精品解析：2025年河南省驻马店市汝南县中考二模数学试题

2024—2025学年度下期第二次质检试题九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 预计2025年，中国用户将超过460000000，用科学记数法表示数据460000000其结果是（ ） A. B. C. D. 3. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是_____． 13. 如图，中，，，，将点折叠到边的点处，折痕为，则的长为______． 14. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______． 15. 在矩形中，边，边，点E在上，且，点F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 18. 象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知高台为4米，请计算亚帆灯塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：，，） 19. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在这个反比例函数图象上，连接并延长交轴于点，且，求点的坐标． 20. 如图，点A，B在上，且，直线与相切． （1）尺规作图：过点B作于点D，交于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）请判断四边形的形状，并说明理由． 21. 某校九年级决定购买学习用具对本学期数学表现优秀的同学进行奖励，计划购买甲、乙两款圆规套装，已知甲款圆规套装所需费用（元）与购买数量（套）之间的函数关系如图所示，乙款圆规套装单价为每套8元． （1）求出与的函数关系式： （2）若甲、乙两款圆规套装共需65套，且甲款圆规套装的数量不少于乙款圆规套装的数量．设购买总费用为元，如何设计购买方案，使总费用最低？最低总费用多少元？ 22. 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小明站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时必须超过其头顶，请结合图象，直接写出的取值范围． 23. 定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． （2）在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下期第二次质检试题九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 预计2025年，中国用户将超过460000000，用科学记数法表示数据460000000其结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：460000000用科学记数法表示为． 故选：B． 3. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正上方中间位置，即看到的图形如下： 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据同类项定义、同底数幂乘法运算法则、幂的乘方运算法则以及同底数幂除法运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； B. ，故本选项运算错误，不符合题意； C. ，故本选项运算错误，不符合题意； D. ，本选项运算正确，符合题意． 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据方程有两个实数根，得出，建立关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 实数的值可能是1， 故选A． 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求一元一次不等式组的解集即可； 【详解】解：，解得：； ，解得：； ∴不等式组的解集为：； 故选：C． 【点睛】本题主要考查求一元一次不等组的解集，正确计算是解本题的关键． 7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列表法进行计算即可． 【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下： 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 8. 如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明得到，证明得到，解得,即可求出长． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴ 故选：C 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、旋转的性质，延长交轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， 由题意可得，轴，，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：A． 10. 已知正ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，易得△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE=x，AG=2-x；可得△AEG的面积与x的关系；进而可得EFG的面积为y与x的函数关系式，从而判断出y关于x的函数的图象的大致形状． 【详解】解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2， 故BE=CF=AG=2-x； 故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等． 在△AEG中，AE=x，AG=2-x． 则S△AEG=AE×AG×sinA=x（2-x）； 故y=S△ABC-3S△AEG=． 故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象的判断，根据题意，结合图形，求出y关于x的函数解析式是解题的关键 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是_____． 【答案】丁 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴丁的方差最小，成绩最稳定． 13. 如图，中，，，，将点折叠到边的点处，折痕为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 由勾股定理求出，再根据折叠性质得，，，设，则，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴，即， ∴，即， 故答案为：． 14. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有关扇形面积的计算，熟练应用面积公式是解题关键． 连接、，过点O作于点C，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点O作于点C，如图： 由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 15. 在矩形中，边，边，点E在上，且，点F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为_______． 【答案】8或18 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质和判定和勾股定理，解题的关键是分类讨论思想的应用和矩形的性质理解． 分两种情况：若，若，解答即可． 【详解】解：在矩形中，， 若，过点F作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为8或18． 故答案为：8或18 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 【答案】（1） 补全图形如下： （2）83 （3）600人 【解析】 【分析】（1）先求解总人数，再求解和的人数，再补全图形即可； （2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （3）由总人数乘以80分含80以上的人数百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：，而有20人， 有：（人）； 【小问2详解】 解：，而的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89， 个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83，83； 中位数为：， 故答案为：83； 【小问3详解】 解：依据题意得：（人）， 答：估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数约600人． 【点睛】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，熟练掌握基础的统计知识是解本题的关键． 18. 象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知高台为4米，请计算亚帆灯塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：，，） 【答案】亚帆灯塔的高的值为14米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，则四边形为矩形，得出（米），在中，在中，分别解直角三角形得出的长，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形为矩形， （米）， 在中，， （米）． 在中，， （米）． （米）． 答：亚帆灯塔的高的值为14米． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在这个反比例函数图象上，连接并延长交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键． （1）先求得，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标． 【小问1详解】 解：轴， ， ∵， ∴，， ， 点A在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴于点E， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 点A、C是反比例函数和一次函数的交点， 联立， 解得：或， ， ． 20. 如图，点A，B在上，且，直线与相切． （1）尺规作图：过点B作于点D，交于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图，线段为所求； （2） 解：四边形为菱形． 理由：如图，连接． 直线与相切， ， ． ，垂足为D， ， ， ． ， ． ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ． ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线，菱形的判定，切线的性质等知识，正确作图是解答本题的关键． （1）以点B为圆心，任意长为半径画弧交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧交于一点，过点B和这点作直线即可； （2）连接，分别证明和是等边三角形，可证明，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某校九年级决定购买学习用具对本学期数学表现优秀的同学进行奖励，计划购买甲、乙两款圆规套装，已知甲款圆规套装所需费用（元）与购买数量（套）之间的函数关系如图所示，乙款圆规套装单价为每套8元． （1）求出与的函数关系式： （2）若甲、乙两款圆规套装共需65套，且甲款圆规套装的数量不少于乙款圆规套装的数量．设购买总费用为元，如何设计购买方案，使总费用最低？最低总费用多少元？ 【答案】（1） （2）当购买甲款圆规套装的数量为33套，购买乙款圆规套装的数量为32套时，总费用最低，最低费用为646元 【解析】 【分析】（1）分和两段，分别求解与的函数关系式即可； （2）先根据甲款圆规套装的数量不少于乙款圆规套装的数量，求出x的取值范围，再根据数量关系列出购买总费用元与x的函数关系式，根据函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 当时，设y与x的函数关系式为 代入上式，得：， ∴， ； 当时，设y与x的函数关系式为 代入上式，得：， 解得： ； ． 【小问2详解】 甲款圆规套装的数量不少于乙款圆规套装的数量， ，解得， 为整数， 且为整数． 当时， ，随的增大而增大， 故当时，取得最小值， 此时，（元）， 则 答：当购买甲款圆规套装的数量为33套，购买乙款圆规套装的数量为32套时，总费用最低，最低费用为646元． 【点睛】本题主要考查了分段函数及一次函数的应用，根据数量关系列出购买总费用元与x的函数关系式，利用一次函数的性质设计购买方案是解题的关键． 22. 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小明站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时必须超过其头顶，请结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）不能，理由如下： ， ， 时，有最大值为1.8， ， 绳子不能顺利从他头顶越过． （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，涉及二次函数的图象和性质、待定系数法等知识，数形结合和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出当时，有最大值为1.8，即可得到结论； （3）求出当时自变量的值，结合图象进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得点，，代入， 得， 解得， 所求的抛物线的解析式是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 解得，， 由图象可知满足条件的的值为． 23. 定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． （2）在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形、正方形； （2）①的最小值是4；②；③或． 【解析】 【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案； （2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形的性质可求解； ②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解； ③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角， ∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”； ∵菱形、正方形的对角线平分一组对角， ∴菱形、正方形一定是“可折四边形”； 故答案为：菱形、正方形． 【小问2详解】 解：①当，时，与最小， ∴此时最小； ∵，对角线平分． ∴ ∴， ∴ 答：的最小值为4； ②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G， ① 又平分，平分 ， ② ①×2－②得 ∵，，， 又平分，平分 ∴， 平分 ∴ ③如图2 过作，， 又∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 则，，，四点共圆 ∴， 当时，如图3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 当时，如图4 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴同理可求得，，， ． 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $