精品解析：云南省临沧地区中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

临沧地区中学2025学年下学期高二3月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若､是全集的真子集，则下列四个命题： ①； ②； ③； ④； 中与命题等价的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 是偶函数 C. D. 是单调函数 3. 若复数满足，其中 为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知点是圆：内一点，直线是以为中点弦所在的直线，若直线的方程为，则（ ） A. 且与圆相离 B. 且与圆相交 C. 且与圆相离 D. 且与圆相交 5. 已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知数列的前项和为，若，为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（ ） A. 30° B. 135° C. 45° D. 120° 8. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个，再将个男生成绩样本数据分为组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图.下列正确的是（ ） A. 男生成绩样本数据的平均数为 B. 估计有的男生数学成绩在分以内 C. 在和内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为 D. 若男生成绩样本数据方差为，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，则总样本的方差为 10. 已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球的表面上，侧面的面积为．则正确的结论是（ ） A. 若中点为，则平面 B. 若三棱柱的体积为，则到平面的距离为 C. 若是边长为的等边三角形，则与平面所成的角为 D. 若，则球体积的最小值为 11. 设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”则以下结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，公差，则数列是“数列” B. 若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列” C. 若，则数列是“数列” D. 若，则数列是“数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数b=__________. 13. 已知为椭圆的右焦点.直线与椭圆C相交于A，B两点，A，B的中点为P，且直线OP的斜率，则椭圆C的方程为_______________. 14. 投壶是古人宴会时玩的一种游戏，游戏时设特制之壶，宾主依次投箭其中，中多者为胜甲、乙两人模仿古人投壶，两人各投支箭算作一轮游戏，每投入支箭可得分，投不进得分，假设甲每支箭投入壶中的概率均为，乙每支箭投入壶中的概率均为，且每支箭是否投入壶中互不影响则在第一轮游戏甲得分高于乙的条件下，前两轮游戏乙总得分高于甲的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）当时，求的值域； （2）解不等式：； （3）若时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围． 16. 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， （1）求反射光线所在的方程； （2）在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 17. 如图，在正四棱柱中，，，点是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值 （2）求直线与平面所成角的正弦值 （3）求平面与平面所成角的正弦值． 18. 已知焦点在轴上的抛物线过点，椭圆的两个焦点分别为 ，其中 与的焦点重合，过与长轴垂直的直线交椭圆于两点且,曲线是以原点为圆心以 为半径的圆. （1）求与及的方程； （2）若动直线与圆相切,且与交与两点,三角形 的面积为，求的取值范围. 19 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数取值范围； （2）若直线与函数的图象有两个不同的交点和，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临沧地区中学2025学年下学期高二3月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若､是全集的真子集，则下列四个命题： ①； ②； ③； ④； 中与命题等价的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论． 【详解】由得Venn图， ①； ②； ③； ④，与､是全集的真子集矛盾，不可能存在； 故和命题等价的有①， 故选：B． 2. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 是偶函数 C. D. 是单调函数 【答案】B 【解析】 【分析】 计算函数值域为A错误，根据偶函数定义知B正确，，，C错误，，故D错误，得到答案. 【详解】根据题意：的值域为，A错误； 当为有理数时，为有理数，， 当为无理数时，为无理数，，故函数为偶函数，B正确； ，，C错误； ，故D错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 3. 若复数满足，其中 为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据条件，利用复数相等，得到，，再根据复数几何意义即可判断. 【详解】设，则， 由，即， 所以，解得，， 则，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A． 4. 已知点是圆：内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，若直线的方程为，则（ ） A. 且与圆相离 B. 且与圆相交 C. 且与圆相离 D. 且与圆相交 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直关系得到斜率为，等于直线的斜率，故，求出圆心到直线的距离为，得到直线与圆相离. 【详解】直线是以为中点的弦所在的直线， 由垂径定理得，直线， ∵， 的斜率为， 直线的斜率为， ， 其中圆心到直线的距离为， 在圆内， ， ， 直线与圆相离. 故选：A 5. 已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得和，再由余弦定理可得与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算即可求解 【详解】设，，点P是两曲线在第一象限的一个公共点， 由椭圆和双曲线的定义可得，， 解得：， 在中，， 由余弦定理可得：， 整理可得：，两边同时除以得， 即， 因为，可得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是设，，由椭圆和双曲线的定义解方程可得，在中，，利用余弦定理列方程化简后可得，，两边同时除以可得和的关系. 6. 已知数列的前项和为，若，为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，故，且，故，由累加法求得通项，即可求和. 【详解】由题意得，，故，且，故，则 则是首项为6，公比为的等比数列，故，则， 故选：D 【点睛】将化为从而得是本题的解题的关键点. 7. 设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（ ） A. 30° B. 135° C. 45° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的斜率，再结合斜率的定义即可求解． 【详解】设曲线在处的切线倾斜角为， 由，可得， 则曲线在处的斜率为， 则，，解得， 故选：B． 8. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，进一步判断奇偶性，从而求解. 【详解】由题可知的定义域为 ∵ ∴是偶函数 当时， 为单调递减，同样为单调递减， ∴为单调递减， ∴满足不等式成立可得： 解得 所以. 故选：C 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，以及不等式的求解，属于基础题型. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个，再将个男生成绩样本数据分为组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图.下列正确的是（ ） A. 男生成绩样本数据的平均数为 B. 估计有的男生数学成绩在分以内 C. 在和内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为 D. 若男生成绩样本数据的方差为，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，则总样本的方差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图及相关数字特征的计算公式以及按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系进行求解判断. 【详解】对于选项A，根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数，故A错误； 对于选项B，根据频率分布直方图有，男生数学成绩在分以内的人数的频率为，所以估计有的男生数学成绩在分以内，故B正确； 对于选项C，根据频率分布直方图有，在和内的男生人数分别为6人、2人，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为，故C正确； 对于选项D，设女生成绩样本数据的平均数为，则总样本的平均数，所以总样本的方差为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球的表面上，侧面的面积为．则正确的结论是（ ） A. 若的中点为，则平面 B. 若三棱柱的体积为，则到平面的距离为 C. 若是边长为的等边三角形，则与平面所成的角为 D. 若，则球体积的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】①,证明，平面即得证，所以该命题正确； ②，求出到平面的距离为2，所以该命题错误； ③，利用垂直关系，作出线面角，即可求解判断； ④，求出外接球的半径的最小值为2，即得球O体积的最小值为，所以该命题正确. 【详解】①，如图，连接,交于点,连接.因为，所以,因为平面，平面，所以平面，所以该命题正确； ②，连接,过作,垂足为,因为平面平面，平面平面，，所以平面，所以到平面的距离就是.由题得,所以，所以到平面的距离为2.所以该命题不正确； ③，如图，取的中点，连结，，，因为平面平面，且平面平面，，所以平面，所以与平面所成的角是，是边长为2的等边三角形，，所以， 所以与平面所成的角的正弦值是,所以该命题不正确； ④，设，球的半径为,设上底面和下底面的中心分别为,连接,则其中点为,连接.由题得所以,即，又，所以，所以，（当且仅当时取等），所以最小值为2，所以球O体积的最小值为，所以该命题正确. 故选：AD. 11. 设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”则以下结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，公差，则数列是“数列” B. 若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列” C. 若，则数列是“数列” D. 若，则数列是“数列” 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用等差数列的前项和公式，得，再利用数列的函数性质，即可求解；对于B，利用等比数列的前项和公式及绝对值不等式的性质，得到，即可求解；对于C，根据条件，利用裂项相消法得到，即可求解；对于D，根据条件，利用裂项相消法得到，即可求解. 【详解】对于选项A，若是等差数列，且，公差， 则， 当时，，所以数列不是“数列”，故选项A错误， 对于选项B，若是等比数列，且公比满足， 所以 ， 所以数列是“数列”，故选项B正确， 对于选项C，若， 所以， 又恒成立，所以， 则数列是“数列”， 故选项C正确， 对于选项D，若， 所以， 则，当时，，所以数列不是“数列”，故选项D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数b=__________. 【答案】. 【解析】 【详解】设直线与曲线和曲线的切点分别为，. ∵直线是曲线的切线，也是曲线的切线 ∴，即. ∴切线方程为，即为或，即为 ∴，则 ∴ 故答案为. 点睛：本题以导数的几何意义为载体，解答本题的关键是根据两函数在交点处的切线相同得到关于切点坐标的方程组，根据得到的相等关系将问题转化为求参数即可． 13. 已知为椭圆的右焦点.直线与椭圆C相交于A，B两点，A，B的中点为P，且直线OP的斜率，则椭圆C的方程为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】 设，A，B的中点为，则由题意知，，由A，B是椭圆上不重合的两点，则，两式相减可得，即，再结合，即可求得椭圆C的方程. 【详解】设，A，B的中点为，则由题意知， 由A，B是椭圆上不重合的两点，则， 两式相减得， 整理可得，即 ，即， 又，解得： 所以椭圆C的方程为 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单． 14. 投壶是古人宴会时玩的一种游戏，游戏时设特制之壶，宾主依次投箭其中，中多者为胜甲、乙两人模仿古人投壶，两人各投支箭算作一轮游戏，每投入支箭可得分，投不进得分，假设甲每支箭投入壶中的概率均为，乙每支箭投入壶中的概率均为，且每支箭是否投入壶中互不影响则在第一轮游戏甲得分高于乙的条件下，前两轮游戏乙总得分高于甲的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数和独立事件的概率公式得到，中午讨论是否结合条件概率公式求解即可. 【详解】设表示第轮甲得分，表示第轮乙的得分， 因为在第一轮游戏甲得分高于乙，所以；；； 则在第一轮游戏甲得分高于乙的概率为 ， 在第一轮游戏甲得分高于乙的事件为，得到前两轮游戏乙总得分高于甲的事件为， 因此要在第一轮游戏甲得分高于乙的条件下，前两轮游戏总得分， 则；；；， 而甲每支箭投入壶中的概率均为，乙每支箭投入壶中的概率均为， 且每支箭是否投入壶中互不影响， 则 即， 则在第一轮游戏甲得分高于乙的条件下， 前两轮游戏乙总得分高于甲的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）当时，求的值域； （2）解不等式：； （3）若时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数恒等变换将化简，进而求出其值域； （2）将题目不等式转化为，进而利用三角函数性质求解； （3）根据题意转为为与有两个交点，根据图象可以求出结果. 【小问1详解】 ， ， ， ，， ， 当时，的值域为． 【小问2详解】 由题知， ，， ，， 解集为． 【小问3详解】 ，令， 因为，所以， 如图： ， 在上有两个不同的解必须满足 所以方程在时恰好有两个不同的解必须满足， 即实数的取值范围是 16. 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， （1）求反射光线所在的方程； （2）在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出点关于直线的对称点的坐标，反射光线为直线两点式写出方程，化简整理成一般式方程； （2）点是线段的垂直平分线与的交点，求出线段的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可，设，整理之后为， 转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方． 【小问1详解】 如图所示： 设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点， 所以其方程为，即， 由，，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，， 点坐标为， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得： 直线方程为， 即反射光线所在直线的方程为 【小问2详解】 线段的垂直平分线为，因为， 所以点在直线上，又因为点在直线上， 所以点为直线与交点， 由，的坐标可知， 线段中点，直线斜率为， 所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为 ，即， 与直线的方程联立 解方程组得点坐标为 设点坐标为，令， 则 ， 要使最小，则当且仅当最小， 可表示为点到点的距离的平方， 当，即计算点到直线的距离时取到最小值， 此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得 ， 所以． 17. 如图，在正四棱柱中，，，点是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值 （2）求直线与平面所成角的正弦值 （3）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键直线的向量，再利用线线角，线面角，面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在正四棱柱中，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，且在正四棱柱中，所以， 则． 由题意得， 则， 异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由题意知， 设平面的法向量为，直线与平面所成角为， 则，可取， ， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 在正四棱柱中，， 平面的法向量为， 设平面与平面所成的锐二面角为， ， 平面与平面所成角余弦值为， 而，得到， 则由同角三角函数的基本关系得， 平面与平面所成角的正弦值为． 18. 已知焦点在轴上的抛物线过点，椭圆的两个焦点分别为 ，其中 与的焦点重合，过与长轴垂直的直线交椭圆于两点且,曲线是以原点为圆心以 为半径的圆. （1）求与及的方程； （2）若动直线与圆相切,且与交与两点,三角形 的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） ； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用点的坐标求抛物线的方程，再根据题意分别求出椭圆和圆的方程； （2）设出直线方程，求出面积的表达式，根据表达式的特点，求出范围. 【详解】(1)由已知设抛物线方程为则,解得, 即的方程为;焦点坐标为, 所以椭圆中,其焦点也在轴上设方程为 由得, 又解得 椭圆方程为， 又所以所求圆的方程为， (2) 因为直线与圆相切,所以圆心O到直线的距离为1, 所以， 当直线的斜率不存在时方程为,两种情况所得到的三角形面积相等, 由得 ,不妨设 , 此时 ， 当直线的斜率存在时设为,直线方程为 所以圆心O到直线的距离为 即， 由得 所以 恒大于0， 设 则 所以 ， 令则, 所以 是关于 的二次函数开口向下,在时单调递减, 所以，综上: . 【点睛】本题主要考查曲线方程的求解和范围问题. 曲线的方程主要是利用圆锥曲线的定义来求解；范围问题一般是求出目标表达式，结合表达式的特点，采用合适的方法求解. 19. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若直线与函数的图象有两个不同的交点和，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）函数在区间上单调递增，等价于当时，恒成立，参变分离求出最值，可得实数的取值范围； （2）由题意利用和的坐标表示出直线的斜率，利用函数的导数表示出，代入原式化简，变量集中，构造新函数判断出单调性和最值，即可判断原方程的根的情况，得出结论． 【详解】（1）函数的定义域为， 其导函数为， 若函数在区间上单调递增，则当时，恒成立，即恒成立，所以． （2）不存在直线使得． 理由：假设存在， 由题意可知，，， ， ． 因为，即， 所以，即， 令，则上式化为 构造， 则， 显然，在和上都单调递增， 又因为，所以方程无解． 综上，不存在直线使得 【点睛】本题考查导数的应用，考查函数的单调性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$