第1部分 题型8 几何图形综合题-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（辽宁专版）

第一部分重点题型专练 题型八 几何图形综合题 答案P43 ⑥类型一 旋转问题 例1（丹东模拟)在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB= 6,点D是BC的中点.四边形DEFG是菱形(D,E,F,G按 逆时针顺序排列)，∠EDG=60°，且DE=2,菱形DEFG可 以绕点D旋转，连接AG和CE,设直线AG和直线CE所夹 的锐角为a. 回思维导引 (1)在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC (1)利用直角三角形斜边中线性质即 上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α 可求解； 的值； E 例1题图① (2)当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，(1) (2)连接AD,延长AG交CE于点H, 中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成 证明△ADG≌△CDE,即可求解； 立，请说明理由； E 例1题图② (3)设直线AG与直线CE的交点为P,在菱形DEFG绕点 (3)分两种情况讨论，当点B,E,F共 D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时， 线时和点B,F重合时，分别画图， 请直接写出△APC的面积. 结合三角函数定义求解即可. B D 例1题备用图 见此图标眼即刻扫码解锁高效备考新模式丫 9。 38 数学·精练本2 回针对训练 1(汉宁) (1)如图①，在△ABC与△DCB中，∠BAC=∠CDB,AC与DB相交于点P,PB=PC,求证：△ABC≌ △DCB; (2)如图②，将图①中的△DCB绕点B逆时针旋转得到△D'CB,当点D的对应点D'在线段BA的延 长线上时，BC'与AC相交于点M,若AB=2,BC=3,∠ABC=60°，求CM的长； (3)如图③，在(2)的条件下，连接CC并延长，与BD'的延长线相交于点N,连接MN,求△AMN的 面积. D' D C M M C B C B 1题图① 1题图② 1题图③ 10o 第一部分重点题型专练 22 ⑥类型二角度变化问题 >2 例2（鞍山模拟）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D 是射线BC上的动点（不与点B,C重合），连接AD,过点D 在AD左侧作DE⊥AD,使AD=kDE,连接AE,点F,G分别 是AE,BD的中点，连接DF,FG,BE. 回思维导引 (1)如图①，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当 (1)连接BF并延长交AC于点R,连 α=90°，k=1时，AB与BE的位置关系是 FG 接RD,证明A,B,E,D四点共圆， 'CD 即可得出AB与BE的位置关系； 证明PGL0,哪可求出品的 结果； 例2题图① (2)如图②，点D在线段BC上，当α=60°，k=√3时，求证： (2)作AO⊥BC于点O,连接BF,CF, BC+CD=23FG; 证出△BCF≌△ACF,再证出FG⊥ BD,BG=DG,得到CG和FG的数 量关系，即可得证； BGD 例2题图② (3)当α=60°，k=√3时，直线CE与直线AB交于点N.若 (3)分两种情况，点D在BC上和点D BC=6,CD=5,请直接写出线段CN的长. 在BC延长线上，结合相似的知识 分别求解即可. B 例2题备用图 见此图标眼即刻扫码解锁高效备考新模式 3R 数学·精练本2 回针对训练 2(葫芦岛模拟)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，点D,E在线段AB上(AD<AE),点F在CB的延 长线上，连接CD,E,∠ACD-=∠BEr,瓷-品 (1)如图①，当a=45时，线段CD,EF的数量关系是 (2)如图②，当α=30时，请写出线段AC,BE,BF的数量关系，并说明理由； (3)在(2)的条件下，当AB=8,点E是AB中点时，请直接写出△ADC的面积 B D E 2题图① 2题图② 2题备用图 12。 第一部分重点题型专练 ⑥类型三折叠问题 例3（辽宁）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α(0°<a <45).将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD,过 点D作DE⊥BC,垂足为E. 回思维导引 (1)如图①，求证：△ABC≌△CED; (1)利用“角角边”判定定理即可证明 全等； B D 例3题图① (2)如图②，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F, (2)证明△ACF≌△DCF,即可得到 连接DF,DF的延长线与CB的延长线相交于点P,猜 PC与PD的数量关系； 想PC与PD的数量关系，并加以证明； 例3题图② (3)如图③，在(2)的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变 (3)①结合折叠等性质即可得证； 化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF. ②过点F作FM∥CP交CD于点 ①求证：点F是PD的中点； M,连接EM,设CE=m,DE=CB ②若CD=20,求△CEF的面积， =n,利用Rt△PDE,求出n与m P 的数量关系，再求出△CDE的 面积，进而得出最后结果 D 例3题图③ 见此图标眼即刻扫码解锁高效备考新模式 3 3R 数学·精练本2 回针对训练 3(沈阳)如图①，在口ABCD纸片中，AB=10,AD=6,∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点 C重合)，连接AE,将口ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C,D的对应点分别为C',D',射线CE与射 线AD交于点F. (1)求证：AF=EF; (2)如图②，当EF⊥AF时，DF的长为 (3)如图③，当CE=2时，过点F作FM LAE,垂足为点M,延长FM交C'D'于点N,连接AN,EN,求 △ANE的面积. B D' D ǒW 3题图① 3题图② 3题图③ 140参考答案与解析 题型八几何图形综合题 .AM∥CD', 例1.解：(1)AG=CE;a=60. .∴.∠ANC=∠ACN, (2)成立.证明过程如下： ,AN=AC=√7 连接AD,延长AG交CE于点H,如答图. 作CF⊥BN于点F,如答图②. .四边形DEFG为菱形，∴.DG=DE. 又，点D平分BC,∠BAC=90°， ∴.AD=CD. 又：∠B=30°，.∠ACB=60°，B D? ∴.△ADC为等边三角形， ∴.∠ADG+∠CDG=60° 例1题答图 又：∠EDG=60°，即∠CDG+∠CDE=60°， ∴.∠ADG=∠CDE,∴.△ADG≌△CDE, B C ∴AG=CE,∠DAG=∠DCE. 1题答图② ∠DAG+∠CAG=60°，∴.∠DCE+∠CAG=60°. ∠ABC=60°，.∠BCF=30 又：∠ACD=60°， C=3F ∴.∠AHC=180°-∠DCE-∠CAG-∠ACD=60°， 即a=60, 在Rt△BCF中，由勾股定理，得CF=√BC-BF_3 2 （3)204或2vg. 5ar=74Wx0F=分×w7×29-3 2 4 回针对训练 1.(1)证明：PB=PC, AM-4,cM-3,即ACM=43, ..∠PBC=∠PCB,即∠DBC=∠ACB. ∠BAC=∠CDB, 在△ABC和△DCB中，{∠ACB=∠DBC, aw=5w3 7 LBC=CB, 2.(1)解：AB1BE之 .△ABC≌△DCB(AAS). (2)解：由(1)知△ABC≌△DCB,即△ABC≌△D'C'B, (2)证明：如答图，过点A作A0⊥BC于点O,连接 ∴.∠BAC=∠C'D'B,AB=D'C=2,AC=BD'. BF.CF. 作AE⊥BC于点E,如答图①. :AB=AC,∠BAC=60°， D A ∠BM0=∠BMC=30 C AD =3DE, BGD O M :an∠DAE-=分， DE3 例2题答图 B E 1题答图① .∴.∠DAE=∠BAO=30° ∠ABC=60°，LBME=30°，÷BE=24B=1 又：·∠ADE=∠AOB=90°，△ADE∽△AOB, 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB2-BE2=√3， …指8…指骆 ∴.CE=BC-BE=2. ∠DAE-∠BAD=∠BAO-∠BAD, ∴.∠BAE=∠OAD,.△BAE△OAD, 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC=√AE2+CE=√7， ∴.∠ABE=∠AOD=90°=∠ADE. ∴.BD'=AC=7. ∠BAC=LC'D'B,.AM∥CD',∴.△BAM∽△BD'C', :点F是AE的中点，BF=AF=DF=AE 品兴即房w :△ABC是等边三角形，∴.BC=AC. 7, 又CF=CF,△BCF≌△ACF, 37 ∴.CM=AC-AM= 71 ∠BCF=∠ACr=∠BCM=30e (3)解：设∠BC'C=a, 又：点G为BD的中点，BF=DF, 由旋转的性质，得BC'=BC,则∠BCC=∠BCC=a. ·FG⊥BD,BG=DG,CG=FG :'∠ABC=∠D'C'B=60°，∠NBC+∠BCN+∠BNC= tian∠BCF=3FG, 180°，∠BCC+∠BC'D'+∠D'C'N=180°， .BC+CD=BG+DG+CD+CD=2CG=23FG. .∠BWC=120°-a,∠D'C'N=120°-a, .∠BNC=∠D'C'N=120°-a. （3)cw的长为号 7 见此图标眼即刻扫码解锁高效备考新模式丫 43 3 数学·精练本2 回针对训练 ②解：过点F作FM∥CP交CD于点M,连接EM,如答 2.解：(1)CD=EF 图②所示. (2)AC-BE=2BF.理由如下： :△ABC≌△CED,∴.CB=DE. 如答图①，过点D作DG⊥AB交AC于点G. 设CE=m,DE=CB=n, .·∠ACB=90°，∠A=30° ∴.BE=CB-CE=n-m. B. ∴.∠ABC=∠AGD=60°，∠CGD=∠EBF=120°， 由翻折，得PB=BE=n-m, S=初 BC-GD=ian60°=5. .PE=2n-2m, .∴PC=PE+CE=2n-m=PD 能-00060=B服 在Rt△PDE中，由勾股定理得 PD2=PE2 DE2, .·∠ACD=∠BEF,∠CGD=∠EBF 得(2n-m)2=(2n-2m)2+n2, M ∴.△CGD≌△EBF,.BE=CG. 整理，得3m2-4mn+n2=0, 例3题答图② AC-CG=AG...AC-BE=AG. 解得n=3m或n=m(舍，此时a=45 ∠A=30°，∠GDA=90°，∴.AG=2GD, 在Rt△CDE中，由勾股定理得CE2+DE2=CD, 得m2+(3m)2=202,解得m2=40, .AC-BE =2GD,..AC-BE =2BF. Sam=cE,0E=之mx3m= 2m2=60. G w/cP=-2微-1,3am=sam D E 点M为CD中点Sam=2Sa0m=30, 2题答图① 2题答图② (3)65-6. SACEF=30. 回针对训练 [解析]如答图②，作FK∥AC交AB的延长线于，点K,过 3.(1)证明：由折叠可得∠FAE=∠D'AE,AF∥BE,AD' 点C作CH⊥AB于点H.AB=8,∠A=30°，∠ACB= ∥EC', 909,AC=AB·s30=45,H=24C=25 ∴.∠D'AE=∠AEF,∠FAE=∠AEF,∴AF=EE (2)解：53-6 8C0AC=3BCAD=5BR在△BK中，∠K (3)解：如答图，过点C作CQ⊥AD'的延长线于点Q, 由已知，得C'E=CE=2,AD=AD'=6,∠AD'C'=120°， ∠A=30°，∠BFK=∠ACB=90°，FK=3BF,AD= ∠FC'D'=60°，CD'=CD=10, FK又，∠ACD=∠BEF,.△ACD≌△KEF,∴.AC=EK= 43..AE EB=4,..BK=43 -4,..AD FK=BK. L0Q=60,GQ=9cn=55, cs30°=6-2,5，Sc=740.CH=7×(6-2) (E+AD)x0. ×25=63-6. 如答图，过点E作EK⊥NC'于点K 例3.(1)证明：如答图①所示 CD'=10,∠FCD'=60°，.CK=1,EK=3 由题意，得CA=CD,∠ACD=90°， 设D'N=x,.NK=9-x. ∴.∠1+∠2=90°. 在Rt△ENK中，NE2=EK2+KN2=(5)2+(9-x)2 DE⊥BC,∴.∠DEC=90°， 如答图，过点N作NL⊥AD'的延长线于点L ∴.∠1+∠D=90°，.∠2=LD. .·∠ABC=90°， 1 ∠0Q=60,40-6M=2m=。 .∠ABC=∠DEC, ..△ABC≌△CED. 例3题答图① AL=6+2, (2)解：猜想：PC=PD.证明如下： :∠ABC=90°，∠ACB=a, 在△z中，A=A证+证=(6++（停 .∠A=90°-a心 由(1)知AF=FE,FN1AE, :CF平分∠ACD,∴.∠ACF=∠DCF. ∴，FN为线段AE的垂直平分线， CA=CD,CF=CF,.△ACF≌△DCF, AN=EN,AN2=EW2,解得x=2, .∠CDF=∠A=90°-a ∴.D'N=2,WK=7,NC'=8,NL=5, ∠ACD=90°，∠ACB=a, ∴.∠BCD=90°-a,∴.∠BCD=∠CDF,∴.PC=PD. 六Sa4m=2×AD'xNM=35,， D (3)①证明：由题意，得FP-FE, Saec=2×NC'×EK=45, 3题答图 .∠P=∠FEP.∠DEC=90°，.∠PED=90°， ∴.∠P+∠FDE=90°，∠FEP+∠FED=90°， SAANE=S AEC'D -SAAND SAENC =203-33-43 ∴.LFED=∠FDE,FE=FD, =135, ∴，FP=FD,即点F是PD的中点 ·.△ANE的面积为13√5. A9