6.4.1平面几何中的向量方法导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6．4.1　平面几何中的向量方法 学案 学习目标 1．能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的作用．　 情境导入 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具． 新知探究 题型一　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 例1　(链接教材P38例1)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线． 证明：如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y 轴建立平面直角坐标系． 令||＝1， 则||＝1，||＝2. ∵CE⊥AB，AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形， ∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0)． (1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， ＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， ∴＝，∴∥. ∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC． (2)连接MB，MD． ∵M为CE的中点，∴M(0，)， ∴＝(－1，1)－(0，)＝(－1，)， ＝(1，0)－(0，)＝(1，－)， ∴＝－，∴∥. ∵MD与MB有公共点M， ∴D，M，B三点共线． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 变式训练 1．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB． 证明：设＝λ(λ>0且λ≠1)． 因为＝－ ＝＋－ ＝＋(－) ＝＋[(－)－(＋)] ＝＋(－) ＝(＋)＝(－λ＋1)， 所以∥.又P，Q，A，B四点不共线， 所以PQ∥AB． 题型二　用向量解决平面几何中的垂直问题 例2 　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝(b＋)·(－a＋) ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则＝(2，1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 变式训练 2．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证 ：AC⊥BC． 证明：因为∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB， 故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|， 则＝2e2， 所以＝＋＝e1＋e2， ＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2， 从而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝|e1|2－|e2|2＝0， 所以⊥，即AC⊥BC． 题型三　利用向量求几何中的长度问题 例3　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b. 而||＝|a－b|＝＝＝＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝. 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝. 用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. 变式训练 3．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是(　　) A．2　　　　　 B． C．3 D． 解析：B　由题意得D(，6), ∴＝(－4，6－1)＝(－，5)， ∴||＝＝. 题型四　利用向量求几何中的角度问题 例4　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC．求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 解：(1)设＝a，＝b， 则＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝＋＝a＋b. ∴||2＝(a＋b)2 ＝a2＋2×a·b＋b2 ＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3. ∴AD＝. (2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)， 则θ为与的夹角． ∴cos θ＝＝ ＝ ＝＝0. ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 用向量法求角度的策略 (1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可． (2)要注意，两向量的夹角和要求角的关系． 变式训练 4．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝________． 解析：以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示． 由题意知，＝(1，)， ＝(，1)， 故cos∠DOE＝＝＝. 答案： 课堂小结 1．知识网络 2．方法归纳：转化法、数形结合法． 3．易错提醒 利用向量解决平面几何问题的难点是不能将几何问题转化为向量问题，易错点是忽略向量与几何的区别． 课堂练习 1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　) A．是正三角形　　　 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 解析：C　(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，所以CA＝CB，则△ABC是等腰三角形． 2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析：A　∵＝(3，3)，＝(－2，－2)， ∴＝－，∴与共线． 又||≠||，∴该四边形为梯形． 3．在△ABC中，设O是△ABC的外心，且＝＋，则∠BAC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：C　因为＝＋，所以O也是△ABC的重心．又因为O是△ABC的外心，所以△ABC是等边三角形，故∠BAC＝60°. 4．在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________． 解析：∵＝＋(＋)， ∴－＝(＋)， 即＝(＋)， ∴AP为Rt△ABC的斜边BC上的中线． ∴||＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．4.1　平面几何中的向量方法 学案 学习目标 1．能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的作用．　 情境导入 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具． 新知探究 题型一　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 例1　(链接教材P38例1)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线． 变式训练 1．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB． 题型二　用向量解决平面几何中的垂直问题 例2 　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 变式训练 2．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证 ：AC⊥BC． 题型三　利用向量求几何中的长度问题 例3　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 变式训练 3．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是(　　) A．2　　　　　 B． C．3 D． 题型四　利用向量求几何中的角度问题 例4　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC．求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 变式训练 4．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝________． 课堂小结 1．知识网络 2．方法归纳：转化法、数形结合法． 3．易错提醒 利用向量解决平面几何问题的难点是不能将几何问题转化为向量问题，易错点是忽略向量与几何的区别． 课堂练习 1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　) A．是正三角形　　　 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3．在△ABC中，设O是△ABC的外心，且＝＋，则∠BAC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 4．在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $$