精品解析：2025年浙江省舟山市定海区金衢山五校联考二模数学试题

2025年浙江省舟山市金衢山五校联考初中学业水平考试 第二次质量监测数学试题卷 注意事项： 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示的正三棱柱，其主视图是（   ） A. B. C. D. 3. 据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的值为（ ）． A. B. 5 C. D. 5. 在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为．这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 3.3，3.5 B. 3.4，3.5 C. 3.4，3.4 D. 3.5，3.4 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（    ） A. B. C. D. 9. 如图，将直角梯形 沿 方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 12. 如果，那么____________． 13. 2025年春节联欢晚会的主题是“巳巳如意，生生不息”，把这八个字分别写在八张不透明卡片的正面，这些卡片除了字不同处完全相同．将这八张卡片反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，然后放回，再重新抽一张，则两次抽取的卡片上的字恰好都是“巳”的概率为______． 14. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为______（结果保留） 15. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点 出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为______． 16. 如图，菱形 中，，将菱形 绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为________． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 关山草原位于陕西省境内，是中国西北内陆地区唯一的以高山草甸为主体的具有欧式风情的省级风景名胜区，享有“小天山”之美誉．该景区某民族服饰租赁店的小张想了解游客在景区的停留时长，某天随机调查了部分游客，将他们在该景区的停留时长（单位：）统计如下： 【数据收集与描述】 【数据分析与应用】 （1）请补全条形统计图，并填空：所调查游客在该景区停留时长的众数为_______，中位数为_______； （2）请计算所调查游客在该景区停留时长的平均数； （3）若该景区这天共有6000名游客，请你估计这天在景区停留时长为的游客有多少名？ 20. 如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． （1）求证：． （2）当时，求与的度数和． 21. 利用以下素材解决问题． 莲藕定价问题 素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份． 素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份． 任务 若涨价 元份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价元份，则平均每天的销售量为_______份（用含的代数式表示）． 任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？ 任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 22. 某校初四实践小组为探究某款台灯如何放置光线效果最佳做了以下探究： 1．了解台灯的构成，将实物图转化为数学图形 台灯由四部分构成：底座，长度为定值的底柄，可以通过调整，的大小来调整台灯的高度； 且于点A，． 2．多次实验测量数据，选取最佳效果 选取身高相同的同学多次实验，并获取最终数据： 人的眼睛距离桌面的最佳距离为到；距离台灯D的最佳距离为到；与台灯D的仰角为 3．问题解决： （1）如图1，若与水平桌面的夹角为，且时，点D到桌面的距离为，求长；（参考数据：，，） （2）如图2，在（1）结论的基础上，若在人的眼睛O处测得B处的俯角为，台灯D处的仰角为，人的眼睛距离桌面和台灯D的距离都为，与水平桌面的夹角为，则此时与水平面的夹角的余弦值为____．（用含有，的式子表示） 23. 淇淇陪弟弟玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形 ，P，Q分别为半圆O上的点．如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示． （1）在图1中，求弦的长； （2）在图2中，求的长； （3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线 交于点H，求的值． 24. 【思考尝试】 （1）如图1，在矩形 中，是边 上一点，于点，，，，求证：四边形 是正方形； 【实践探究】 （2）如图2，在正方形 中，是边 上一点，于点，于点，交HA的延长线于点，求线段的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图3，在正方形 中，是边 上一点，于点，点在线段上，且，连接，，． ①求证：； ②直接写出线段，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省舟山市金衢山五校联考初中学业水平考试 第二次质量监测数学试题卷 注意事项： 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图所示的正三棱柱，其主视图是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图及它的画法，理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键． 仔细观察图中几何体摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图形判定则可． 【详解】解：从正面看三棱柱，长方形里面有一条竖实线． 故选：A． 3. 据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：52500000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 已知，，则的值为（ ）． A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5. 在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系． 先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小． 【详解】从数轴可知，，且， 根据相反数的性质，的相反数的相反数， 所以， 故选：C． 6. “五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为．这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 3.3，3.5 B. 3.4，3.5 C. 3.4，3.4 D. 3.5，3.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．本题考查了求众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：将从小到大排列为：3.3，3.3，3.4，3.4，3.5， 3.5，3.5 其中3.5出现的次数最多，则众数为3.5， 中位数为：． 故选B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】解： 设， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为； 故选：C． 8. 如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题中的正八边形为正八边形，过点 作于点 ，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得的度数，从而可得的度数，同理可得的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得． 【详解】解：如图，设题中的正八边形为正八边形，过点 作于点 ， ∵八边形为正八边形， ∴正八边形的每个内角为， ∵， ∴在五边形中，， 由入射角等于反射角得：， ∴，即， ∴在五边形中，， 同理可得：， ∴在五边形中，， 故选：A． 9. 如图，将直角梯形 沿 方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质．根据平移的性质得，由于，可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：如图所示：由平移的性质得，， ∵， ∴， 设交于点O，过O作于Q， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴ ． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 12. 如果，那么____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子中化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 2025年春节联欢晚会的主题是“巳巳如意，生生不息”，把这八个字分别写在八张不透明卡片的正面，这些卡片除了字不同处完全相同．将这八张卡片反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，然后放回，再重新抽一张，则两次抽取的卡片上的字恰好都是“巳”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用画树状图法或列表法求概率，解题时要注意问题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意列出表格，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意，列表如下： 巳 巳 如 意 生 生 不 息 巳 巳，巳 巳，巳 如，巳 意，巳 生，巳 生，巳 不，巳 息，巳 巳 巳，巳 巳，巳 如，巳 意，巳 生，巳 生，巳 不，巳 息，巳 如 巳，如 巳，如 如，如 意，如 生，如 生，如 不，如 息，如 意 巳，意 巳，意 如，意 意，意 生，意 生，意 不，意 息，意 生 巳，生 巳，生 如，生 意，生 生，生 生，生 不，生 息，生 生 巳，生 巳，生 如，生 意，生 生，生 生，生 不，生 息，生 不 巳，不 巳，不 如，不 意，不 生，不 生，不 不，生 息，不 息 巳，息 巳，息 如，息 意，息 生，息 生，息 不，息 息，息 可知共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片卡片上的字恰好都是“巳”的结果有种，故概率为， 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，，点 为的三等分点， 为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】过点作关于的对称点 ，连接交于点 ，此时，，值最小，由点 为三等分点，，得到，根据，得到，由，，得到，进而得到，求出，，进面求出，，，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作关于的对称点 ，连接交于点 ，此时，，值最小，如图： 设与 交于点， ∵点 为三等分点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，则， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，动点 从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察可知：下标为奇数的点在第三象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：观察题图可知，下标为奇数的点在第三象限， 因为，，，…， ∴， 当时，， 所以点的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，菱形 中，，将菱形 绕点 逆时针旋转得到菱形，连接，当与 第一次垂直时，的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握性质、旋转的性质，等边对角的运用是关键．根据菱形，旋转的性质得到，，，如图所示，连接，设与 交于点，可证，，由此得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 如图所示，连接，设与 交于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，立方根和零指数幂解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算完全平方公式，立方根和零指数幂，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法．根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入②得：， ， ∴方程组的解为． 19. 关山草原位于陕西省境内，是中国西北内陆地区唯一的以高山草甸为主体的具有欧式风情的省级风景名胜区，享有“小天山”之美誉．该景区某民族服饰租赁店的小张想了解游客在景区的停留时长，某天随机调查了部分游客，将他们在该景区的停留时长（单位：）统计如下： 【数据收集与描述】 【数据分析与应用】 （1）请补全条形统计图，并填空：所调查游客在该景区停留时长的众数为_______，中位数为_______； （2）请计算所调查游客在该景区停留时长的平均数； （3）若该景区这天共有6000名游客，请你估计这天在景区停留时长为的游客有多少名？ 【答案】（1） 补全条形统计图如下， 4，4 （2） （3）1680名 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握中位数、众数，加权平均数的计算方法，根据样本百分比估算总体数量的方法是解题的关键． （1）根据停留的有,占，可得抽样人数，根据众数，中位数的计算方法即可求解； （2）根据加权平均数的计算方法即可求解； （3）根据样本百分比估算总体数量的方法计算即可求解． 【小问1详解】 解：停留的有,占， ∴抽样人数为（人）， ∴停留的人数为（人）， ∵停留时长为的人数最多， ∴停留时长的众数为， 根据停留时长人数的情况可得，中位数在25，26位游客的停留时长， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 所调查游客在该景区停留时长的平均数为． 【小问3详解】 解：（名）， 估计这天在景区停留时长为的游客有1680名． 20. 如图，在 中，，D是 内一点，连接 ，将线段 绕点C逆时针旋转到，使，连接． （1）求证：． （2）当时，求与的度数和． 【答案】（1） 证明：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）证明 为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ 为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 21. 利用以下素材解决问题． 莲藕定价问题 素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份． 素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份． 任务 若涨价 元份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价 元份，则平均每天的销售量为_______份（用含 的代数式表示）． 任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？ 任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【答案】[任务]，；[任务 ]该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元；[任务]售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务]根据题意列出代数式即可； [任务 ]由题意得，设涨价元份，，然后解方程即可； [任务]根据题意采取降价销售，每天的利润为，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：[任务]若涨价 元份，则平均每天的销售量为（份）， 若设降价 元份，则平均每天的销售量为（份）， 故答案为：，； [任务 ]由题意得，设涨价元份， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元； [任务]∵尽快减少库存， ∴采取降价销售， ∴每天的利润为， ∵， ∴当时，每天的利润有最大值为元， 答：售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元． 22. 某校初四实践小组为探究某款台灯如何放置光线效果最佳做了以下探究： 1．了解台灯的构成，将实物图转化为数学图形 台灯由四部分构成：底座 ，长度为定值的底柄，可以通过调整，的大小来调整台灯的高度； 且于点A，． 2．多次实验测量数据，选取最佳效果 选取身高相同的同学多次实验，并获取最终数据： 人的眼睛距离桌面的最佳距离为到；距离台灯D的最佳距离为到；与台灯D的仰角为 3．问题解决： （1）如图1，若与水平桌面的夹角为，且时，点D到桌面的距离为，求 长；（参考数据：，，） （2）如图2，在（1）结论的基础上，若在人的眼睛O处测得B处的俯角为，台灯D处的仰角为，人的眼睛距离桌面和台灯D的距离都为，与水平桌面的夹角为，则此时 与水平面的夹角的余弦值为____．（用含有，的式子表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点D作直线 的垂线，垂足为G，过点C作于H，过点B分别作的垂线，垂足分别为M、N，则四边形和四边形都是矩形，可得，求出，解求出的长，进而求出的长，再求出即可解得到答案； （2）过点O作，分别过点B、D作的垂线，垂足分别为G、H过点C作交延长线于M，交于N，则四边形是平行四边形，先解直角三角形求出的长，再求出的长，进而求出，最后解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点D作直线 的垂线，垂足为G，过点C作于H，过点B分别作的垂线，垂足分别为M、N，则四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵与水平桌面的夹角为， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：如图所示，过点O作，分别过点B、D作的垂线，垂足分别为G、H过点C作交延长线于M，交于N，则四边形是平行四边形， ∴； 同理可得， ∴； 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 与水平面的夹角的余弦值为． 23. 淇淇陪弟弟玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形 ，P，Q分别为半圆O上的点．如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长 与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示． （1）在图1中，求弦 的长； （2）在图2中，求的长； （3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线 交于点H，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）如图，连接，，与 交于点，可得四边形为矩形，得到，，进而得，由可得，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （ ）如图 ，连接，，延长 交于点，可得四边形为矩形，得到，，，由可得，进而由勾股定理得，即得，得到的长为， （）如图，连接，由切线长定理可得，设，则，由（ ）得，则，在中由勾股定理得，解得，得到，再根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，，与 交于点， ∵半圆与水平面相切于点 ，为半圆的半径，四边形 为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图 ，连接，，延长 交于点， ∵四边形 为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴的长为， 【小问3详解】 解：如图，连接，由切线长定理可得， 设，则，由（ ）得，则， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 【思考尝试】 （1）如图1，在矩形 中，是边 上一点，于点 ，，，，求证：四边形 是正方形； 【实践探究】 （2）如图2，在正方形 中，是边 上一点，于点 ，于点，交HA的延长线于点，求线段的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图3，在正方形 中，是边 上一点，于点，点 在线段上，且，连接，， ． ①求证：； ②直接写出线段，的数量关系． 【答案】（1）证明过程见解答（2），理由见解答（3）①证明过程见解答；②，理由见解答 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形 是正方形； （2）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形，于是得到； （3）①证明，得，所以，然后证明，即可得到结论； ②根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 又， ， ， 四边形 是矩形， 四边形 是正方形； （2）解：，理由如下： ，，， ， 四边形是矩形， ， 同理（1）可得， 四边形 是正方形， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ； （3）①证明：，四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 又， ， ； ②解：，理由如下： 四边形 是正方形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $