精品解析：浙江省杭州市高桥初中教育集团2024—2025学年下学期4月份素养调研九年级数学试题卷

高桥初中教育集团2024学年第二学期4月份素养调研 九年级数学试题卷 命题人：俞佳鹏 审核人：高桥金帆九年级数学备课组 请同学们注意： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3、考试结束后，只需上交答题卷． 祝同学们取得成功！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 北京时间2025年3月25日19∶00，2026年美加墨世界杯亚洲区预选赛18强赛，中国男足在杭州奥体中心体育场主场迎战澳大利亚队．最终中国队0∶2不敌澳大利亚队，但现场球迷自始至终不遗余力地为国足加油打气．下面四个美术字可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 比赛当晚入场观众人数为，创造了中国足球赛事上座人数的新纪录，观众人数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的中线，下列说法错误的是（ ） A. 和全等 B. 若平分，则是等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若点到 和的距离相等，则 5. 据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒之魔童闹海》总票房突破154亿元超过《星球大战：原力觉醒》，登顶全球电影票房榜第5名，则（ ） A. 想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择全面调查 B. 想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，可以只对学生统计 C. 随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件 D. 随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件 6. 达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图1）．其原理为如图2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是（ ） A. 直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 D. 直角三角形的两锐角互余 7. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 8. 如图，在中，，于点，于点，于点，连接．若 ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于 的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法：，当，，时，的最小值是 ，其中（ ） A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 10. 如图，在平面直角坐标系内有一平行四边形 ，其中的中点在y轴上，且轴．取靠近D的四等分点E（即），连结并延长交x轴于点F，连结，反比例函数经过点C，若要知道k的值，只需知道（ ） A. 的长度 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： ______． 12. 计算：_______． 13. 俞老师开在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么他随机选择一条车道，选中左转车道的概率是______． 14. 如图，四边形 是边长为的菱形，对角线，取的中点，连结交于点，则_______． 15. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值，则的取值范围是_______． 16. 如图，已知矩形 中，点是的中点，连结和交于点，过作的垂线交于点，延长交于点．若，在上取一点 （不与和重合），使得直线刚好经过四边形某一条边的中点，则的值为_______． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 解不等式：，并写出它的正整数解． 19. 为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如右统计图． （1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数． 20. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆 垂直于地l，活动杆固定在支撑杆上的点E处，若，，， （1）过D作垂直于地l，求的度数． （2）求活动杆端点D离地面的高度．(结果精确到，参考数据：) 21. 网格作图问题： 【问题背景】如图，在边长为的小正方形网格中的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在 上找一点，使得． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图 ，我在点左侧找到一个点，然后将这个点和 连结，与 的交点即为所求． 小帆：按照你的思路，我也可以在点的正上方找到一个点，然后将这个点…… 老师：由，我们可以得到是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） 22. 在平面直角坐标系中，设二次函数， （1）若函数图象的顶点为且过点，求该函数表达式． （2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． （3）设函数的对称轴为直线，点在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点在新的函数图象上． 当时，若对于，都有，直接写出m的取值范围： ． 23. 综合与实践 某次“综合与实践”活动课主题为：研究课本133页作业题第二题的图形结构． 【图形结构再认识】 （1）如图，在中，，于点D．小澈在分析这个图形后得出下列三个结论，请你选择其中任意一个证明．（若证明多个按照书写的第一个批改） ① ② ③ 【特殊情况研究】 （2）小澄发现，当图中的时，点D是 的黄金分割点，请你说明理由． 【图形拓展深化】 （3）小澈发现，通过添加辅助线，可以得到一条线段的长度与的值相等，请你写出添辅助线的方法，保留作图痕迹，并指明是哪条线段，最后给出证明． 24. 如图，内接于 ，过A作的角平分线，交 于点D，交于点E．设，，， （1）连结，，①求证：；②若，，求的值． （2）若是直径，，求证：． （3）作的角平分线，交于点F，在圆上有一点G，若F和G恰好关于成中点对称，请直接写出的三边需满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高桥初中教育集团2024学年第二学期4月份素养调研 九年级数学试题卷 命题人：俞佳鹏 审核人：高桥金帆九年级数学备课组 请同学们注意： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3、考试结束后，只需上交答题卷． 祝同学们取得成功！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 北京时间2025年3月25日19∶00，2026年美加墨世界杯亚洲区预选赛18强赛，中国男足在杭州奥体中心体育场主场迎战澳大利亚队．最终中国队0∶2不敌澳大利亚队，但现场球迷自始至终不遗余力地为国足加油打气．下面四个美术字可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形）是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形． 故选：A． 2. 比赛当晚入场观众人数为，创造了中国足球赛事上座人数的新纪录，观众人数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定 的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、积的乘方、同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 4. 如图，是的中线，下列说法错误的是（ ） A. 和全等 B. 若平分，则是等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若点到 和的距离相等，则 【答案】A 【解析】 【分析】仅根据无法证明和全等，选项说法错误；延长至点，使，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形性质得到，，结合平分，可证是等腰三角形，则选项说法正确；利用“边角边”证明，由全等三角形性质即可证是等腰三角形，则选项说法正确；若点到 和的距离相等，即平分，根据选项可得是等腰三角形，结合三线合一定理即可证，则选项说法正确． 【详解】解：是的中线， ， 此时，但不一定等于， 无法证明和全等， 选项说法错误，符合题意，选项正确； 平分， ， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即是等腰三角形， 选项说法正确，不符合题意，选项错误； ， ， 在和中， ， ， ，即是等腰三角形， 选项说法正确，不符合题意，选项错误； 若点到 和的距离相等， 点在的角平分线上，平分， 则根据选项可得是等腰三角形， 结合三线合一定理即可证， 选项说法正确，不符合题意，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三线合一、角平分线的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形下的判定与性质． 5. 据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒之魔童闹海》总票房突破154亿元超过《星球大战：原力觉醒》，登顶全球电影票房榜第5名，则（ ） A. 想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择全面调查 B. 想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，可以只对学生统计 C. 随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件 D. 随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、不确定事件，不可能事件，如果调查对象广，耗时多，应选择抽样调查；再结合随机抽一个学生，其看过《哪吒》是随机事件，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，故该选项不符合题意； B、想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，不可以只对学生统计，故该选项不符合题意； C、随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件，故该选项符合题意； D、随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件，不是不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图1）．其原理为如图2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是（ ） A. 直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 D. 直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题关键．根据有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，则记号笔最终画出了一段圆弧．故运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵“木棒作弧”过程中弧上的点到两条相互垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形的斜边，记号笔在木棒的中点， ∴运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：B． 7. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 8. 如图，在中，，于点，于点，于点，连接．若 ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，利用转化思想是解题的关键． 勾股定理可求，由面积法求得，证明四边形是矩形，根据对角线相等即可求解． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：A． 9. 已知关于 的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法：，当，，时，的最小值是 ，其中（ ） A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的两根为，，可得，根据可得：；一元二次方程的两根为，，可得：，，从而可得：，根据平方的非负性可知的最小值为 . 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ， ， ， ； 故是真命题； 一元二次方程的两根为，， ，， ，，， ，， ， 的最小值是 ， 故②是假命题． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系内有一平行四边形，其中的中点在y轴上，且轴．取靠近D的四等分点E（即），连结并延长交x轴于点F，连结，反比例函数经过点C，若要知道k的值，只需知道（ ） A. 的长度 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，求反比例函数解析式，平行线之间距离处处相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作轴，连接与 交于一点，过点作，过点 作，连接，证明，得，再证明，则，根据，整理得，因为的中点在y轴上，得，因为反比例函数经过点C，，即，即可作答． 【详解】解：过点C作轴，连接与 交于一点，过点作，过点 作，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∵的中点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数经过点C， ∴， ∴， 即， ∴， ∴要知道k的值，只需知道的面积， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算：_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题关键是掌握负数的绝对值是它的相反数，正数和0的绝对值是它本身．根据绝对值的定义即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 俞老师开在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么他随机选择一条车道，选中左转车道的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据车道共条，左转车道只有条，结合概率公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，俞老师开在一条五车道上，左转车道只有条， ∴选中左转车道的概率是， 故答案为：． 14. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线，取的中点，连结交于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形性质、勾股定理求出、，由推得后，根据相似三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：如图，交于点， 四边形是边长为的菱形，， ，，，，， 中，，， 是的中点， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 15. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后计算时，，将带入函数得，结合一次函数的图象与性质即可得解． 【详解】解：函数的图象经过点， ， ，， 当时，， 把带入函数得，， 解得， 当时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质． 16. 如图，已知矩形中，点是的中点，连结和交于点，过作的垂线交于点，延长交于点．若，在上取一点 （不与和重合），使得直线刚好经过四边形某一条边的中点，则的值为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】设，则，根据矩形的性质及等边对等角可得，，，，，，继而推出，，利用勾股定理得，根据可得，则，，证明得，得出，，然后分三种情况：①当 为中点时，②当平分时，③当平分时，分别求解即可． 【详解】解：设， ∵为中点， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，，，，，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ①如图，当 为中点时，即平分， ∴， ∴， ∴； ②如图，当平分时，设中点为，过作交于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图，当平分时，设的中点为，过 作从于， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的定义，三角形的面积等知识点．通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可； （2）先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴原方程的解是． 18. 解不等式：，并写出它的正整数解． 【答案】x，正整数解有：x=1，2，3． 【解析】 【分析】先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可得出不等式的解集，确定正整数解． 【详解】解：， 去分母得：x+5 去括号得：x+5 移项得：x-6x-12-5 合并同类项得：-5x， 系数化为1得：x， 正整数解有：x=1，2，3． 【点睛】题目主要考查求不等式的解集及正整数解，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 19. 为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如右统计图． （1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数． 【答案】（1）200人； 补充条形统计图如图： （2） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的结合，求扇形统计图圆心角，补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用很满意的人数除以占比得出被调查的师生人数，再求出“不满意”的人数，即可补全条形统计图，进行作答； （2）根据“满意”人数的占比乘上 ，即可作答． 【小问1详解】 解：被调查的师生人数是：（人） “不满意”的人数有：（人）， 【小问2详解】 解：扇扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数为 20. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆 垂直于地l，活动杆固定在支撑杆上的点E处，若，，， （1）过D作垂直于地l，求的度数． （2）求活动杆端点D离地面的高度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据邻补角互补求出，结合两直线平行，内错角相等得，即可作答． （2）过点E作，易得四边形EBFM是矩形，即，再通过解直角三角形可得，即可求解． 本题考查解直角三角形的实际应用，平行线的性质与判定，矩形的性质与判定，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 21. 网格作图问题： 【问题背景】如图，在边长为的小正方形网格中的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在 上找一点，使得． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图 ，我在点左侧找到一个点，然后将这个点和 连结，与 的交点即为所求． 小帆：按照你的思路，我也可以在点的正上方找到一个点，然后将这个点…… 老师：由，我们可以得到是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 点即为所求： （2） 点即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得，取格点、，连接构造一组相似三角形，即，则，即此时点满足； （2）先构造等腰，作边中线，根据三线合一定理可知，再作，可证，则有，有，即此时点满足． 【小问1详解】 解：如图，取格点、，连接交 于点，点即为所求： 【小问2详解】 解：取格点，连接，取的中点，连接， 取格点，使，交 于点，点即为所求： 【点睛】本题考查的知识点是作图—应用与设计作图，勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识点并用于设计作图． 22. 在平面直角坐标系中，设二次函数， （1）若函数图象的顶点为且过点，求该函数表达式． （2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． （3）设函数的对称轴为直线，点在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点在新的函数图象上． 当时，若对于，都有，直接写出m的取值范围： ． 【答案】（1） （2）不在； 将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新函数的表达式为：， 把点代入，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数解， ∴点不在新的函数图象上． （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，把点代入可求得，即可求得答案； （2）由平移得，把点代入，整理得，利用根的判别式可得，即可得出答案； （3）运用函数图象平移及二次函数的性质列不等式组求解即可． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线的平移变换，一元二次方程根的判别式，不等式组等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【小问1详解】 解：∵函数图象的顶点为， ∴设， 把点代入，得， 解得：， ∴， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵原函数的对称轴为直线， ∴将函数向右平移两个单位后，新函数的对称轴变为， 又∵点在原函数的图象上，点在新的函数图象上，且当时，对于，都有， ∴， 即， 解得：， 或， 即， 解得， 故答案为：或． 23. 综合与实践 某次“综合与实践”活动课主题为：研究课本133页作业题第二题的图形结构． 【图形结构再认识】 （1）如图，在中，，于点D．小澈在分析这个图形后得出下列三个结论，请你选择其中任意一个证明．（若证明多个按照书写的第一个批改） ① ② ③ 【特殊情况研究】 （2）小澄发现，当图中的时，点D是 的黄金分割点，请你说明理由． 【图形拓展深化】 （3）小澈发现，通过添加辅助线，可以得到一条线段的长度与的值相等，请你写出添辅助线的方法，保留作图痕迹，并指明是哪条线段，最后给出证明． 【答案】 （1）①证明：∵， ∴， ∵于点D． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵于点D． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； ③∵于点D， ∴在中，； ∴在中，； ∵， ∴； （2）是，理由如下： ∵于点D， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴ 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴点D是 的黄金分割点， （3）作 的垂直平分线，则 的垂直平分线与 的交点为点E，连接，过D作的垂线交于点F，即为所求线段： 在中，点E是 的中点， ∴， 由（2）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，于点D，得，证明；再结合，故，根据在中，；运用勾股定理得，，结合，则，即可作答． （2）先证明，再运用，故，结合整理得，即可作答． （3）作 的垂直平分线，则 的垂直平分线与 的交点为点E，连接，过D作的垂线交于点F，证明，得，则，根据，所以，运用代入化简，即可作答． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 24. 如图，内接于 ，过A作的角平分线，交 于点D，交于点E．设，，， （1）连结，，①求证：；②若，，求的值． （2）若是直径，，求证：． （3）作的角平分线，交于点F，在圆上有一点G，若F和G恰好关于成中点对称，请直接写出的三边需满足的条件． 【答案】（1） ①证明：如图， ∵， ∴； ② （2） 证明：如图， ∵是直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①由题意易得，进而问题可求证；②由①易得，，则可通过证明得到，然后可设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后分别进行化简，最后问题可求证； （3）由题意易得，然后根据圆内接四边形的性质可得，进而根据勾股定理可得问题答案． 【小问1详解】 ①略 ②∵， ∴， 同理①可得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 设，则有， ∵，即， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得如图所示，连接，过点C作于H， ∵分别平分， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F和G恰好关于成中点对称， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：，即， 整理得：， ∴当的三边满足，则有点F和G恰好关于成中点对称 【点睛】本题主要考查圆周角的性质、圆内接四边形的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握圆周角的性质、圆内接四边形的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $