6.4.1平面几何中的向量方法 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.1《平面几何中的向量方法》导学案

一、学习目标

1. 数学运算素养：熟练运用向量的线性运算和数量积运算，精准、快速地解决平面几何问题，提升运算能力。
2. 直观想象素养：借助向量的几何意义，直观理解平面几何问题，通过图形深入分析向量与几何元素的关系，增强空间想象能力。
3. 逻辑推理素养：理解并熟练掌握向量法解决平面几何问题的“三步曲”，能够有条理地进行推理和论证，培养逻辑思维。
4. 数学建模素养：学会将平面几何问题巧妙转化为向量问题，建立向量模型，运用向量知识求解并准确还原为几何结论，提高数学建模能力。

二、学习重难点

1. 重点：掌握用向量方法解决平面几何问题的方法和步骤，运用向量知识解决简单平面几何问题。
2. 难点：理解向量法解决几何问题的思路，特别是将几何问题转化为向量问题，以及根据向量运算结果得出几何结论。

三、知识链接

回顾平面向量的基本概念、线性运算（加法、减法、数乘）、数量积运算的定义及运算法则。思考向量运算与几何性质（如平移、全等、相似、长度、夹角）之间可能存在的联系。

四、学习过程

1. 预习检测：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？若回答不准确或不完整，认真复习相关内容，加深记忆。
2. 合作探究：

(1)   平面几何问题与平面向量的对应关系：完成以下表格，回顾并填写平面几何问题与向量及其运算之间的对应关系。

平面几何问题	向量及其运算的对应关系
平行	（为实数）
垂直
长度

平面几何问题	向量及其运算的对应关系
夹角	（为与的夹角）

(2)   分析每个对应关系的含义和应用场景，结合已知，，判断与的关系。

(3)   向量法解决平面几何问题的思路和步骤：

阅读例1：是的中位线，证明且 。回顾初中证明该结论的方法（利用三角形相似），思考用向量证明的思路。

分析：要证明且，先用向量表示和 。因为是的中位线，所以，，则 。又因为与有公共点（或），所以且 。

总结：证明，，三点共线的方法是先证明为实数，再说明有公共点；两个向量共线时，向量所在直线的位置关系是平行或重合。梳理用向量方法解决平面几何问题的基本思路和步骤：

基本思路：将几何图形转化为向量，进行恰当的向量运算，再将向量结果转化为几何关系。

步骤：

(1)       建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，把平面几何问题转化为向量问题（几何元素向量化）。

(2)       通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等（向量运算关系化）。

(3)       把运算结果“翻译”成几何关系（结果翻译几何化）。

五、学以致用：

例2探究：在平行四边形中，探究对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系。