49 方法专题十三 “胡不归”与“阿氏圆”最值问题（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1.如图,△ABC中,AB=AC=15,tan A=2,BE⊥AC于点E,点D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.6 C.5 D.10 第1题图 第2题图 2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),C(-3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).若点P为y轴上一个动点,连接AP,则BP+AP的最小值为 (　　) A. B.2 C.2 D.4 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为△ABC内一动点,且满足CD=2,则AD+BD的最小值为　　　　.  第3题图 第4题图 4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=4,以点C为圆心,3为半径作☉C,分别交AC,BC于D,E两点,点P是☉C上一个动点,则PA+PB的最小值为　　　　.  5.(2024·凉山)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点E是BC边上一个动点,连接AE,AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N,连接EN,CN. (1)求证:EN=CN; (2)求2EN+BN的最小值. 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点C为顶点的正方形CDEF(C,D,E,F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且 CD=,连接AF,BD. (1)求证:△BDC≌△AFC; (2)在正方形CDEF旋转过程中,求 BD+AD的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法专题十三　“胡不归”与“阿氏圆”最值问题 1.B　【解析】 如图,过点D作DH⊥AB于点H,过点C作CM⊥AB于点M. ∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°. ∵tan A==2, ∴设AE=a,BE=2a,则152=a2+(2a)2, ∴a2=45,∴a=3或-3(舍去), ∴BE=2a=6. ∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,∴CM=BE=6. ∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA, ∴sin∠DBH===,∴DH=BD, ∴CD+BD=CD+DH. ∵CD+DH≥CM,∴当点H与点M重合,且C,D,H三点共线时,CD+DH的值最小, ∴CD+BD的最小值为线段CM的长, ∴CD+BD的最小值为6.故选B. 2.C　【解析】 如图,连接BC,过点P作PG⊥BC于点G,过点A作AH⊥BC于点H. ∵C(-3,0),B(0,3),∴OC=OB, ∴∠OBC=45°, ∴PG=BP, ∴BP+AP=PG+AP≥AH, ∴BP+AP的最小值为AH的长. ∵A(1,0),C(-3,0)∴AC=1-(-3)=4. 在Rt△ACH中,∠ACH=45°,AC=4, ∴AH=AC=2,∴BP+AP的最小值为2. 故选C. 3.　【解析】 如图,在CB上取一点T,使得CT=,连接DT,AT. ∵CD=2,CT=,CB=3, ∴CD2=CT·CB, ∴=. ∵∠DCT=∠BCD,∴△DCT∽△BCD, ∴==,∴DT=BD,∴AD+BD=AD+DT≥AT. 在Rt△ACT中,AC=4,CT=, ∴AT===, ∴AD+BD≥, ∴AD+BD的最小值为.故答案为. 4.　【解析】 如图,在AC上截取CQ=1,连接CP,PQ,BQ. ∵AC=9,CP=3,CQ=1,∴=, ∴=. ∵∠PCQ=∠ACP, ∴△PCQ∽△ACP,∴PQ=AP, ∴PA+PB=PQ+PB≥BQ, ∴当B,Q,P三点共线时,PA+PB的值最小,最小值为BQ的长. 在Rt△BCQ中,BC=4,CQ=1, ∴QB=,∴PA+PB的最小值为. 故答案为. 5.(1)证明:如图,连接AN. ∵四边形ABCD是菱形, ∴点A、点C关于直线BD对称, ∴AN=CN. ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N, ∴AN=EN,∴EN=CN. (2)解:如图,过点N作NG⊥BC于点G,连接AN,AG,过点A作AH⊥BC于点H. ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°, ∴∠DBC=30°,∴BN=2NG. ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N, ∴EN=AN, ∴2EN+BN=2AN+2NG=2(AN+NG)≥2AG≥2AH, ∴2EN+BN的最小值为2AH的长. ∵∠ABC=60°,AB=2,∴AH=AB·sin 60°=, ∴2EN+BN的最小值为2. 6.(1)证明:∵四边形CDEF是正方形, ∴CF=CD,∠FCD=∠ACB=90°, ∴∠ACF=∠BCD. ∵AC=CB,∴△AFC≌△BDC(SAS). (2)解:如图,取AC的中点M,连接DM,BM. ∵CD=,CA=2,CM=1, ∴CD2=CM·CA,∴=. ∵∠DCM=∠ACD, ∴△DCM∽△ACD, ∴==,∴DM=AD, ∴BD+AD=BD+DM≥BM, ∴BD+AD的最小值为BM的长. ∵BM===, ∴BD+AD的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$