙的座舱高度与时间函数为， 同（1）可求得， 因为甲乙离地面高度相等，即， 可得：，即， 可解得，即， 故时，有最小值， 即当时，甲乙首次高度相等. （ii）由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求， 化简得， 因，则，故，则， 故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. 19. 在非钝角中，角，，所对的边分别为，，. （1）证明：； （2）若，. （Ⅰ）求的取值范围. （Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）或. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算即可证明； （2）（I）根据正弦定理，由（1），利用三角恒等变换的化简计算可得，结合即可求解；（II）易知，则，作出图形，得函数的零点依次为，，，……，分别代入建立不等式，解之即可. 【小问1详解】 ， 即证：； 【小问2详解】 （Ⅰ）因为，所以， 由正弦定理得， 由（1）得， 在中，知，且， 所以， 解得或. 若，在中，得； 若，在中，此式不成立， 所以，得，即， 由正弦定理，得，又，所以， 因为为非钝角三角形，，得， 由，，得， 所以，得，所以. （Ⅱ）依题意的最小值为，，∴ 在坐标系中大致作图如下； 因为在有且只有一个零点， 则有，，所以 又由图可知，函数的零点依次为，，，……， ①当唯一的零点是时，，解得； ②当唯一的零点是时，，解得； ③当唯一的零点不小于时，，解得，与相矛盾，故舍去. 故的取值范围是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省部分高中春季高一年级期中联考 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 模相等的两个平行向量是相等向量 C. 零向量没有方向 D. 若，是两个平行向量，则，也是共线向量 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，）的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的是（ ） A. 是函数（）的对称中心 B. 函数在区间上单调递增，满足题意的的值组成集合，则 C. 若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度小 D. 若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 若向量，，则（ ） A B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量，满足，则与的夹角为钝角 B. ，是平面内一组不共线的向量，如果，，，则，，三点共线 C. 任意锐角中，恒成立 D. 点是函数图象的一个对称中心 11. 如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（ ） A. B. 点为的重心 C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 当时，不等式的解集为__________． 13. 已知向量，，，若，，则_____． 14. 如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用“五点法”作函数（，，）在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 2 0 （1）根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知向量，满足. （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值； （3）求与夹角的余弦值. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角； （2）若，，求的周长． 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. （1）以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）， （i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段. 19. 在非钝角中，角，，所对的边分别为，，. （1）证明：； （2）若，. （Ⅰ）求的取值范围. （Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $