精品解析：江苏省连云港市 海州区九年级 中考数学一模试卷

2025年学业质量调研 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效； 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上； 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效； 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -3的倒数的绝对值是（ ） A. 3 B. -3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意依据倒数和绝对值的性质进行分析求解即可． 【详解】解：-3的倒数是-， -的绝对值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是倒数和绝对值的性质，熟练掌握倒数和绝对值的性质是解题的关键． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 3. 不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断． 【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意； B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意； C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意； D、当x=-1时，，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 4. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 5. 在 个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出 个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. 个红球，个白球 B. 个红球， 个白球 C. 个红球， 个白球 D. 个红球， 个白球 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解． 【详解】解：选项， 个红球，个白球，摸到红球的概率为； 选项， 个红球， 个白球，到红球的概率为； 选项， 个红球， 个白球，到红球的概率为； 选项， 个红球， 个白球，到红球的概率为； ∵， ∴摸到红球可能性最大的是“ 个红球， 个白球”， 故选：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法，比较概率大小的方法是解题的关键． 6. 如图，、是 切线， 、 为切点，点 在 上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握上述性质与定理． 先利用切线的性质证明，，再利用垂直的意义得出，，然后四边形的内角和为360度得出，再利用圆周角定理求出，即可求得． 【详解】解：连接、， 如图， 、 是 切线， ，， ， ， ， ．   故选： C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可知，点 的横坐标为2，点 的横坐标为4，设点 的坐标为，则点 的坐标为，再根据点 、 在函数的图象上，列出关于 的方程，解方程得出 的值，最后求出的值即可． 【详解】解：根据图象可知，点 的横坐标为2，点 的横坐标为4，设点 的坐标为，则点 的坐标为， 点 、 在函数的图象上， ， 解得：， 点 的坐标为， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是求出点 或点 的坐标． 8. 已知点，在直线（为常数，）上，则的最大值为8，则的值为（ ） A. 或 B. 4或12 C. 2或 D. 或14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为8求出的值．把代入后表示出，再根据最大值求出，最后把代入即可． 【详解】解：把代入得：， ， ， 当时，有最大值为， 的最大值为8， ， 解得， 直线解析式为或， 把代入得，， 把代入得， 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 10. 分解因式：x2－25=_________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 11. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a______．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案． 【详解】解：如图所示：-4＜b＜-3，1＜a＜2， ∴， ∴ ． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键． 12. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为___________兆瓦． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．分别确定 和 的值即可． 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，确定 和 的值是解题的关键． 13. 如图6，已知直线a∥b，∠BAC=90°，∠1=50°，则∠2=______． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数． 【详解】解：∵a∥b， ∴∠1=∠3=50°， ∵∠BAC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠2=90°-∠3=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14. 如图，将 绕点A逆时针旋转角得到 ，点B的对应点D恰好落在 边上，若，则旋转角 的度数是______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】先求出，由旋转的性质，得到， ，则，即可求出旋转角 的度数． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴， 由旋转的性质，则， ， ∴， ∴； ∴旋转角 的度数是50°； 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算． 15. 如图， 的外切正六边形 的边长为 ，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、正多边形与圆，设 与 的切点是点 ，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示， 设 与 的切点是点 ，连接， 则， 在正六边形 中， ，， 是等边三角形， 正六边形 的边长为 ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 16. 如图，在 中，，，，点P为 边上任意一点，连接，以， 为邻边作平行四边形，连接 ，则 长度的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查线段的最小值问题，考查了勾股定理，平行四边形性质和相似三角形求线段长度．利用勾股定理得到 边的长度，根据平行四边形的性质，得知 最短即为 最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到 的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ 最短也就是最短， ∴过O作 的垂线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴则PQ的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用零指数幂、二次根式的乘法、负整数指数幂进行计算即可． 【详解】解：原式 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式逐步进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“ ”或“ ”或“”） 【答案】（1）9，，； （2）选甲更合适， 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、方差、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， 甲得分的中位数为9， 由乙得分的条形统计图可知， 乙得分的方差为， 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8， 丙得分的平均数为， 故答案为：9，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差为， ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键． 21. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； （2）用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先求出从这两部电影中任意选择一部观看，甲共有2种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）将电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》分别记为 ，画出树状图，从而可得甲、乙、丙三人选择一部观看的所有等可能的结果，再找出甲、乙、丙三人选择同一部电影的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵从这两部电影中任意选择一部观看，甲共有2种等可能的结果， ∴甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：将电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》分别记为 ，画出树状图如下： 由图可知，甲、乙、丙三人选择一部观看共有8种等可能的结果，其中，甲、乙、丙三人选择同一部电影的结果有2种， 则甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是， 答：甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是． 22. 如图，四边形 是平行四边形． （1）尺规作图：作菱形，使点 在线段 上，点 在线段 上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求作的四边形； （2）24 【解析】 【分析】（1）连接 ，作 的垂直平分线，交线段 于点E，交线段 于点F，则四边形即为所求作的线段； （2）根据，，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，根据菱形的性质求出，，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据作图可知： 垂直平分 ， 则， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴，， ∴ ， ∴， ∴ 、 互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 解：， 在中，， 又， ， 在中，， 四边形是菱形， ，， ． 【点睛】本题主要考查了基本作图，菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点 ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则 的取值范围为__________． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的平移等，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设与的图象交于 ， 两点，求出，，再观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解： 过点， ， 即反比例函数：， 当时，，即， 过和， 则， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，设与的图象交于 ， 两点， 向下平移两个单位得且， ， 联立， 解得或， ，， ， 或． 故答案为：或． 24. 请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支 元，笔记本每本 元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过 支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计 人，其中一等奖的人数不少于 人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生 人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额元，求关于 的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 【答案】信息整理：，8；探究任务1：当时，；当时，；探究任务2：当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； 信息整理：根据问题背景，购买钢笔超过 支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售，即可得出钢笔单价； 探究任务1：当， 时，根据总额等于钢笔与笔记本的购买金额，分别列出函数关系式； 探究任务2：根据一次函数的性质，得出的最小值为700元，即可求解． 【详解】信息整理： 当时，钢笔单价为：， 当时，钢笔单价为：8 探究任务： ①当时， 当时，，当时，， 当时，． ②当时， ， ， 当时，的最小值为700元， 当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元． 25. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头 的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． （2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 【答案】（1） （2）能，理由如下： 过点 作的垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示， 在中，． ， ， ． ， ． 小若垫起脚尖后头顶的高度为． 小若头顶超出点N的高度． 小若垫起脚尖后能被识别． 【解析】 【分析】（1）根据正切值求出 长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出 的长度，从而求出蹲下的高度． （2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出 长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点 作的垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示， 在中，． ． ， ． ． ，， 小杜下蹲的最小距离． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法． 26. 已知抛物线（ 为常数，）经过点，函数图像与 轴交于点 ， （ 在 的左边），其对称轴与 轴相交于点 ． （1）求 的值； （2） 为 轴上方抛物线上的动点，过点 作直线 ， ，分别交抛物线的对称轴于点 ， ．点 在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）已知坐标系中有一直线，点 为抛物线 上任意一点，点 为直线 上任意一点，如果 ， 两点间的距离的最小值大于2，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由题可知，，，得对称轴为直线则．设，其中．求出直线 的解析式为，直线 的解析式为，得出，，从而，可求出的值为定值． （3）当直线 与抛物线 只有一个交点时，记为直线 ，则方程只有一个实数根，可求出，将直线 沿垂直于直线 的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线 ，记为直线 ，此时，，过点H作轴，可得，证明四边形为平行四边形得，得出点 的坐标为即可求出 的取值范围． 【小问1详解】 解： 将点代入， 解得． 【小问2详解】 解：由题可知，，，得对称轴为直线． ． 设，其中． 设直线 的解析式为， 则 解得 直线 的解析式为． 当时，． 点． 同理可得直线 的解析式为． 当时，． 点． ，． ． 的值为定值． 【小问3详解】 ∵ ， 两点间的距离的最小值大于2， 直线 与抛物线 没有交点，且最近的距离为2， 如图2，当直线 与抛物线 只有一个交点时，记为直线 ， 则方程只有一个实数根， ， ， 记直线 与抛物线的交点为H，与轴的交点为点 ，则， 将直线 沿垂直于直线 的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线 ，记为直线 ， 此时，． 过点H作轴，交直线 于点F，则， ， 是等腰直角三角形， ， 直线 与轴的交点为 ，则四边形为平行四边形， ， 点 的坐标为， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 27. 定义：如图1，点M，N在线段AB上，若以线段AM，MN，NB为边恰好能组成一个直角三角形，则称点M，N为线段AB的勾股分割点． (1)如图1，M，N为线段AB的勾股分割点，且AM＝4，MN＝3，则NB＝____； (2)如图2，在▱ABCD中，CD＝21，E为BC中点，F为CD边上一动点，AE，AF分别交BD于点M，N，当点M，N为线段BD的勾股分割点时，求FD的长； (3)如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，延长BA到点M，延长AB到点N，使点A，B恰好是线段MN的勾股分割点(AB＞AM≥BN)，过点M，N分别作AC，BC的平行线交于点P． ①PC的长度是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； ②直接写出△PMN面积的最大值． 【答案】(1)或5；(2)DF的长为7或15；(3)①PC的长度是定值2；②△PMN面积的最大值是6+4． 【解析】 【分析】(1)①当AM为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可． (2)如图2，设BM＝x，证明△AMD∽△EMB，得DM＝2x，设DN＝a，则MN＝2x﹣a，点M，N为线段BD的勾股分割点时，存在三种情况：根据勾股分割点的定义列方程可得结论； (3)①如图，连接PA、PB，将△MPA绕点P逆时针旋转90°得△PNF，将△PAC绕点P逆时针旋转90°得△PFE．只要证明四边形EFBC是平行四边形以及AB＝BF就可以了； ②作辅助线，根据三角形面积公式可得结论． 【详解】解：(1)①当AM为最大线段时， ∵点 M、N是线段AB的勾股分割点， ∴BN＝ ＝ ＝； ②当BN为最大线段时， ∵点M、N是线段AB的勾股分割点， ∴BN＝ ＝ ＝5， 综上所述：BN＝或 5； 故答案为或5； (2)如图2，设BM＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E为BC的中点， ∴BE＝CE＝AD， ∵AD∥BE， ∴△AMD∽△EMB， ∴ ， ∴DM＝2x， 设DN＝a，则MN＝2x﹣a， ∵点M，N为线段BD的勾股分割点时，存在三种情况： ①当BM为斜边时，得：BM2＝MN2+DN2， x2＝(2x﹣a)2+a2， 3x2﹣4ax+2a2＝0， △＝16a2﹣24a2＝﹣8a2＜0， 此方程无实数解； ②当MN为斜边时，得：MN2＝BM2+DN2， (2x﹣a)2＝x2+a2， x＝0(舍)或a， ∴BN＝x+2x﹣a＝3x﹣a＝3×a﹣a＝3a， ∵AB∥DF， ∴ ， ∴ ，DF＝7； ③当DN为斜边时，得：DN2＝BM2+MN2， x2＝(2x﹣a)2+a2， x＝0(舍)或a， ∴BN＝3x﹣a＝﹣a＝a， ∵AB∥DF， ∴ ， ∴ ，DF＝15， 综上，DF的长为7或15； (3)①PC的长度是定值2，理由是： 如图中，连接PA、PN，将△MPA绕点P逆时针旋转90°得△PNF，将△PAC绕点P逆时针旋转90°得△PFE．则∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝2， ∴AB＝2，∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵AC∥PM，BC∥PN， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴EF∥BN， ∴EF∥BN∥BC， ∵AC＝BC＝EF， ∴四边形EFBC是平行四边形， ∴EC＝BF， ∵∠ANM＝∠PNF＝45°， ∴∠BNF＝90°， ∴BF2＝BN2+FN2， ∵点A，B恰好是线段MN的勾股分割点(AB＞AM≥BN)， ∴AB2＝AM2+BN2， ∴BF＝AB＝CE＝2， 由旋转得：PC＝PE，∠CPE＝90°， ∴△CPE是等腰直角三角形， ∴CP＝＝2； ②如图3，过C作CV⊥AB于V，过P作PU⊥AB于U， ∴CV＝AB＝， 由题意得：PU≤PC+VC＝2+，MN＝2PU， ∴S△PMN＝•MN•PU＝•2PU•PU＝PU2＝(2+)2＝6+4； 则△PMN面积的最大值是6+4． 故答案为(1)或5；(2)DF的长为7或15；(3)①PC的长度是定值2；②△PMN面积的最大值是6+4． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、旋转等知识，利用旋转法添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年学业质量调研 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效； 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上； 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效； 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -3的倒数的绝对值是（ ） A. 3 B. -3 C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在 个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出 个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. 个红球，个白球 B. 个红球， 个白球 C. 个红球， 个白球 D. 个红球， 个白球 6. 如图，、是 切线，、 为切点，点 在 上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知点，在直线（为常数，）上，则的最大值为8，则的值为（ ） A. 或 B. 4或12 C. 2或 D. 或14 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：=___． 10. 分解因式：x2－25=_________________. 11. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a______．（填“>”“=”或“<”） 12. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为___________兆瓦． 13. 如图6，已知直线a∥b，∠BAC=90°，∠1=50°，则∠2=______． 14. 如图，将 绕点A逆时针旋转角得到 ，点B的对应点D恰好落在 边上，若，则旋转角 的度数是______． 15. 如图， 的外切正六边形 的边长为 ，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 如图，在 中，，，，点P为 边上任意一点，连接，以， 为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组 19. 计算：． 20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“ ”或“ ”或“”） 21. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； （2）用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 22. 如图，四边形 是平行四边形． （1）尺规作图：作菱形，使点 在线段 上，点 在线段 上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形的面积． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与 轴交于点 ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则 的取值范围为__________． 24. 请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支 元，笔记本每本 元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过 支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计 人，其中一等奖的人数不少于 人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生 人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额 元，求 关于 的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 25. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． （2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 26. 已知抛物线（ 为常数，）经过点，函数图像与 轴交于点， （在 的左边），其对称轴与 轴相交于点 ． （1）求 的值； （2） 为 轴上方抛物线上的动点，过点 作直线 ， ，分别交抛物线的对称轴于点 ， ．点 在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）已知坐标系中有一直线，点 为抛物线 上任意一点，点 为直线 上任意一点，如果 ， 两点间的距离的最小值大于2，求 的取值范围． 27. 定义：如图1，点M，N在线段AB上，若以线段AM，MN，NB为边恰好能组成一个直角三角形，则称点M，N为线段AB的勾股分割点． (1)如图1，M，N为线段AB的勾股分割点，且AM＝4，MN＝3，则NB＝____； (2)如图2，在▱ABCD中，CD＝21，E为BC中点，F为CD边上一动点，AE，AF分别交BD于点M，N，当点M，N为线段BD的勾股分割点时，求FD的长； (3)如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，延长BA到点M，延长AB到点N，使点A，B恰好是线段MN的勾股分割点(AB＞AM≥BN)，过点M，N分别作AC，BC的平行线交于点P． ①PC的长度是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； ②直接写出△PMN面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $