2025年中考数学几何最值模型之胡不归综合复习

2025年中考数学几何最值模型之胡不归综合复习 【模型故事简介】 在古代有个少年外出求学，某一天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家? 【模型抽象】 由于在驿道和沙砾地带行走的速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一段路程后，再走沙砾地带，虽然多走了路，但反而总时间更短呢？如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时？ 【模型建立】 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点P在直线MN上，确定点P的位置使的值最小 【问题分析】 ，记 ，即求BP+k·AP的最小值 【解题思路】 构造射线AD使得sin∠HAN＝k，，PH＝k·AP 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点P，交AD于H点，此时BP+PH取到最小值，即BP+k·AP最小. 模型剖析 (1)题型特点：出现“”形式的线段和差最值题型，且动点在直线上运动。 (2)解题思路：紧盯“k”的数学特点，利用特殊角的边角关系、或构造“共角模型”的相似三角形，寻找到一条与“”相似的线段，把“”结构转化成“将军饮马问题”的“PA+CD”结构，利用“将军饮马问题”的“化曲为直”的思路解题 （3）模型识别：直线上一定点B，一动点P，A为直线外一点，求的最小值，考虑胡不归。 （4）模型应用：在定点B的异侧构造直角三角形，利用三角函数将含系数的线段进行转换，再根据垂线段最短化折为直，从而得到线段和最小值，最后运用锐角三角函数求解即可。 【题型总结】 1、动点轨迹为直线，且求带系数的线段和最值问题 2、解法： (1)判系数：提大不提小 (2)用正弦：系数边为斜边 哪条线段带系数，就以它为边，构造直角三角形，使得其中一个锐角的三角函数值与系数相等 (3)作垂线：垂线段最短 例1：如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则 的最小值是 . 例2：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为（ ） A. B. C.4 D. 例3：如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）求a的值和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′AE′B的最小值． 例4：【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2 【运用】请根据以上材料解答下列问题： （1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM＋MF的最小值． 1、如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 2、如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 . 3、如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 4、如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6, BC=2, P为边 CD上的一动点, 则 的最小值等于 . 5、如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=2,若D是BC边上的动点, 则2AD+DC的最小值为 6、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3) (1)求该抛物线的解析式； (2)点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，试求的最小值. 7、如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AMBC于点M交y轴于点N，满足4CN=50N.已知抛物线经过点A、B、C. （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF.一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止.若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标. 8、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD=3，若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值； （3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学几何最值模型之胡不归综合复习 【模型故事简介】 在古代有个少年外出求学，某一天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家? 【模型抽象】 由于在驿道和沙砾地带行走的速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一段路程后，再走沙砾地带，虽然多走了路，但反而总时间更短呢？如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时？ 【模型建立】 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点P在直线MN上，确定点P的位置使的值最小 【问题分析】 ，记 ，即求BP+k·AP的最小值 【解题思路】 构造射线AD使得sin∠HAN＝k，，PH＝k·AP 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点P，交AD于H点，此时BP+PH取到最小值，即BP+k·AP最小. 模型剖析 (1)题型特点：出现“”形式的线段和差最值题型，且动点在直线上运动。 (2)解题思路：紧盯“k”的数学特点，利用特殊角的边角关系、或构造“共角模型”的相似三角形，寻找到一条与“”相似的线段，把“”结构转化成“将军饮马问题”的“PA+CD”结构，利用“将军饮马问题”的“化曲为直”的思路解题 （3）模型识别：直线上一定点B，一动点P，A为直线外一点，求的最小值，考虑胡不归。 （4）模型应用：在定点B的异侧构造直角三角形，利用三角函数将含系数的线段进行转换，再根据垂线段最短化折为直，从而得到线段和最小值，最后运用锐角三角函数求解即可。 【题型总结】 1、动点轨迹为直线，且求带系数的线段和最值问题 2、解法： (1)判系数：提大不提小 (2)用正弦：系数边为斜边 哪条线段带系数，就以它为边，构造直角三角形，使得其中一个锐角的三角函数值与系数相等 (3)作垂线：垂线段最短 例1：如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则 的最小值是 . 解析：本题关键在于处理 考虑tanA=2,△ABE三边之比为 ∴作DH⊥AB交AB于H点, 则 问题转化为 CD+DH 最小值, 故 C、D、H 共线时值最小，此时( 例2：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为（ ） A. B. C.4 D. 【方法一】 正方形ABCD为轴对称图形，AP=PC AP+BP+CP=2AP+BP=2（AP+BP） 即求AP+-BP的最小值 连接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，过A作AFBE，垂足为F 在Rt△PBF中，∠PBF=30°，PF=BP AP+BP的最小值即为AF线段的长 ∠BAE=45°，∠AEB=60° 解直角△ABE，得AO=BO=，OE=，OB= 根据等积法，AE·BO=BE·AF 解得 AF=， AP+BP+CP=2AP+BP=2（AP+BP）= 故选B. 例3：如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）求a的值和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′AE′B的最小值． 【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0， ∴（x+1）（ax+3）＝0， ∴x＝﹣1或， ∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0）， ∴4， ∴a． ∵A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线AB解析式为yx+3． （2）如图1中， ∵PM⊥AB，PE⊥OA， ∴∠PMN＝∠AEN， ∵∠PNM＝∠ANE， ∴△PNM∽△ANE， ∴， ∵NE∥OB， ∴， ∴AN（4﹣m）， ∵抛物线解析式为yx2x+3， ∴PNm2m+3﹣（m+3）m2+3m， ∴， 解得m＝2或4， 经检验x＝4是分式方程的增根， ∴m＝2． （3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE． ∵OE′＝2，OM′•OB3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB， ∴， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB， ∴， ∴M′E′BE′， ∴AE′BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时）， 最小值＝AM′． 例4：【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2 【运用】请根据以上材料解答下列问题： （1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM＋MF的最小值． 答案：（1）；（2）F（1，），PF+OP的最小值为 ； 【详解】解：（1）令x=0，则y=， ∴B（0，）， ∴OB=， ∵∠OBC=30°， ∴OC=BO•tan30°=×， ∴C（1，0）， 设直线l2的解析式为y=kx+b， 则， ∴， ∴直线l2的解析式为； （2）令y=0，则， ∴x=3， ∴A（3，0）， ∴OA=3， ∴tan∠ABO=， ∴∠ABO=60°， ∴∠ABC=90°， ∴C点关于直线l1的对称点C'在l2上， 如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点， ∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'， ∴△C'KB≌△COB（AAS）， ∴BK=BO=， ∴C'的纵坐标为2， ∴， ∴x=1， ∴C'（1，2）， 连接C'E交l1于F， ∵EF+CF=EF+C'F≥C'E， ∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E， 设直线C'E的解析式为y=kx+b， ∵E（5，0），C'（-1，2）， 则， ∴， ∴， ∴， 解得x=1， ∴F（1，）， 作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q， 在Rt△PQO中，∠POQ=45°， ∴， ∴PF+OP=PF+PQ≥FQ， 当P、F、Q三点共线时，PF+OP的值最小， 过F作FG⊥x轴交l3，于点G， ∴△FQG为等腰直角三角形， ∴FQ=FG， ∵l3，的解析式为y=x， ∴G（1，1）， ∴FG=1+， ∴FQ=+， ∴PF+OP的最小值为+． 1、如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 【答案】 【解答】解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为．故选：． 2、如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .     【答案】 【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当共线时，的值最小， 即的最小值为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴，∴，故答案为 3、如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 【答案】 【详解】解：作，过M作交于一点即为点P， ∵， ∴， ∴， ∴当时的值最小， ∴在中，, 故答案为； 4、如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6, BC=2, P为边 CD上的一动点, 则 的最小值等于 . 答案：3 解析：作PH⊥AD延长线于 H点，即可得 直接过点 B 作 AD 的垂线，垂线段长即为 的最小值，最小值为 最小值为3 5、如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=2,若D是BC边上的动点, 则2AD+DC的最小值为 解析: 过点 D 作DH⊥AC交AC于点 H, 则 即求AD+DH最小值即可. 作CA关于CB的对称CA', 过点A作AQ⊥CA'交CA'于点Q,则AQ的长即为AD+DH的最小值,∵AB=2, 6、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3) (1)求该抛物线的解析式； (2)点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，试求的最小值. (1)；(2)点的坐标为；(3). 解：(1)把点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； (2)过点作轴的垂线，交轴于点， 设：点的坐标为， ∵， ∴， 即：，， 解得：或1(舍去)， 故点的坐标为； (3)过点作，交于点， 则，， ∴当、、三点共线时，最小，即最小， 设：直线的表达式为：， 将点坐标代入上式，，则， 则直线的表达式为：，则点的坐标为， 则， . 7、如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AMBC于点M交y轴于点N，满足4CN=50N.已知抛物线经过点A、B、C. （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF.一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止.若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标. 解：（1）∵C（0，3）， ∴OC＝3， ∵4CN＝5ON， ∴ON＝， ∵∠OAN＝∠NCM， ∴△AON∽△COB， ∴＝，即＝，解得OA＝1， ∴A（﹣1，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）， 把C（0，3）代入得a•1•（﹣4）＝3，解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+3； （2）设F（m，﹣x+3），则EF＝＝，CF＝＝x， 点P在整个运动过程中所用时间t＝EF+＝EF+CF≥2，当EF＝CF时，取等号，此时t最小， 即x2﹣x+13＝（•x）2， 整理得2x2﹣17x+26，解得x1＝2，x2＝（舍去）， ∴点P在整个运动过程中所用的最少时间2××2＝3秒，此时点F的坐标为（2，）． 8、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD=3，若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值； （3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标． 2．（1）y=﹣x2+x+；（2）；（3）或1+或2+． 解：（1）∵抛物线的顶点为H（1，2）， ∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2， 把A（﹣1，0）代入得到，a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2，即y=﹣x2+x+； （2）如图1中，连接PA，PD，在y轴上取一点M（0，﹣），连接BM，作QN⊥BM于N．设AD交对称轴于K， 由题意C（0，），D（2，），A（﹣1，0），B（3，0）， ∴直线AD的解析式为y=x+,， ∴K（1，1），设P（1，m）， 则有×（m﹣1）×3=3， ∴m=3， ∴P（1，3）， ∵OB=3，OM=， ∴BM=， ∴sin∠ABM==， ∴=， ∴QN=BQ， ∴PQ+BQ=PQ+QN， 根据垂线段最短可知，当HN⊥BM，且P，Q，N共线时，PQ+BQ的值最小，最小值=线段PN的值, ∵直线BM的解析式为y=x﹣， ∴当PN⊥BM时，直线PN的解析式为y=﹣2x+5，此时Q（3，0）， 由，解得， ∴N（，﹣）， ∴PN==， ∴PQ+BQ的最小值为； （3）设F（m，﹣m2+m+）， 有三种情况： ①如图2，当G在y轴上时，过E作EQ⊥y轴于Q，作EM⊥x轴于M， ∵四边形EBFG是正方形， ∴EG=EB， ∵∠EQG=∠EMB=90°，∠QEG=∠MEB， ∴△EQG≌△EMB， ∴EQ=EM， 即m=﹣m2+m+， 解得：m1=，m2=﹣（舍）， ∴E的横坐标为； ②当F在y轴上时，如图3，过E作EM⊥x轴于M， 同理得：△EMB≌△BOF， ∴OB=EM=3， 即﹣m2+m+=﹣3， m1=1﹣（舍），m2=1+， ∴E的横坐标为1+； ③当G在y轴上时，如图4，作EM⊥OB于E，EN⊥OG于N， 同法可证：EN=EM， ∴m=﹣（﹣m2+m+）， 解得m1=2+，m2=2﹣（舍弃）， ∴点E的横坐标为2+ 综上所述，点E的横坐标为或1+或2+． 学科网（北京）股份有限公司 $$